О некоторых вероятностных моделях динамики роста популяций

ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. КОМПЬЮТЕРНЫЕ НАУКИ

МАТЕМАТИКА


УДК 517.935 + 517.938



2013. Вып.4

© Л. И. Родина




                О НЕКОТОРЫХ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МОДЕЛЯХ ДИНАМИКИ РОСТА ПОПУЛЯЦИЙ ¹




Разработана новая вероятностная модель, которая применяется для описания динамики роста изолированной популяции. Найдены условия асимптотического вырождения с вероятностью единица для популяции, развитие которой задано управляемой системой со случайными коэффициентами, получены также условия существования управления, приводящего популяцию к вырождению. Исследуется динамический режим развития популяции, находящейся на грани исчезновения; это означает, что с вероятностью единица размер данной популяции окажется меньше минимального критического значения, после которого биологическое восстановление популяции невозможно. Результаты работы проиллюстрированы на примере развития двуполой популяции.

Ключевые слова: вероятностные модели динамики популяции, вероятность вырождения популяции, управляемые системы со случайными коэффициентами.





                Введение




   В работах [1-3] (см. также обзор в [4]) изучаются детерминированные математические модели динамики численности изолированной популяции, в которых гибель особей носит непрерывный характер, а появление особей новых генераций происходит в некоторые фиксированные моменты времени т^. В данной работе предложена новая вероятностная дискретно-непрерывная модель, в которой предполагается, что развитие популяции на интервалах времени (т^ ,т^+1), так же как и моменты зависят от различных изменений внешней среды, поэтому динамика популяции описывается управляемой системой со случайными коэффициентами. Для данной популяции исследованы различные динамические режимы развития, получены условия асимптотического вырождения с вероятностью единица и условия существования управления, приводящего популяцию к вырождению. Результаты работы могут найти применение в практических задачах, в которых управляющие воздействия направлены либо на увеличение размера популяции (сохранение редких видов животных, занесенных в красную книгу), либо на его уменьшение (управление численностью вредных насекомых, задачи эпидемиологии).
   Согласно А. Н. Колмогорову [5], детерминированные модели описывают динамику роста популяции для случая, когда ее численность достаточно велика, а при низких значениях эти модели неприменимы. Подобное допущение сделаем и для введенной в работе вероятностной модели. Будем предполагать, что популяция исчезает не только когда ее размер асимптотически стремится к нулю. Она также вырождается, если этот размер окажется меньше некоторого минимального критического значения х*, после которого восстановление популяции с биологической точки зрения невозможно, несмотря на то что решение системы, описывающей развитие данной популяции, после достижения минимального значения может возрастать. Если речь идет о популяциях млекопитающих, то говорят, что они находятся на грани исчезновения и данный вид может исчезнуть в том случае, если несколько лет подряд будет подвергаться неблагоприятным условиям (нехватка корма, истребление браконьерами).

   Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 12-01-00195-а).

по

Л. И. Родина

МАТЕМАТИКА                                                           2013. Вып.4

§ 1. Описание вероятностной дискретно-непрерывной модели динамики роста популяции




                1.1. Примеры дискретно-непрерывных моделей роста популяции




   Приведем примеры детерминированных моделей, которые изучены в работах [1, с. 36, 69], [2,3] и послужат в дальнейшем основой для построения вероятностной модели.
  Пример 1. Целесообразность применения этой модели связана с тем, что в реализации процесса рождения, появления новых генераций особей наблюдается синхронность. В то же время процесс гибели носит непрерывный характер, каждая отдельная особь может погибнуть в любой момент времени под воздействием различных факторов. Для описания динамики популяции в этом случае требуется дифференциальное уравнение с импульсным воздействием, траектории которого терпят разрыв в определенные моменты времени (моменты появления новых поколений) Tk = kT, где T > 0, k = 1, 2,... . В рамках модели можно допускать, что появление новой генерации осуществляется моментально в моменты времени Tk, поскольку временной диапазон ее появления намного меньше времени жизни отдельных особей. Предполагается, что численность популяции изменяется согласно дифференциальному уравнению

z = -zR(z), t = Tk, △z|t_ = lz,
tT k

где AzL_ = z(Tk+0)-z(Tk—0), I = const > 0 — коэффициент размножения, равный количеству ItTk
новых особей, приходящихся на одну выжившую к моменту размножения особь в популяции. Функция R(z~) является интенсивностью гибели особей, она дифференцируема и удовлетворяет следующим условиям, которые реализуются во многих моделях динамики популяций:

                      R(0) > 0, R¹ (z) > 0, lim R(z) = +тс.                (1.1)
z^+ж

В работе [1] показано, что при выполнении условий (1.1) численность популяции (рассматрива-Tₖ
устойчивый стационарный уровень.

  Пример 2. Существуют различные модели динамики роста популяции (например, модели с типовой структурой, с возрастной структурой, модели, описывающие динамику численности особей разных типов и различных возрастных классов), в которых предполагается, что переход из одного типа или класса в другой носит скачкообразный характер и осуществляется в фиксированные моменты времени Tk. Это модели с непрерывно-дискретным поведением траекторий, которые описываются системой дифференциальных уравнений с импульсным воздействием; такое же поведение траекторий будет и для популяции с половой структурой (примеры описания этих моделей см. в [1, с. 68-76], [2]). Рассматриваются популяции, динамика развития которых задана управляемой системой

x = f (t,x,u), t = Tk, Ax|ₜ—Tk = g(x,w), (t,x,u,w) G R x Rn x Rm x Rp,

где Tk = kT, k = 1,2,..., Rn — стандартное евклидово пространство размерности n со скалярным произведением (x,y) и нормой |x| = л/(x, x). Обозначим через comp(Rn) пространство непустых компактных подмножеств пространства Rn. Допустимыми управлениями u(t) являются всевозможные ограниченные измеримые функции со значениями в множестве U G comp(Rm), вектор w является управляющим воздействием, влияющим на поведение системы в моменты времени Tk и принимает значения в множестве W G comp(Rp). Предполагаем, что функции f (t,x,u) и g(x,w) непрерывны по совокупности переменных.
   Поставим в соответствие системе (1.2) дифференциальное включение

                          x G F(t,x), F(t,x)=coF(t,x),                     (1.3)


1.2