Индивидуальные задания по высшей математике. В 4 ч. Ч.3. Ряды. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

            Допущено Министерством образования Республики Беларусь в качестве учебного пособия для студентов технических специальностей учреждений, обеспечивающих получение высшего образования
                    В четырех частях Часть 3
Ряды.
Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля

             Под общей редакцией доктора физико-математических наук, профессора А.П. Рябушко

6-е издание






                              Минск «Вышэйшая школа»

УДК 51(076.1)(075.8)
ББК 22.1я73
      И60





      Авторы: А.П. Рябушко, В.В. Бархатов, В.В. Державец, И.Е. Юруть

    Рецензенты: кафедра высшей математики № 1 Белорусского национального технического университета; заведующий отделом теории чисел Института математики Национальной академии наук Беларуси доктор физикоматематических наук, профессор В.И. Берник

    Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или любой ее части не может быть осуществлено без разрешения издательства.







          Индивидуальные задания по высшей математике : И60 учеб. пособие. В 4 ч. Ч. 3. Ряды. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля / А. П. Рябушко [и др.] ; под общ. ред. А. П. Рябушко. — 6-е изд. — Минск : Выш. шк., 2013. — 367 с. : ил.
          ISBN 978-985-06-2222-8.

          Это третья книга комплекса учебных пособий по курсу высшей математики, направленных на развитие и активизацию самостоятельной работы студентов технических вузов. Содержатся теоретические сведения и наборы задач для аудиторных и индивидуальных заданий.
          Предыдущее издание вышло в 2009 г.
          Для студентов инженерно-технических специальностей вузов. Будет полезно студентам экономических специальностей, а также преподавателям вузов, колледжей и техникумов.
УДК 51(076.1)(075.8)
ББК 22.1я73

ISBN 978-985-06-2222-8 (ч. 3)
ISBN 978-985-06-2000-2

© Оформление. УП «Издательство “Вышэйшая школа”», 2013

ПРЕДИСЛОВИЕ



   Предлагаемая вниманию читателя книга продолжает комплекс учебных пособий под общим названием «Индивидуальные задания по высшей математике». Он написан в соответствии с действующими программами курса высшей математики в объеме 380—450 часов для инженерно-технических специальностей вузов. Этот комплекс может быть использован также в вузах других профилей, в которых количество часов, отведенное на изучение высшей математики, значительно меньше. (В последнем случае из предлагаемого материала рекомендуется сделать необходимую выборку.) Кроме того, он вполне доступен для студентов вечерних и заочных отделений вузов.
   Данный комплекс пособий адресован преподавателям и студентам и предназначен для проведения практических аудиторных занятий, самостоятельных (миниконтрольных) работ и выдачи индивидуальных домашних заданий по всем разделам курса высшей математики.
   В третьей книге комплекса «Индивидуальные задания по высшей математике» содержится материал по рядам, кратным и криволинейным интегралам и элементам теории поля. Ее структура аналогична структуре первых двух книг, а нумерация глав, параграфов и рисунков продолжает соответствующую нумерацию. В Приложениях приведены двухчасовые контрольные работы для блочных экзаменов.
   Авторы выражают искреннюю благодарность рецензентам — коллективу кафедры высшей математики № 1 Белорусского национального технического университета, возглавляемому доктором технических наук, профессором Н.А. Микуликом, и заведующему отделом теории чисел Института математики Национальной академии наук Беларуси доктору физико-математических наук, профессору В.И. Бернику — за ценные замечания и советы, способствовавшие улучшению книги.
   Все отзывы и пожелания просьба направлять по адресу: издательство «Вышэйшая школа», пр. Победителей, 11, 220048, Минск.
Авторы


3

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ



   Охарактеризуем структуру пособия, методику его использования, организацию проверки и оценки знаний, навыков и умений студентов.
   Весь практический материал по курсу высшей математики разделен на главы, в каждой из которых даются необходимые теоретические сведения (основные определения, формулировки теорем, формулы), используемые при решении задач и выполнении упражнений. Изложение этих сведений иллюстрируется решенными примерами. (Начало решения примеров обозначается символом ►, а конец — ◄.) Затем даются подборки задач с ответами для всех практических аудиторных занятий (АЗ) и для самостоятельных (миниконтрольных) работ на 10—15 минут во время этих занятий. И, наконец, приводятся недельные индивидуальные домашние задания (ИДЗ), каждое из которых содержит 30 вариантов и сопровождается решением типового варианта. Часть задач из ИДЗ снабжена ответами. В конце каждой главы предлагаются дополнительные задачи повышенной трудности и прикладного характера.
   В приложении приведены двухчасовые контрольные работы (каждая — по 30 вариантов) по важнейшим темам курса.
   Нумерация АЗ сквозная и состоит из двух чисел: первое из них указывает на главу, а второе — на порядковый номер АЗ в этой главе. Например, шифр АЗ-12.1 означает, что АЗ относится к двенадцатой главе и является первым по счету. В третьей части пособия содержится 21 АЗ и 10 ИДЗ.
   Для ИДЗ также принята нумерация по главам. Например, шифр ИДЗ-12.2 означает, что ИДЗ относится к двенадцатой главе и является вторым. Внутри каждого ИДЗ принята следующая нумерация: первое число означает номер задачи в данном задании, а второе — номер варианта. Таким образом, шифр ИДЗ-12.2 : 16 означает, что студент должен выполнять 16-й вариант из ИДЗ-12.2, который содержит задачи 1.16, 2.16, 3.16 и т.д.

4

   При выдаче ИДЗ студентам номера выполняемых вариантов можно менять от задания к заданию по какой-либо системе или случайным образом. Более того, можно при выдаче ИДЗ любому студенту составить его вариант, комбинируя однотипные задачи из разных вариантов. Например, шифр ИДЗ-12.2 : 1.2; 2.4; 3.6; 4.1; 5.15 означает, что студенту следует решать в ИДЗ-12.2 первую задачу из варианта 2, вторую — из варианта 4, третью — из варианта 6, четвертую — из варианта 1 и пятую — из варианта 15. Такой комбинированный метод выдачи ИДЗ позволяет из 30 вариантов получить большое количество новых вариантов.
   Внедрение ИДЗ в учебный процесс показало, что целесообразнее выдавать ИДЗ не после каждого АЗ (которых, как правило, два в неделю), а одно недельное ИДЗ, включающее основной материал двух АЗ данной недели.
   Дадим некоторые общие рекомендации по организации работы студентов в соответствии с настоящим пособием.
   1.   В вузе студенческие группы по 25 человек, проводятся два АЗ в неделю, планируются еженедельные не обязательные для посещения студентами консультации, выдаются недельные ИДЗ. При этих условиях для систематического контроля с выставлением оценок, указанием ошибок и путей их исправления могут быть использованы выдаваемые каждому преподавателю матрицы ответов и банк листов решений, которые кафедра заготавливает для ИДЗ (студентам они не выдаются). Если матрицы ответов составляются для всех задач из ИДЗ, то листы решений разрабатываются только для тех задач и вариантов, где важно проверить правильность выбора метода, последовательности действий, навыков и умений при вычислениях. Кафедра определяет, для каких ИДЗ нужны листы решений. Листы решений (один вариант располагается на одном листе) используются при самоконтроле правильности выполнения заданий студентами, при взаимном студенческом контроле, а чаще всего при комбинированном контроле: преподаватель проверяет лишь правильность выбора метода, а студентпо листу решений — свои вычисления. Это позволяет проверить ИДЗ 25 студентов за 15—20 минут с выставлением оценок в журнал.
   2.   В вузе студенческие группы по 15 человек, проводятся два АЗ в неделю, в расписание для каждой группы включены обязательные два часа в неделю самоподготовки под контролем преподавателя. При этих условиях организация индиви

5

дуальной, самостоятельной, творческой работы студентов, оперативного контроля за качеством этой работы значительно улучшается. Рекомендованные выше методы пригодны и в данном случае, однако появляются новые возможности. На АЗ быстрее проверяются и оцениваются ИДЗ, во время обязательной самоподготовки можно проконтролировать проработку теории и решение ИДЗ, выставить оценки части студентов, принять задолженности по ИДЗ у отстающих.
   Накапливание большого количества оценок за ИДЗ, самостоятельные и контрольные работы в аудитории позволяет контролировать учебный процесс, управлять им, оценивать качество усвоения изучаемого материала.
   Все это дает возможность отказаться от традиционного итогового семестрового (годового) экзамена по материалу всего семестра (учебного года) и ввести так называемую рей-тинг-блок-модульную систему (РБМС) оценки знаний и навыков студентов, состоящую в следующем. Материал семестра (учебного года) разбивается на блоки (модули), по каждому из которых выполняются АЗ, ИДЗ и в конце каждого цикла — двухчасовая письменная коллоквиум-контрольная работа, в которую входят 2—3 теоретических вопроса и 5— 6 задач. Учет оценок по АЗ, ИДЗ и коллоквиуму-контрольной позволяет вывести объективную общую оценку за каждый блок (модуль) и итоговую оценку по всем блокам (модулям) семестра (учебного года). Положение о РБМС см. в ч. 1 данного комплекса учебных пособий (прил. 5).
   В заключение отметим, что усвоение содержащегося в пособии материала гарантирует хорошие знания студента по соответствующим разделам курса высшей математики. Для отлично успевающих студентов можно разработать специальные задания на весь семестр, включающие задачи настоящего пособия, а также дополнительные более сложные задачи и теоретические упражнения (для этой цели, в частности, предназначены дополнительные задачи в конце каждой главы). Преподаватель может выдать эти задания в начале семестра, установить график их выполнения под своим контролем, разрешить свободное посещение лекционных или практических занятий по высшей математике и в случае успешной работы выставить отличную оценку до экзаменационной сессии.

6

12. РЯДЫ



12.1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ


   Выражение вида

u₁ +u₂ +... +uₙ +.

X
E un,

(12.1)

                                        n=1
где un е R , называется числовым рядом. Числа u 1, u2, un, ... называются чле

нами ряда, число un - общим членом ряда.
    Суммы
S₁ = u₁ , S₂ = u₁ + u₂ , ..., Sₙ = u₁ +u₂ +... +uₙ


называются частичными суммами, а Sn - n-й частичной суммой ряда (12.1).
Если lim Sₙ существует и равен числу S, т.е. S = lim Sₙ , то ряд (12.1) назы-n ^ X                                       n > X
вается сходящимся, а S - его суммой. Если lim Sₙ не существует (в частнос-n > X
ти, бесконечен), то ряд (12.1) называется расходящимся. Ряд
rₙ = uₙ₊₁ +uₙ₊₂+...+uₙ₊ₖ+...

называется n-м остаткомряда (12.1).
    Если ряд (12.1) сходится, то
                       lim rn = lim (S - Sn) = 0 . n > X n ^ X

                     X
    Пример 1. Дан ряд -----¹--- . Установить сходимость этого ряда и най                        n(n+ 1)
                    n=1 ти его сумму.
    ► Запишем n-ю частичную сумму данного ряда и преобразуем ее:
S = ----¹- + -¹- +... + -¹- =
n 1 • 2 2 • 3 n (n + 1)

= f in+f in +...+f 1-_1_) = 1-_1_.
f 1 2' f 2 3'      f n n + 1' n + 1

    Поскольку
S = lim S = lim f 1 - —1-' = 1 , n >X n n > xf n + 1'
то данный ряд сходится и его сумма S = 1. <

7

    Ряд вида
2       n-1
a+aq+aq+... +aq +...                     (12.2)
представляет собой сумму членов геометрической прогрессии со знаменателем q. Известно, что при |q | < 1 ряд (12.2) сходится и его сумма 5 = a/(1- q). Если | q | > 1, то ряд (12.2) расходится.

    Теорема 1 (необходимый признак сходимости ряда). Если числовой ряд (12.1)
сходится, то lim u =0.
        , n ^» n

    Обратное утверждение неверно. Например, в гармоническом ряде

1

О
Е

+-- +... +-- +... 2n

1
--n

                                          n=1
общий член стремится к нулю, однако ряд расходится.


    Теорема 2 (достаточный признак расходимости ряда). Если lim и = а Ф 0, n > о ⁿ

то ряд (12.1) расходится.
    Сходимость или расходимость числового ряда не нарушается, если в нем отбросить любое конечное число членов. Но его сумма, если она существует, при этом изменяется.


о

    Пример 2. Исследовать на сходимость ряд


  n
      .
3n+1

Е

                                   n=1

   ►Запишем общий член данного ряда:


u

n

n
                                        .
3n+1

Тогда

n1 lim u =lim ---- =-- Ф 0 ,
n ^ о ⁿ n ^ о ³ ⁿ ⁺¹ ³


т.е. ряд расходится.^
    Рассмотрим некоторые достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами.

    Теорема 3 (признаки сравнения). Если даны два ряда


u₁ +u₂ +... +uₙ +...,                            (12.3)


v₁ +v₂ +... +vₙ +...                             (12.4)


и для всех n > nо выполняются неравенства 0 < Un ^ Vn , то:

    1) из сходимости ряда (12.4) следует сходимость ряда (12.3);
    2)  из расходимости ряда (12.3) следует расходимость ряда (12.4).


8

    В качестве рядов для сравнения целесообразно выбирать ряд, представляющий сумму членов геометрической прогрессии

X
En
  aq

а также гармони                                    n=0

ческий (расходящийся) ряд.


    Пример 3. Доказать сходимость ряда

X

E

1

1

1

1

	

	

n=1

2 • 32

.+

	

+...

(1)

n
n • 3

1 • 3

n
n • 3

    ► Для установления сходимости ряда (1) воспользуемся неравенством

—— < -1- (n > 2) nn




и сравним данный ряд со сходящимся рядом

11
- , q = -- < 1 . Согласно n3

E

                                   n=1

признаку сравнения (см. теорему 3, п. 1) ряд (1) сходится.<


                                              X
    Пример 4. Исследовать на сходимость ряд E -
n inn - 1
                                            n = 2 ⁴

    ► Так как — ¹ > ¹ для любого n > 2 , то члены данного ряда больше со             /2 , n
            Пп - 1

ответствующих членов расходящегося гармонического ряда. Значит, исходный ряд расходится. <

    Теорема 4 (признак Д’Аламбера). Пусть для ряда (12.1) uₙ > 0 (начиная с не


которого n= n₀ ) и существует предел


un+1 lim ----- = q .
n ^ х Un

Тогда:
    1)  при q < 1 данный ряд сходится;
    2)  при q > 1 ряд расходится.
    При q = 1 признак Д’Аламбера не дает ответа на вопрос о сходимости или расходимости ряда: он может и сходиться, и расходиться. В этом случае сходимость ряда исследуют с помощью других признаков.

                                          X
    Пример 5. Исследовать на сходимость ряд E


2 n



.
n - 1

                                   n=1

9

--- , то

► Поскольку Un

                              2
---ⁿ-- , U =        ⁽---ⁿ-⁺-¹---⁾--n-1 ⁿ⁺¹ n
2ⁿ ⁻                   2ⁿ

Un+1 lim ---n ^ w Un

    (n + 1)2 • 2n 1
lim —-+——2-ⁿ^w   n ² • 2 n

¹   (1
- lim I 1 + —
² n ^ w^ n

2₁ =-₂- < 1 .

    Следовательно, данный ряд сходится. <


    Теорема 5 (радикальный признак Коши). Если, начиная с некоторого n= n₀ ,


и > 0 и lim nju = q, то при q < 1 ряд (12.1) сходится, а при q > n ^w⁴


1 расходится.

   При q = 1 радикальный признак Коши неприменим.


                                  wₙ Е(n + 1 Л
                                     ---- .
                                    \ 8 n - 1
                                 n=1


    ► Воспользуемся радикальным признаком Коши:

q = lim n
n ^ w A

¹ n⁻⁻⁻¹⁻ = lim ⁻⁻ + X/ w 8n-1 n ^w 8n-1 /n

-¹₈-<1.

    Следовательно, данный ряд сходится. <


    Теорема 6 (интегральный признак Коши). Пусть члены ряда (12.1) положительны, монотонно -убывают и функция y = f(x), непрерывная при x > a > 1, та                                             w
кова, что f(n) = Un. Тогда ряд (12.1) и интеграл Jf(x) dx одновременно сходятся
                                             a

или расходятся.


                         w
    Например, поскольку J — dx (а е R) сходится при а > 1 и расходится x
                         1


                      w
при а< 1, то рядДирихле ^
                     n=1


-- сходится при а > 1 и расходится при а < 1 . а
n

    Сходимость многих рядов можно исследовать путем сравнения их с соответствующим рядом Дирихле.


                                        w
   Пример 7. Исследовать на сходимость ряд --²---ⁿ2² ₙ₌₁(n²+1)


10