Конечно-элементный анализ. Возможности и перспективы применения при решении задач обработки металлов давлением

Сборник статей "Современные технологии обработки металлов и сплавов" 
 

112

УДК  539.3 
DOI 10.12737/8150 

КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫЙ АНАЛИЗ. ВОЗМОЖНОСТИ И 

ПЕРСПЕКТИВЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ 

ОБРАБОТКИ МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ 

Галкин Виктор Иванович 

д.т.н., профессор  

ФГБОУ ВПО  "МАТИ – Российский  государственный  

технологический университет   имени  К.Э. Циолковского" 

121552, г. Москва,  Оршанская ул., д.3, тел. (499) 141-94-95.   

Е-mail: galkin@mati.ru, tomd@mati.ru 

 

Рассматриваются вопросы и перспективы применения конечно-элементного 

анализа для решения задач обработки металлов давлением. В основе данного метода 

лежит замена искомой непрерывной функции ее дискретной моделью. Для этого ис
следуемая область разбивается на множество подобластей - конечных элементов, 

представляющих собой фигуры в виде плоских либо объемных многоугольников с узло
выми точками в их вершинах, а для комплекс-элементов - дополнительными узлами на 

сторонах многоугольников.  

 

 
Математическое моделирование является одним из наиболее эффек
тивных инструментов, применяемых при исследовании и разработке про
цессов обработки металлов давлением (ОМД). Исследование пластическо
го течения металлических материалов относится к числу наиболее слож
ных задач математического анализа, для которых полная математическая 

модель содержит 15 в основном интегральных и дифференциальных урав
нений.  Точное решение подобных систем классическими методами не 

представляется возможным [1]. В связи с чем до последнего времени при
менялись упрощенные методы анализа, не обладающие высокой точно
стью. Результаты теоретических решений по распределению напряженно
деформированного состояния (НДС)  в заготовке носили скорее качествен
ный, чем количественный, характер. Кроме того, проследить в динамике 

Раздел 1.  Теория и технология обработки металлов и сплавов давлением 
 

113

картину пластического течения  материала можно было в отдельных слу
чаях лишь экспериментально. Не случайно, что  при разработке нового 

технологического процесса до сих пор, как правило, не принимается во 

внимание характер течения материала, а в качестве исходных данных для 

проектирования технологии используются чертеж чистовой детали, а так
же  информация о марке и состоянии поставки материала. Вследствие это
го вопросы управления структурой и свойствами деформируемых матери
алов, которые во многом определяются характером НДС, главным обра
зом, решаются на уровне эмпирических знаний. 

С развитием вычислительной техники все большее значение для ана
лиза напряженно-деформированного состояния при изучении процессов 

ОМД приобретают модели, построенные на базе численных методов. В 

этой связи особую роль и перспективу имеет метод конечных элементов 

(МКЭ). МКЭ относится к группе проекционно-сеточных методов [2-4]. В 

его основе лежит замена искомой непрерывной функции ее дискретной 

моделью. Для этого исследуемая область разбивается на множество подоб
ластей - конечных элементов, представляющих собой фигуры в виде плос
ких либо объемных многоугольников с узловыми точками в их вершинах, 

а для комплекс-элементов - дополнительными узлами на сторонах много
угольников. В рамках каждого конечного элемента искомая функция ап
проксимируется полиномом, который в узловых точках приобретает опре
деленные значения. Эта замена на уровне конечных элементов представля
ет собой первый этап моделирования - локальную аппроксимацию, которая 

позволяет легко задавать и контролировать граничные и начальные усло
вия решения задачи. Для рассмотрения зоны деформации как единого це
лого переходят ко второму этапу - глобальной аппроксимации. Объедине
ние конечных элементов в единую модель осуществляется путем уравно
вешивания значений полиномов соседних элементов в каждой их совмест
ной узловой точке. Определение искомых значений функции осуществля

Сборник статей "Современные технологии обработки металлов и сплавов" 
 

114

ется либо методом Галеркина, где минимизируется ошибка решения зада
чи на основе приближенной модели, либо с помощью метода Рица, осно
ванного на минимизации функционала, который описывает физическую 

сущность процесса. В итоге математическая модель заменяется системой 

алгебраических уравнений типа: 

[K](U) + [B] = 0, 

где  [K] - матрица жесткости; U - вектор неизвестных узловых значе
ний искомой функции; [B] - вектор свободных членов. 

 Значительным преимуществом МКЭ является возможность модели
рования деформационных нестационарных процессов. Для этого на базе 

разработанной модели получают ряд последовательных решений с опреде
ленным шагом по времени. Причем решение, найденное на предыдущем 

шаге, применяется как начальное (опорное) для последующего шага. В 

итоге МКЭ представляет собой хорошо формализованный метод, который 

реализуется в виде итерационного процесса с циклами по элементам и по 

времени. В итоге результаты моделирования позволяют анализировать 

процесс на любой его стадии и в любой зоне области дискретизации.  

Особым классом задач являются задачи обработки металлов давле
нием (ОМД), в которых требуется учитывать нелинейный характер взаи
мосвязи между напряжениями и деформациями в пластической области, 

что в существенной мере усложняет решение по сравнению с другими об
ластями механики. Поэтому в качестве неизвестных функций при построе
нии математических моделей деформационных процессов рассматривают
ся скорости перемещения узловых точек конечно-элементной сетки. МКЭ 

позволяет с большой точностью исследовать динамику и кинематику де
формационных процессов в любой части исследуемой области с учетом 

реологических особенностей деформируемых материалов как гомогенного, 

так и гетерогенного строения. В отличие от аналитических методов МКЭ 

дает возможность строить более совершенные математические модели, в