К вопросу о представлении компактов Стоуна

ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. КОМПЬЮТЕРНЫЕ НАУКИ

МАТЕМАТИКА



2013. Вып.4

УДК 519.6


© А. Г. Ченцов


            К ВОПРОСУ О ПРЕДСТАВЛЕНИИ КОМПАКТОВ СТОУНА ¹


Рассматриваются вопросы, связанные с представлением ультрафильтров измеримых пространств и конечно-аддитивных (0,1)-мер в интересах последующего применения в конструкциях расширений абстрактных задач о достижимости и экстремальных задач. Исследуются свойства, связанные с применением (обобщенных) декартовых произведений и их подпространств, а также свойство, имеющее смысл отождествимости ультрафильтров и конечно-аддитивных (0,1)-мер и реализуемое в виде гомеоморфизма естественных топологий.

Ключевые слова: расширение, конечно-аддитивная мера, ультрафильтр.


            § 1. Обсуждение задачи


   Предметом исследования в статье являются ультрафильтры (у/ф) широко понимаемых измеримых пространств и конечно-аддитивные (к.-а.) (ОД)-меры. Упомянутые объекты находят применение в качестве обобщенных элементов в конструкциях расширений абстрактных задач о достижимости (направление, связанное с постановками задач теории управления, в которых допускается релаксация ограничений; см. [1]) и в расширениях, используемых в общей топологии (см., например, [2]). В первом случае важно бывает получить конструктивные представления обобщенных элементов, допустимых в смысле соблюдения некоторых ограничений асимптотического характера (см., например, [3]). Для исследования таких задач в [4] была использована схема на основе компактификации Стоуна-Чеха. Основное затруднение возникало при этом в связи с отсутствием конструктивного описания свободных у/ф семейства всех подмножеств (п/м) пространства обычных решений. Преодолеть указанное затруднение иногда удается на пути использования у/ф измеримых пространств (ИП), то есть посредством обращения к компактам Стоуна: в целом ряде случаев оказывается возможным получить исчерпывающее описание пространства у/ф соответствующей алгебры множеств (см. [5,6]). Эти результаты дополняются положениями относительно структуры целевых операторов, допускающих реализацию схемы расширения, подобную «стоун-чеховскому» варианту [4], но осуществляемую в классе у/ф ИП (см., в частности, [6]); имеется в виду использование отображений с ярусными компонентами.
   Представляется полезным, хотя бы на гипотетическом уровне, связать данную схему с проблемой описания компактов Стоуна в случае функциональных пространств. Это может представлять интерес для построения абстрактных расширений задач управления. В самом деле, управления-программы составляют в типичных случаях п/м бесконечного, вообще говоря, декартова произведения конечномерных компактов (имеется в виду вариант, соответствующий задачам управления с геометрическими ограничениями). В частности (ограничимся сейчас обсуждением этого случая), можно рассматривать произведение отрезков, то есть замкнутых промежутков. Характерные типы условий на выбор программных управлений доставляют требования, касающиеся измеримости, кусочной непрерывности или кусочного постоянства функций — элементов упомянутого произведения. Для получающихся п/м декартова произведения надлежит ввести соответствующую измеримую структуру в виде алгебры множеств (более общие варианты сейчас не обсуждаем) и построить компакт у/ф данной алгебры. В настоящей работе рассматривается вариант такого построения. При этом не предполагается, что
   Работа выполнена в рамках программ Президиума РАН (проекты 12-П-1-1019, 12-П-1-1012) и при финансовой поддержке РФФИ (проект 12-01-00537).

                   К вопросу о представлении компактов Стоуна               157

МАТЕМАТИКА                                                           2013. Ввш.4

множество, определяющее «единицу» возникающего подпространства исходного ИП, является измеримым: пространство Стоуна и его представление конструируются в общем случае неизмеримого подпространства.
   Упомянутые конструкции, реализуемые в классе у/ф, естественным образом связываются с расширениями в классе к.-а. (0,1)-мер. Погружение у/ф соответствующего ИП в пространство к.-а. мер ограниченной вариации осуществляется посредством сопоставления каждому у/ф его индикатора, определяемого на соответствующей алгебре или полуалгебре множеств. В настоящей работе последователвно исследуются свойства такого погружения, связанные с оснащением естественными топологиями. Эти конструкции рассматриваются в сочетании с процедурами конструирования у/ф посредством декартовых произведений. Таким образом, реализуется гомеоморфное вложение тихоновского произведения компактов Стоуна в пространство к.-а. мер ограниченной вариации в оснащении *-слабой топологией. Этот факт связывает подходы к построению расширений в классах у/ф и к.-а. (0,1)-мер.
   Следует отметитв, что меры и мерозначные функции широко исполвзуются при построении расширений задач управления, включая игровые задачи (см. [1, 7-10]). Обобщенные управления-меры позволяют решитв в целом ряде практически интересных случаев проблему существования экстремалвного элемента и, более общим образом, позволяют построитв корректное расширение исходной (возможно, неустойчивой) задачи управления. Они активно исполвзовалисв в задачах теории дифференциальных игр Н. Н. Красовским и его учениками; в частности, это касается построения программных конструкций для нелинейных дифференциальных игр (см. [8]).
   В аналогичном качестве для задач импулвсного управления линейными системами с раз-рвгеноствю в коэффициентах при управляющих воздействиях исполвзовалисв к.-а. меры (см., например, [11]). Их применение позволило формализовать в данном классе задач эффекты, имеющие смысл произведения разрывной функции на обобщенную. В частности, это достигается в некоторых случаях посредством применения к.-а. (0,1)-мер, играющих роль обобщенных управлений. По этой причине возможность отождествления у/ф и к.-а. (0,1)-мер представляется полезной с точки зрения логической стыковки конструкций на основе пространств сто-уновского представления и построений с использованием обобщенных управлений-мер.


            § 2. Обозначения и определения общего характера



   В дальнейшем используем стандартную теоретико-множественную символику, включая кванторы, пропозициональные связки, специальные символы: def (по определению), = (равно по определению). Принимаем аксиому выбора. Если тип — объектьi, то через {т; п} обозначаем множество, содержащее т, п и не содержащее никаких других элементов ({т; п} — неупорядоченная пара объектов т, п). Тогда для всякого объекта h в виде {h} = {h; h} имеем одноэлементное множество, содержащее h. Семейством называем множество, все элементы которого — множества. В дальнейшем важную роль будут играть семейства подмножеств (п/м) того или иного множества; в этой связи условимся о соглашениях: если X — множество, то через P (X) (через P'(X)) обозначаем семейство всех (всех непустых) п/м X, Fin(X) есть def семейство всех конечных множеств из P'(X). Разумеется, для каждого множества Y в виде P'(P(Y)) имеем семейство всех непустых подсемейств P(Y). Через BA обозначаем множество всех отображений (функций) из множества А в множество B; если пр и этом f Е B A и C Е P (А), то f 1(C) △ {f (x) : x Е C} есть образ множества C при действии f. Ес ли H — непустое семейство и M — множество, toH|m = {HПM : H Е H} Е P'(P(M)) есть след H нa M. Используем индексную форму записи отображений (см. [1]).
   Через R обозначаем вещественную прямую, N = {1; 2;...} (натуральный ряд) и p, q = {i Е N | (p < i) & (i < q)} Vp Е N V q Е N. Для каждого непустого множества H через R₊[H] обозначаем множество всех вещественнозначных (принимающих значения в R) неотрицательных функций, определенных на H. Если X — непустое множество и Y Е P(X), то Iy [X] Е R+[X]