Магистральные процессы управляемых систем на гладких многообразиях

ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. КОМПЬЮТЕРНЫЕ НАУКИ

МАТЕМАТИКА



2013. Вып.4

УДК 515.163.1 + 517.977.1


© Е. Л. Тонков


МАГИСТРАЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ
УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ НА ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЯХ¹

Рассматриваются так называемые стандартные управляемые системы, это системы дифференциальных уравнений, заданных на гладких многообразиях конечной размерности, равномерно непрерывные и ограниченные по времени на числовой прямой и локально липшицевы по фазовым переменным. Кроме того, предполагается, что задано компактное множество, задающее геометрические ограничения на допустимые управления и, кроме того, выполнено условие невырожденности, означающее, что для каждой точки фазового многообразия и всех моментов времени найдется управление, при котором значение векторного поля содержится в евклидовом пространстве, касательном к фазовому многообразию в заданной точке.
   При помощи модифицированного метода функции Ляпунова и построения омега-предельного множества соответствующей динамической системы сдвигов сформулированы утверждения о существовании ограниченных на положительной полуоси допустимых управляемых процессов и утверждение о равномерной локальной управляемости соответствующего магистрального процесса.

Ключевые слова: магистральные процессы, многообразия конечной размерности, равномерная локальная управляемость, омега-предельные множества, функции Ляпунова.


Введение

В настоящее время нет установившегося определения магистрального процесса управляемой системы. Я называю допустимый процесс магистральным, если наряду с требованиями «маги-стральности» процесса с точки зрения А. И. Панасюка и В. И. Панасюка (см. [1]) выполнены следующие два дополнительных требования: требование равномерной магистральности процесса с точки зрения структуры омега-предельного множества динамической системы сдвигов и наличие равномерной локальной управляемости магистрального процесса.
   В этой краткой заметке, открывающей цикл статей о магистральных процессах, заданных на гладких многообразиях конечной размерности, рассматриваются вопросы существования и равномерной устойчивости магистральных процессов.

§ 1. Стандартные управляемые системы

Основным объектом этой статьи является стандартная управляемая система.
  Определение 1 (стандартная управляемая система). Управляемую систему

Х = v(t,x,u), (t,x,u) G RxM xU,

будем называть стандартной, если выполнены следующие условия.
   1.   U — компакт в евклидовом пространстве Rm размерности m, M — связное, ориентиру-имое многообразие измерности п, обладающее свойством отделимости и имеющее счетный M
в евклидово пространство R²" ¹¹ размерности 2n + 1 (при высказанных предположениях такое вложение всегда возможно).


   Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ (№ 12-01-00195), Программы Президиума РАН при фи
нансовой поддержке УрО РАН (проект № 12-П-1002).

       Магистральные процессы управляемых систем на гладких многообразиях       133

МАТЕМАТИКА                                                              2013. Вып.4

   2.   Для всех (t,x) G R х M, выполнено условие невырожденности
v(t,x,U) Q TXM = 0,

где TₓM — евклидово пространство, касательное к многообразию M в точке x G M.
   3.    Предположим далее, что функция t ^ v(t,x,u) ограничена и равномерно непрерывна на числовой прямой R равномерно относительно любого компактного множества ZK = K х U, где K — произвольный компакт многообразия M и, кроме того, предполагается, что функция x ^ v(t,x,u) удовлетворяет локальному условию Литиица для каждой точки (t,u) G R х U.

   Напомним (см. [2]), что евклидово пространство Rn размерности n — это пространство, снабженное группой параллельных переносов и положительно-определенной билинейной симметрической формой x*Qy = (x,Qy), называемой скалярным произведением. Если в Rn фиксирован ортонормированный О,зис, то предполагается, что Q = E, где E — единичная матица, и тогда |x - y| = y/(xi - У1)² +-+ (xn - yn)².
   В дальнейшем применяются следующие обозначения:

On(x₀) = {x G Rn : |x — x₀| < r}, On(x₀) = {x G Rn : |x — x₀| < r}

— открытый и гамкнутый шары радиуса r с центром в точке x₀ пространства Rn (если x₀ = 0, то пишем On, On, и ли Or, Or, если размерное ть пространства Rn не имеет значения).
M
Mi,ра,нет,вами Хаусдорфа со счетной ^ой. Напомним, что топологическое пространство M называется xpocm,pa,HcmeoM xaycdoM>a [3], если для каждой пары точек x,y G M существуют открытые множества X и Y пространства M такие, что
x G X, y G Y и X Q Y = 0.

Далее, семейство B(A) открытых подмножеств пространства M называется базой пространства M, если для любого отрытого множества V в M найдется такое подмножество U семейства B(A), что имеет место вложение U С V.

§ 2. Гладкие многообразия

Кратко напомним основные понятия, связанные с простейшими гладкими многообразиями.
  Определение 2 (конечномерное многообразие). Многообразием M называется [4-6] топологическое пространство, снабженное гладким атласом. Атлас, покрывающий многообразие, называется дифференцируемой структурой.
                                    Mⁿ            n              X
связное множество) в Rn вместе с взаимно однозначным отображением p : W ^ X, где W — Mⁿ

x G W, p(x) = (x₁ ... xn) G X C Rn.

   Далее, две карты² (Wi, pi, Xi), (Wj, pj-, Xj) многообразия Mn называются согласованными, если множества
Xij = pi (Wi Q Wj), Xji = pj (Wj Q Wi)

                  Rⁿ

pij =pjpi⁻¹ : Xij ^ Xji, pji = pipj⁻¹ : Xji ^ Xij          (2.1)

  ²Для записи карты у : W ^ X могут употребляться также следующие обозначения: (W, у, X) или (W, у, Rⁿ).