Индивидуальные задания по высшей математике. В 4 ч. Ч. 1. Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

           Допущено Министерством образования Республики Беларусь в качестве учебного пособия для студентов технических специальностей учреждений, обеспечивающих получение высшего образования
                  В четырех частях Часть 1
     Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
            Под общей редакцией доктора физико-математических наук, профессора А.П. Рябушко 7-е издание






Минск
«Вышэйшая школа»

УДК 51(076.1)(075.8)
ББК 22.1я73
     И60




   Авторы: А.П. Рябушко, В.В. Бархатов, В.В. Державец, И.Е. Юруть

   Рецензенты: кафедра высшей математики №3 Белорусского национального технического университета; заведующий кафедрой высшей математики Белорусского государственного технологического университета доктор физико-математических наук, профессор В.М. Марченко

   Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или любой ее части не может быть осуществлено без разрешения издательства







         Индивидуальные задания по высшей математике : И60 учеб. пособие. В 4ч. Ч.1. Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функций одной переменной / А.П. Ря-бушко [и др.] ; под общ. ред. А. П. Рябушко. - 7-е изд. -Минск : Выш. шк., 2013. - 304 с. : ил.
         ISBN 978-985-06-2221-1.

         Это первая книга комплекса учебных пособий по высшей математике, направленных на развитие и активизацию самостоятельной работы студентов технических вузов. Содержатся теоретические сведения и наборы задач для аудиторных и индивидуальных заданий.
         Предыдущее издание вышло в 2011 г.
         Для студентов инженерно-технических специальностей вузов. Будет полезно студентам экономических специальностей, а также преподавателям вузов, колледжей и техникумов.

УДК 51(076.1)(075.8)
ББК 22.1я73

ISBN 978-985-06-2221-1 (ч. 1)
ISBN 978-985-06-2220-4

    ПРЕДИСЛОВИЕ




   Возникновение новых типов высших и средних учебных заведений, многообразие целей обучения и соответствующих программ по высшей математике, слабая довузовская подготовка многих студентов приводят к необходимости перехода от пассивных форм обучения к активной творческой работе со студентами, от "валового" обучения к усилению индивидуаль-. ного подхода, к развитию творческих способностей обучаемых путем расширения их самостоятельной работы. Такой путь развития и перестройки высшей школы предполагает новое методическое обеспечение учебного процесса: создание современных методик проведения лекционных, практических и лабораторных занятий, подкрепленных соответствующими методическими и учебными пособиями, внедрение новых форм самостоятельной работы, методов ее контроля и т. д.
   Имеющиеся в настоящее время сборники задач и упражнений по общему курсу высшей математики для втузов не дают возможности индивидуализировать обучение из-за своей структуры (малое количество однотипных задач и упражнений, неудачный с методической точки зрения подбор задач). Активизация познавательной деятельности студентов, выработка у них способности самостоятельно решать достаточно сложные проблемы может быть достигнута, по мнению авторов, при такой организации учебного процесса, когда каждому студенту выдаются индивидуальные домашние задания (ИДЗ) и достаточно часто проводятся самостоятельные (контрольные) работы во время аудиторных занятий (АЗ) с обязательным последующим контролем их выполнения и выставлением оценок. Это мнение подкрепляется личным опытом авторов и педагогическими экспериментами, проведенными в

3

последние годы в ряде втузов, например в Белорусском государственном аграрном техническом университете, Белорусском национальном техническом университете, Дальневосточном государственном техническом университете и др.
   Данная книга открывает комплекс учебных пособий под общим названием "Индивидуальные задания по высшей математике", написанный в соответствии с действующими программами курса высшей математики в объеме 380 — 450 часов для инженерно-технических специальностей вузов. Этот комплекс также может быть использован в вузах других профилей, в которых количество часов, отведенное на изучение высшей математики, значительно меньше. (Для этого из предлагаемого материала следует сделать необходимую выборку.) Кроме того, он вполне доступен для студентов вечерних и заочных отделений втузов.
   Предлагаемое пособие адресовано преподавателям и студентам и предназначено для проведения практических занятий и самостоятельных (контрольных) работ в аудитории и выдачи ИДЗ по всем разделам курса высшей математики.
   В первой книге данного комплекса содержится материал по линейной и векторной алгебре, аналитической геометрии и дифференциальному исчислению функций одной переменной.
   Авторы выражают искреннюю благодарность рецензентам — коллективу кафедры высшей математики № 3 Белорусского национального технического университета, возглавляемому доцентом В. Ф. Бубновым, и заведующему кафедрой высшей математики Белорусского государственного технологического университета доктору физико-математических наук, профессору В. М. Марченко — за ценные замечания и советы, способствовавшие улучшению книги.
   Все отзывы и пожелания просьба направлять по адресу: проспект Победителей, 11, 220048, Минск, издательство "Вышэйшая школа".


Авторы

    МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ




   Охарактеризуем структуру пособия, методику его использования, организацию проверки и оценки знаний, навыков и умений студентов.
   Весь практический материал по курсу высшей математики разделен на главы, в каждой из которых даются необходимые теоретические сведения (основные определения, понятия, формулировки теорем, формулы), используемые при решении задач и выполнении упражнений. Изложение этих сведений иллюстрируется решенными примерами. (Начало решения примеров обозначается символом ►, а конец — ◄.) Затем даются подборки задач с ответами для всех практических аудиторных занятий (АЗ) и самостоятельных (миниконтрольных) работ на 10 — 15 минут во время этих занятий. И, наконец, приводятся недельные индивидуальные домашние задания (ИДЗ), каждое из которых содержит 30 вариантов и сопровождается решением типового варианта. Часть задач из ИДЗ снабжена ответами. В конце каждой главы помещены дополнительные задачи повышенной трудности и прикладного характера.
   В приложении приведены одно- и двухчасовые контрольные работы (каждая по 30 вариантов) по важнейшим темам курса.
   Нумерация АЗ сквозная и состоит из двух чисел: первое из них указывает на главу, а второе — на порядковый номер АЗ в этой главе. Например, шифр АЗ-2.1 означает, что АЗ относится ко второй главе и является первым по счету. В первой книге комплекса содержится 27 АЗ и 14 ИДЗ.
   Для ИДЗ также принята нумерация по главам. Например,

5

шифр ИДЗ-5.2 означает, что ИДЗ относится к пятой главе и является вторым. Внутри каждого ИДЗ принята следующая нумерация: первое число означает номер задачи в данном задании, а второе — номер варианта. Таким образом, шифр ИДЗ-5.2:16 означает, что студент должен выполнить 16-й вариант из ИДЗ-5.2, который содержит задачи 1.16, 2.16, 3,16, 4.16. При выдаче ИДЗ студентам номерй выполняемых вариантов можно менять от задания к заданию по какой-либо системе или случайным образом. Более того, можно при выдаче ИДЗ любому студенту составить его вариант, комбинируя однотипные задачи из разных вариантов. Например, шифр ИДЗ-3.1:1.2; 2.4; 3.6 означает, что студенту следует решать в ИДЗ-З.1 первую задачу из варианта 2, вторую — из варианта 4 и третью — из варианта 6. Такой комбинированный метод выдачи ИДЗ позволяет из 30 вариантов получить большое количество новых вариантов.
   Внедрение ИДЗ в учебный процесс некоторых втузов показало, что целесообразнее выдавать ИДЗ не после каждого АЗ (которых, как правило, два в неделю), а одно недельное ИДЗ, включающее основной материал двух АЗ данной недели.
   Дадим некоторые общие рекомендации по организации работы студентов в соответствии с настоящим пособием.
   1.    В вузе студенческие группы по 25 человек, проводятся два АЗ в неделю, планируются еженедельные необязательные для посещения студентами консультации, выдаются недельные ИДЗ. При этих условиях для систематического контроля с выставлением оценок, указанием ошибок и путей их исправления могут быть использованы выдаваемые каждому преподавателю матрицы ответов и банк листов решений, которые кафедра заготавливает для ИДЗ (студентам они не выдаются). Если матрицы ответов составляются для всех задач из ИДЗ, то листы решений разрабатываются только для тех задач и вариантов, где важно проверить правильность выбора метода, последовательности действий, навыков и умений при вычислениях. Кафедра определяет, для каких ИДЗ нужны листы решений. Листы решений (один вариант располагается на одном листе) используются при самоконтроле правильности выполнения заданий студентами, при взаимном студенческом контроле, а чаще всего при комбинированном контроле:

6

преподаватель проверяет лишь правильность выбора метода, а студент по листу решений — свои вычисления. Эти методы позволяют проверить ИДЗ 25 студентов за 15 — 20 минут с выставлением оценок в журнал.
   2.    Студенческие группы в вузе по 15 человек, проводятся по два АЗ в неделю, в расписание для каждой группы включены обязательные два часа в неделю самоподготовки под контролем преподавателя. При этих условиях организация индивидуальной, самостоятельной, творческой работы студентов, оперативного контроля за качеством этой работы значительно улучшается. Рекомендованные выше методы пригодны и в данном случае, однако появляются новые возможности. На АЗ быстрее проверяются и оцениваются ИДЗ, во время обязательной самоподготовки можно проконтролировать проработку теории и решение ИДЗ, выставить оценки части студентов, принять задолженности по ИДЗ у отстающих.
   Накапливание большого количества оценок за ИДЗ, самостоятельные и контрольные работы в аудитории позволяет контролировать учебный процесс, управлять им, оценивать качество усвоения изучаемого материала
   Все это дает возможность отказаться от традиционного итогового семестрового (годового) экзамена по материалу всего семестра (учебного года) и ввести рейтинг-блок-модульную систему (РБМС) оценки знаний и навыков студентов, состоящую в следующем. Материал семестра (учебного года) разделяется на 3 — 5 блоков, по каждому из которых выполняются АЗ, ИДЗ и в конце каждого цикла — двухчасовая письменная коллоквиум-контрольная работа, в которую входят 2 — 3 теоретических вопроса и 5 — 6 задач. Учет оценок по АЗ, ИДЗ и коллоквиуму-контрольной позволяет вывести объективную общую оценку за каждый блок и итоговую оценку по всем блокам семестра (учебного года). Положение о РБМС см. в прил. 5.
   В заключение отметим, что усвоение содержащегося в пособии материала гарантирует хорошие знания студента по соответствующим разделам курса высшей математики. Для отлично успевающих студентов необходима подготовка заданий повышенной сложности (индивидуальный подход в обучении!) с перспективными поощрительными мерами. Напри

7

мер, можно разработать для таких студентов специальные задания на весь семестр, включающие задачи настоящего пособия и дополнительные более сложные задачи и теоретические упражнения (для этого, в частности, предназначены дополнительные задачи в конце каждой главы). Преподаватель может выдать эти задания в начале семестра, установить график их выполнения (под своим контролем), разрешить свободное посещение лекционных или практических занятий по высшей математике и в случае успешной работы выставить отличную оценку до экзаменационной сессии.

    1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ






1.1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ИХ СВОЙСТВА. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ


   Определителем п-го порядка называется число Дп, записываемое в виде квадратной таблицы

011 012 013 • • а1п 
021 022 023 ■ • О2п 
Оп1 Оп2 впЗ • • 0>пп

(1.1)

и вычисляемое, согласно указанному ниже правилу, по заданным числам aij (i,j = 1,п), которые называются элементами определителя (всего их п²). Индекс i указывает номер строки, a j — номер столбца квадратной таблицы (1.1), на пересечении которых находится элемент atj. Любую строку или столбец этой таблицы будем называть рядом.
    Главной диагональю определителя называется совокупность элемен

тов ац,а22, ,аПп.
    Минором M{j элемента а^ называется определитель (п — 1)-го порядка Д„_ 1, полученный из определителя n-го порядка Дп вычеркиванием i-й строки и J-го столбца.
    Алгебраическое дополнение Ху элемента a,j определяется равенством
Ац = (.-iy⁺ⁱMij.

Для п — 3

Значение определителя Дп находится по следующему правилу. Для п = 2

△2 = oil 012 = ОЦО22 - 012021» (1.2)
     021 022                        

Оц 012      013

△з = 021 022  023 =011X11+012X12+013X13,


(1-3)

                  031   032   033

9

где

Ац = (-1)¹⁺¹Мц = (-1)¹+¹

022

032

023

033

Л12 = (-1)¹⁺²W12 = (~1)¹⁺²

021

031

023

033

А13 = (-1)¹⁺³M13 = (-1)¹⁺³

021

031

022

032

Величины Ац,А12,Л1з — алгебраические дополнения, а Мц,М12, М1з — миноры определителя Дз, соответствующие его элементам оц, 012,013. Эти миноры являются определителями второго порядка, получаемыми из определителя Дз вычеркиванием соответствующих строки и столбца. Например, чтобы найти минор Мц, следует в определителе Дз вычеркнуть первую строку и второй столбец.
   Для произвольного п
п
△п = У' «нЛ»,                      (1.4)
к=1
где Ац = (—1)¹⁺*Л41*, а миноры Мц, являющиеся определителями (п — 1)-го порядка, получаются из Дп вычеркиванием первой строки и fc-ro столбца.
   Например,
Д² ⁼ |1 ”5|=³'⁵-(-²)'¹ ⁼ ¹⁷!

= 4(—7) - 7(21 - 25) - 2 • 5 = -10;

△4 =

-1
О
1
5

 1  2 0        4  1 -2
4   1 -2 = -1 -3 -1 0 
-3 -1 0        0  0 4 
0   0 4               
   0 1  -2    0  4 -2   0   4 1 
-1 1 -1 0 + 2 1 -3  0 -0 1 -3 -1
   5 0  4     5  0  4    5  0 0 

= -(4(-4) + 3 • 4 - 2 • 0) - (0(—4) - 4 - 2 • 5) + 2(0(-12)-4 • 4 - 2 ■ 15) = -74.
    Замечание. Если элементами определителя являются некоторые функции, то данный определитель, вообще говоря, тоже функция (но может быть и числом). Например,
                 I cos х sin х I о .2
= cos х — sin x = cos 2x;
                  sin X COS X

10