Погрешность интерполяции многочленами шестой степени на треугольнике

ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. КОМПЬЮТЕРНЫЕ НАУКИ

МАТЕМАТИКА



2013. Вып.4

УДК 517.518


© Н. В. Латыпова




                ПОГРЕШНОСТЬ ИНТЕРПОЛЯЦИИ МНОГОЧЛЕНАМИ ШЕСТОЙ СТЕПЕНИ НА ТРЕУГОЛЬНИКЕ




Рассматривается биркгофова интерполяция функции двух переменных многочленами шестой степени на треугольнике. Подобные оценки автоматически переносятся на оценки погрешности метода конечных элементов, с которым тесно связаны. Оценки погрешности для предложенных элементов зависят только от диаметра разбиения и не зависят от углов триангуляции. Показана неулучшаемость полученных оценок. Неулучшаемость понимается в том смысле, что существует функция из заданного класса и существуют абсолютные положительные константы, не зависящие от триангуляции, такие, что для любого невырожденного треугольника справедливы оценки снизу.

Ключевые слова: погрешность интерполяции, кусочно-полиномиальная функция, триангуляция, метод конечных элементов.





                Введение





   Работа продолжает исследования [1-4], в которых рассматривались способы интерполяции типа Биркгофа многочленами (второй, третьей, четвертой и пятой степеней соответственно) на треугольнике, оценки погрешности в которых зависят только от наибольшей стороны треугольника и не зависят от углов триангуляции. Была показана неулучшаемость полученных оценок. Отметим, что построенные кусочно-полиномиальные функции глобально не являются непрерывными. Подобные конечные элементы успешно использовались при решении задач о движении несжимаемой жидкости (уравнения Навье-Стокса).
   В настоящей работе предлагаются условия интерполяции типа Биркгофа многочленами шестой степени на треугольнике, оценки погрешности в которых зависят только от наибольшей стороны треугольника и не зависят от углов. Показана неулучшаемость полученных оценок. Неулучшаемость понимается в том смысле, что существует функция из заданного класса и существуют абсолютные положительные константы, не зависящие от триангуляции, такие, что для любого невырожденного треугольника справедливы оценки снизу.




                § 1. Постановка задачи





   В силу локальности рассматриваемых интерполяционных условий, на которых построенный интерполяционный многочлен шестой степени будет определяться однозначно, ограничимся рассмотрением лишь одного треугольника. Пусть △— невырожденньш треугольник в R². При i = 1, 2, 3 через ai будем обозначать вершины треугольника △, через ni — единичную нормаль к стороне [aᵢ,a₂], через b1— середин у стороны [aᵢ,a₂]. Пусть точки b₂ и b₃ делят наибольшую сторону [ai, a₂] на три равные части, а точки bi пр и i = 4, 5,6 делят сторону [aᵢ, a₂] на четыре


равные части.
△
ординаты aᵢ = (b, 0), a₂ = (-a, 0), a₃ = (0,h), при чем 0 < a < b и длина наибольшей стороны треугольника △ рав на a + b = H. Тогда серед ина стороны [aᵢ, a₂ ] будет иметь координаты

a, 0^, а остальные точки — b₂ = (—

2a

a, 0) ,b₆ = (

3b 
a,0), b4 = (b

3a
—, ¹¹,

Обозначим через

a
—, 0 1, при этом заметим,

что b₅ = Ь1.

D, / (x.y)= n¹¹’/^

bi = (b 2 b5 = (

	

	

3

, 0), b3 = (2b

	

	

3

4

4

+ (2) d/⁽x,y) dy