Равномерная аппроксимация рекуррентных и почти рекуррентных функций

ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. КОМПЬЮТЕРНЫЕ НАУКИ

МАТЕМАТИКА



2013. Вып.4

УДК 517.518.6

© Л. И. Данилов

РАВНОМЕРНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ РЕКУРРЕНТНЫХ


            И ПОЧТИ РЕКУРРЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ ¹


Рассматриваются классы функций f : R Ю- U со значениями в метрическом пространстве (U, р), преобразования Бохнера которых являются рекуррентными и почти рекуррентными функциями. Улучшены полученные ранее результаты о равномерной аппроксимации функций из рассматриваемых классов элементарными функциями из этих же классов. Эти результаты находят применение в исследовании вопроса о существовании удовлетворяющих ряду дополнительных условий почти рекуррентных сечений многозначных отображений. В последней части работы доказан вариант теоремы Лузина для рекуррентных функций.

Ключевые слова: рекуррентная функция, сечение, многозначное отображение, теорема Лузина.


            Введение


   В работе рассматриваются функции f : R ^ U со значениями в полном метрическом пространстве (U, р), для которых преобразования Бохнера R Э t ^ {[-l,l] Э т ^ f(t + т)}, l > 0, со значениями в пространствах измеримых функций, определенных на отрезках [—1,1], с метрикой, сходимость в которой эквивалентна сходимости по мере Лебега, и в пространствах Lp([—l,l],U), p ^ 1, являются рекуррентными и почти рекуррентными функциями. В первом случае функции f называются (почти) M-рекуррентными; а во втором — (почти) Lp -рекуррентными. В статье усилены и дополнены результаты из [1] (см. также [2]). В частности, приведен более сильный вариант теоремы о равномерной аппроксимации почти M-рекуррентных и почти Lfₒc-рекуррентных функций элементарными функциями из соответствующих пространств почти M-рекуррентных и почти Lfₒc.-рекуррентных функций (см. теорему 2). Теорема 2 позволяет доказать усиленный вариант утверждения (сформулированного в виде теоремы 7) о существовании удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям почти M-рекуррентных (почти Lpoc-рекуррентных) сечений многозначных почти M-рекуррентных (почти Lfₒc-рекуррентных) отображений. Равномерная аппроксимация измеримых функций элементарными функциями естественно используется при доказательстве существования измеримых сечений многозначных измеримых отображений (что было сделано еще в статье Рохлина [3]). При этом для многозначных отображений из разных классов (многозначных измеримых) функций вопрос о существовании у них сечений из соответствующих классов функций может быть сведен к вопросу о существовании равномерной аппроксимации функций из рассматриваемых классов элементарными функциями из этих же классов. Таким методом можно доказать существование почти периодических (и. и.) по Степанову сечений многозначных п. п. по Степанову отображений [4-8] (впервые существование таких сечений было доказано в [9] на основе результатов Фришковского [10]). Предложенный метод использовался в [11-13] и [14] для доказательства существования и. и. по Вейлю и п. п. по Безиковичу сечений многозначных п. п. (по Вейлю и по Безиковичу соответственно) отображений. В статье также на основе теоремы о равномерной аппроксимации M-рекуррентных и Lfₒc.-рекуррентных функций элементарными функциями из этих же пространств доказан вариант теоремы Лузина для рекуррентных функций (сформулированный в виде теоремы 10).
   В § 1 приведены необходимые определения, а также некоторые утверждения о (почти) рекуррентных функциях. Основные свойства (почти) рекуррентных функций изложены в [15,16].

   Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №12-01-00195).

      Равномерная аппроксимация рекуррентных и почти рекуррентных функций 37

МАТЕМАТИКА                                                  2013. Вып.4


Более подробное изложение используемых здесь понятий и результатов о (почти) рекуррентных функциях содержится в [1]. В §2 сформулированы и доказаны теоремы 2 и 7, которые (вместе с теоремой 10 из § 3) являются основными результатами работы. В § 3 доказан вариант теоремы Лузина для рекуррентных функций.



            § 1. Обозначения, определения и некоторые утверждения



   Пусть (U, р) — полное метрическое пространство, mes — мера Лебега на R. Функция f : R ^ U называется элементарной, если существуют точки Xj Е Un попарно непересекающиеся измеримые по Лебегу множества Tj С R, j е N, такие, что mes R \ |J Tj = 0 и f (t) = Xj при j
t Е Tj . Такую функцию будем обозначать через


12 xj XTj (•), j

(1-1)



где xt — характеристическая функция множества T С R. Элементарная функция может принимать конечное множество значений (например, если {xj : j Е N} — конечное множество или Tj = 0 для всех достаточно больших j). Для произвольных функций fj : R ^ U, j Е N, через


52 f/(О \г (•) j


(1-2)

обозначается функция, совпадающая с fj (•) на множествах Tj . (Введенные обозначения (1.1) и (1-2) формально некорректны, так как метрическое пространство U не обязательно является линейным. Однако никаких линейных операций над такими функциями производиться не будет.)
   Функция f : R ^ U (сильно) измерима, если для любого е > 0 существует элементарная функция f£ : R ^ U такая, что p(f (t), f£(t)) < е при почти всех (п. в.) t Е R. Для измеримого множества T С R (для которого mes T = 0) функция f : T ^ U измерима, если она является сужением некоторой измеримой функции f : R ^ U на множество T. Пусть M(R, U) — множество измеримых функций f : R ^ U, при этом функции, совпадающие при п. в. t Е R, отождествляются (поэтому измеримые функции и в том числе функции (1.1) и (1.2) (с измеримыми функциями fj) могут не определяться на множествах нулевой меры Лебега).
   Пусть L^(R, U) — метрическое пространство в существенном ограниченных измеримых функций f : R ^ U с метрикой


D(^⁾⁽f,g⁾ = ess suP P⁽f ⁽t⁾,g⁽t⁾⁾.
t e R

    Через L^c(R, U) обозначается множеств о измеримых функций f : R ^ U таких, что для любого l > 0
ess sup p(f (т),x₀) < +^
                                     T e [—¹> l]
для некоторого (и, следовательно, для всех) х₀ Е U. На L^c(R, U) определяются псевдометрики


D(2i ⁽f,g) =ess suP p⁽f⁽т⁾,д⁽т)), l > ⁰, T e [—l,l]

и метрика

+^
i = 1

                                             Dlg?<(f.g)
                                            1 + <)i(/•«).

В дальнейшем будет рассматриваться подпространство (C(R, U),d^) метрического пространства ⁽Lbc⁽R,U ), d^), состоящее из непрерывных функций f : R ^ U.