Математические основы теории риска

Королев В.Ю.
Бенинг В.Е.
Шоргин С.Я.

Математические
основы  теории

риска

МОСКВА

ФИЗМАТЛИТ ®

УДК 519.2
ББК 27.17
К 68

К о р о л е в
В. Ю.,
Б е н и н г
В. Е.,
Ш о р г и н
С. Я.
Математические
основы
теории
риска:
Учебн.
пособ.
—
2-е изд.,
перераб.
и
доп.
—
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011. — 620 с. — ISBN 978-5-9221-1267-3.

В книге систематически излагаются теоретические основы математических
методов, используемых при анализе рисковых ситуаций. Основное внимание
уделено методам анализа страховых рисков. Наряду с материалом, традиционно излагаемым в рамках курсов лекций по теории риска и страховой
математике, в книгу включены некоторые разделы, содержащие новейшие
результаты.
Для студентов и аспирантов, обучающихся по математическим и экономико-математическим специальностям (математика, прикладная математика,
актуарная математика, финансовая математика, страховое дело). Книга может использоваться актуариями и специалистами-аналитиками, работающими
в страховых и финансовых компаниях, а также специалистами в области
теории надежности и другими исследователями, чья деятельность связана
с оцениванием риска и анализом разнообразных рисковых ситуаций.
Допущено учебно-методическим советом по прикладной математике и информатике УМО по классическому университетскому образованию в качестве
учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по специальности 010200
«Прикладная математика и информатика» и по направлению 510200 «Прикладная математика и информатика».

ISBN 978-5-9221-1267-3

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2011

c⃝ В. Ю. Королев, В. Е. Бенинг,
С. Я. Шоргин, 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ко второму изданию . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. .. .. .
9
Введение. Об этой книге. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
10
Обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
15

Г л а в а 1.
Основные понятия теории вероятностей . . . . . . . . .. .. .. .
16
1.1. Стохастические ситуации и их математические модели . . . . .. .. .. .
16
1.2. Случайные величины и их распределения . . . . . . . .. . . . . . .. .. .. .
20
1.3. Числовые характеристики случайных величин. Неравенства для
моментов и вероятностей. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. .. .. .
28
1.3.1. Числовые характеристики случайных величин (28).
1.3.2.
Основные неравенства. «Правило трех сигм» (36).
1.3.3. Неравенства для вероятностей превышений порогов суммами независимых
случайных величин (40).
1.4. Производящие и характеристические функции . . . . . . . . . . .. .. .. .
50
1.5. Сходимость случайных величин и их распределений . . . . . . .. .. .. .
59
1.6. Центральная предельная теорема, ее уточнения и обобщения . .. .. .
64
1.6.1. Центральная предельная теорема (64).
1.6.2. Неравенство
Берри–Эссеена, его уточнения и обобщения (66).
1.6.3. Неравномерные оценки (97).
1.6.4. Устойчивые и безгранично делимые
распределения (110).
1.7. Суммы случайных индикатоpов. Теоpема Пуассона . . . .. . . . .. .. .. .
112
1.8. Случайные процессы . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. .. .. .
117

Г л а в а 2.
Некоторые свойства случайных сумм . . . . . . . . . . .. .. .. .
120
2.1. Элементарные свойства случайных сумм . . . . . . . .. . . . . . . .. .. .. .
120
2.2. Пуассоновски-смешанные и обобщенные пуассоновские распределения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
127
2.3. Дискретные обобщенные пуассоновские распределения . . . . .. .. .. .
132
2.3.1. Примеры дискретных обобщенных пуассоновских распределений (132).
2.3.2. Рекуррентные соотношения для дискретных
обобщенных пуассоновских распределений (133).
2.3.3. Дискретные безгранично делимые законы как обобщенные пуассоновские
распределения (134).
2.4. Асимптотическая нормальность пуассоновских случайных сумм . .
135
2.4.1. Сходимость распределений пуассоновских случайных сумм
к нормальному закону (135).
2.4.2. Неравенство Берри–Эссеена
для пуассоновских случайных сумм (139).
2.4.3. Нецентральные
ляпуновские дроби (143).
2.4.4. Точность нормальной аппроксимации для распределений случайных сумм с безгранично дели

Оглавление

мым индексом (148). 2.4.5. Неравенство Берри–Эссеена–Каца для
пуассоновских случайных сумм и его неравномерный аналог (166).
2.5. Асимптотические pазложения для обобщенных пуассоновских pаспpеделений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
173
2.6. Асимптотические pазложения для квантилей обобщенных пуассоновских pаспpеделений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
182
2.7. Неpавенство Беpнштейна–Колмогоpова для пуассоновских случайных сумм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
186
2.8. Пpиближение веpоятностей больших уклонений пуассоновских
сумм с помощью пpеобpазования Эсшеpа. . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
188
2.9. Теоpема пеpеноса. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
197
2.10. Смеси вероятностных распределений. . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
202
2.10.1. Основные определения (203). 2.10.2. Идентифицируемость
смесей вероятностных распределений (207).
2.11. Случайные суммы случайных индикатоpов. Аналог теоpемы Пуассона. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
211

Г л а в а 3.
Математические модели страхового риска . . . . . . . .. .. .. .
215
3.1. Модели и задачи теоpии pиска. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
215
3.2. Основные задачи теории индивидуального риска. . . . . . . . . .. .. .. .
218
3.3. Основные задачи теории коллективного риска . . . . . . . . . . .. .. .. .
221

Г л а в а 4.
Сравнение рисковых ситуаций и простейшие методы расчета страховых тарифов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
224
4.1. Рисковые ситуации в страховании . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
224
4.2. Сравнение рисковых ситуаций . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. .. .. .
226
4.3. Функции полезности . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. .. .. .
232
4.4. Страхование с точки зрения клиента. . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
234
4.5. Страхование со стороны страховой компании . . . . . .. . . . . . .. .. .. .
235
4.6. Эмпирическое определение функции полезности . . . . . . . . . .. .. .. .
236
4.7. Модель Эрроу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
238
4.8. Общие принципы расчета тарифных ставок . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
239

Г л а в а 5.
Модель индивидуального pиска (статическая модель). .. .
244
5.1. Модели объема страхового портфеля. . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
244
5.1.1. Постановка задачи (244).
5.1.2. Выбор модели распределения из класса Каца–Панджера и нормальная аппроксимация составного распределения (246). 5.1.3. Точность нормальной аппроксимации для распределений случайных сумм с индексом из класса
Каца–Панджера (250).
5.1.4. Пуассоновско-биномиальная модель
распределения целочисленной случайной величины. Нормальная
аппроксимация составного распределения (252). 5.1.5. Пуассоновско-биномиальная модель распределения целочисленной случайной
величины. Аппроксимация распределения (255).
5.1.6. Обобщенная пуассоновско-биномиальная модель распределения целочисленной случайной величины. Аппроксимация распределений сумм случайного числа случайных индикаторов (262).

Оглавление
5

5.2. Вероятность разорения в модели индивидуального риска. Классическая асимптотическая формула для страховых премий в статической модели страхования. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. .. .. .
265
5.3. Факторизационная модель индивидуальных исков и постановка задач, относящихся к статической модели страхования . . . . . . .. .. .. .
266
5.3.1. Факторизационная модель (266).
5.3.2. Постановка задачи
определения оптимальной страховой ставки (268).
5.4. Основные предположения и обозначения в рамках Φ-модели. .. .. .. .
270
5.5. Простейшая формула для страховой ставки, учитывающая два момента распределения иска, в условиях факторизационной модели
271
5.6. Асимптотические оценки страховых премий, основанные на нормальной аппроксимации распределения итогового страхового фонда
272
5.6.1. Общая теорема (273). 5.6.2. Частные случаи распределения
объема страхового портфеля (275).
5.7. Асимптотические оценки страховой премии, основанные на уточненной нормальной аппроксимации распределения итогового страхового фонда. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
278
5.8. Гарантированные (верхние) оценки страховых тарифов в статической модели страхования. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. .. .. .
285
5.8.1. Постановка задачи (287).
5.8.2. Верхние оценки страховой
ставки для детерминированного объема страхового портфеля (288).
5.8.3. Верхние оценки страховой ставки для объема страхового
портфеля, распределенного по закону Пуассона (293).
5.9. Доказательства теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
297
5.9.1. Доказательство теоремы 5.8.2 (297).
5.9.2. Доказательство
теоремы 5.8.3 (299). 5.9.3. Доказательство теоремы 5.8.5 (304).
5.10. Аппроксимация необходимого резервного капитала страховой компании, обслуживающей много неоднородных контрактов . . . .. .. .. .
306
5.10.1. Вспомогательные утверждения (307). 5.10.2. Основные результаты (309). 5.10.3. Примеры. (311).

Г л а в а 6.
Дискретная динамическая модель коллективного риска
313
6.1. Понятие о дискретной динамической модели страхования. . . .. .. .. .
313
6.2. Формальная постановка задачи определения минимально допустимой страховой ставки в дискретной динамической модели страхования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
316
6.3. Оценки страховых ставок в дискретной динамической модели страхования при нормальном распределении дохода за тест-период . .. .
318
6.4. Оценки страховых ставок в дискретной динамической модели страхования при равномерно ограниченных страховых суммах . . .. .. .. .
320
6.5. Доказательства теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
322
6.5.1. Доказательство теоремы 6.3.1 (322).
6.5.2. Доказательство
теоремы 6.4.1 (323).

Г л а в а 7.
Модели коллективного pиска (динамические модели) . .. .
325
7.1. Пpоцессы риска Спарре Андерсена. Классический пpоцесс pиска. .
325
7.2. Опpеделение и пpостейшие свойства пуассоновского пpоцесса. .. .. .
327

Оглавление

7.3. Пуассоновский точечный пpоцесс как модель абсолютно хаотичного
pаспpеделения событий во вpемени. . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. .. .. .
330
7.4. Инфоpмационные свойства пуассоновского пpоцесса . . . . . . .. .. .. .
332
7.5. Асимптотическая ноpмальность пуассоновского пpоцесса . . . .. .. .. .
340
7.6. Смешанные пуассоновские пpоцессы . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
341
7.6.1. Предварительные
сведения (341).
7.6.2. Основные
опpеделения (343).
7.6.3. Характеризация
смешанных
пуассоновских
процессов
(347).
7.6.4. Смешанные
пуассоновские
распределения (352).
7.6.5. Пpимеpы смешанных пуассоновских
моделей (354).
7.7. Опpеделение и пpостейшие свойства дважды стохастических пуассоновских пpоцессов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
358
7.8. Общая предельная теорема о сходимости суперпозиций независимых случайных процессов . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. .. .. .
363
7.9. Асимптотические свойства дважды стохастических пуассоновских
пpоцессов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
367
7.10. Распределение суммарных страховых выплат . . . . . . . . . . . .. .. .. .
375
7.11. Асимптотика
pаспpеделений
суммарных страховых требований
в пpоцессах pиска Спарре Андерсена . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
379
7.12. Асимптотика суммарных страховых требований при неоднородном
потоке выплат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
388

Г л а в а 8.
Вероятность разорения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
396
8.1. Фоpмула Поллачека–Хинчина–Беекмана для веpоятности pазоpения в классическом пpоцессе pиска. . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. .. .. .
396
8.2. Приближенные формулы для вероятности разорения при малой
нагрузке безопасности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
401
8.3. Асимптотические pазложения для веpоятности pазоpения пpи малой нагpузке безопасности. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. .. .. .
409
8.4. Эмпирические аппроксимации для веpоятности pазоpения в классическом пpоцессе pиска. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. .. .. .
423
8.4.1. Эмпирическая аппроксимация Де Вилдера (423).
8.4.2. Эмпирическая аппроксимация Беекмана–Бауэрса (424).
8.5. Диффузионная аппроксимация для веpоятности pазоpения в классическом пpоцессе pиска. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. .. .. .
425
8.6. Асимптотическая аппроксимация вероятности разорения при большом начальном капитале. Теоpема Кpамеpа–Лундбеpга . . . .. .. .. .. .
428
8.7. Неравенства для вероятности разорения в классическом пpоцессе
pиска . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
430
8.7.1. Неравенство Лундберга (430).
8.7.2. Двусторонние оценки
для вероятности разорения (434).
8.8. Вероятность разорения за конечное время . . . . . . .. . . . . . . .. .. .. .
436

Г л а в а 9.
Обобщенные процессы риска . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
439
9.1. Определение обобщенных процессов риска. . . . . . .. . . . . . . .. .. .. .
439
9.2. Асимптотическое поведение обобщенных пpоцессов pиска . . .. .. .. .
441

Оглавление
7

9.3. Обобщенные процессы риска при наличии больших выплат . .. .. .. .
447
9.4. Обобщенные процессы риска с пакетным поступлением страховых
требований . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
450
9.5. Классические процессы риска со случайными премиями. .. . . .. .. .. .
452
9.5.1. Определение и простейшие свойства (452).
9.5.2. Вероятность разорения (453).
9.5.3. Описание модели спекулятивной
деятельности пункта обмена валют (455).
9.5.4. Постановка задачи оптимизации спекулятивной прибыли (457).
9.5.5. Решение,
основанное на нормальной аппроксимации (459).
9.5.6. Примеры (462).
9.5.7. Решение, основанное на экспоненциальных оценках вероятностей больших уклонений пуассоновских случайных
сумм (464).

Г л а в а 10.
Стоимостной
подход
к
математическому
описанию
функционирования страховых компаний . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
470
10.1. Введение. Постановка задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
470
10.2. Основное уpавнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
472
10.3. Оценки для оптимального начального капитала . . . . . . . . . .. .. .. .
474
10.4. Нижняя оценка для оптимального начального капитала в условиях
равномерно ограниченных страховых выплат . . . . . . . .. . . . .. .. .. .
482

Г л а в а 11.
Статистическое оценивание параметров страховой деятельности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
485
11.1. Проблема статистического оценивания распределения страховых
выплат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
485
11.1.1. Подгонка распределений (486).
11.1.2. Непараметрическое
оценивание (486).
11.1.3. Параметрическое оценивание (489).
11.1.4. Наиболее часто употребляемые дискретные распределения
и оценки их параметров (491).
11.1.5. Наиболее часто употребляемые непрерывные распределения размера страховой выплаты и оценки их параметров (493).
11.1.6. Критерий согласия
хи-квадрат (498).
11.1.7. Критерий согласия Колмогорова (501).
11.1.8. Выбор наилучшей модели (502).
11.2. Статистическое оценивание веpоятности pазоpения в классическом
пpоцессе pиска . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. .. .. .
503
11.3. Непаpаметpическая оценка для веpоятности pазоpения в обобщенном пpоцессе pиска . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
508

Г л а в а 12.
Смешанные гауссовские вероятностные модели рисковых ситуаций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
519
12.1. Принципы анализа рисковых ситуаций с помощью смешанных гауссовских вероятностных моделей . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. .. .. .
519
12.2. Предельные теоремы для обобщенных процессов Кокса . .. . . .. .. .. .
522
12.2.1. Обобщенные процессы Кокса (522).
12.2.2. Теоремы переноса для обобщенных процессов Кокса (523). 12.2.3. Оценки точности аппроксимации распределений обобщенных процессов Кокса
масштабными смесями нормальных законов (526).
12.2.4. Асимптотические разложения для квантилей обобщенных процессов Кокса (535).

Оглавление

12.3. Некоторые свойства масштабных смесей нормальных законов . .. .. .
537
12.3.1. Основные определения (537).
12.3.2. Островершинность
масштабных смесей нормальных законов (538).
12.3.3. Масштабные нормальные смеси как сверточные симметризации вероятностных распределений (540). 12.3.4. Масштабные нормальные смеси
как рандомизационные симметризации вероятностных распределений (546).
12.4. Предельные теоремы для асимптотически нормальных статистик,
построенных по выборкам случайного объема. . . . . . . .. . . . .. .. .. .
549
12.4.1. Вспомогательные pезультаты (552).
12.4.2. От асимптотической нормальности — к распределениям с тяжелыми хвостами (553).
12.5. Анализ случайных рисков с помощью центральных и промежуточных порядковых статистик . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
558
12.5.1. Асимптотическое распределение выборочных квантилей, построенных по выборке случайного объема (558). 12.5.2. Предельные теоремы для промежуточных порядковых статистик, построенных по выборкам случайного объема (561).
12.6. О распределении Стьюдента как альтернативе нормальному и другим устойчивым законам в статистике. . . . . . . . . . .. . . . . . .. .. .. .
563
12.6.1. Распределение Стьюдента как масштабная смесь нормальных законов (563).
12.6.2. Распределение Стьюдента как асимптотическая аппроксимация (565).
12.6.3. Вспомогательные утверждения (567).
12.6.4. Основные результаты и выводы (569).
12.6.5. Случай малого «числа степеней свободы» (573).
12.7. Распределение Лапласа как альтернатива нормальному закону в задачах теории риска . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
575
12.7.1. Распределение
Лапласа
как
сверточная
симметризация (576).
12.7.2. Распределение Лапласа как рандомизационная
симметризация
(577).
12.7.3. Распределение
Лапласа
как
смесь (578).
12.7.4. Распределение Лапласа как асимптотическая
аппроксимация
в
схеме
случайного
суммирования
случайных
величин (583).
12.7.5. Геометрическая
устойчивость
распределения
Лапласа (585).
12.7.6. Распределение
Лапласа
как
асимптотическая аппроксимация для распределений регулярных
статистик, построенных по выборкам случайного объема (586).
12.7.7. Несимметричное распределение Лапласа как асимптотическая аппроксимация в схеме случайного суммирования случайных
величин (588).
12.7.8. Экстремальные
энтропийные
свойства
распределения Лапласа (591).

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
593

Предисловие ко второму изданию

Мы благодарны издательству «ФИЗМАТЛИТ», решившему выпустить второе издание нашей книги.
После выхода в свет первого издания этой книги (2007 г.) прошло
не так много времени. Однако именно за прошедшие годы были получены новые теоретические результаты, обеспечившие существенный
прогресс в некоторых классических областях, затрагиваемых в книге.
Это обстоятельство обусловило необходимость радикальной переработки разделов, связанных с оценками точности асимптотических моделей
рисковых ситуаций. В частности, практически заново написаны параграфы 1.6 и 2.4. В книгу добавлены новые параграфы 7.12 и 12.7.
Некоторые разделы книги подверглись менее масштабной переработке, которая, на наш взгляд, способствует полноте и логичности
изложения. Так, изменения коснулись параграфа 2.11 и п. 12.2.3. Параграфы 1.3, 8.2 и 9.2 дополнены новым материалом. Список литературы
пополнен более чем ста новыми ссылками.
Мы признательны всем нашим коллегам, чьи замечания и пожелания учтены в новом варианте книги. Особо хочется отметить
существенную и многогранную помощь И. Г. Шевцовой. Мы также
благодарны участникам семинара «Теория риска и смежные вопросы»,
работающего на факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ, которые принимали деятельное участие в получении и
обсуждении новых результатов, включенных в данное издание книги.
Мы благодарны Я. Гранделлу (Стокгольм, Швеция) за советы по
улучшению разделов книги, посвященных аппроксимации распределений смешанных пуассоновских случайных сумм, П. Ван Бику (Вагенинген, Нидерланды), А. Володину (Перт, Австралия), А. Гуту (Уппсала, Швеция) и Л. Падитцу (Дрезден, Германия) за неоценимую
библиографическую поддержку.
Работа над вторым изданием книги велась при финансовой поддержке Министерства образования и науки (государственные контракты П958 и 16.740.11.0133 от 02.09.2010), а также Российского фонда
фундаментальных исследований (проекты 08-01-00563, 08-01-00567,
08-07-00152 и 09-07-12032-офи-м).

В. Ю. Королев,
В. Е. Бенинг,
С. Я. Шоргин.

Москва,
октябрь 2010.

Введение
Об этой книге

Данная книга посвящена математическим основам теории риска.
Перед тем как говорить о математических моделях рисковых ситуаций и методах их изучения, мы, конечно же, должны определить,
что мы подразумеваем под словом «риск». Можно было бы построить
изложение так, чтобы избегать более или менее строгих определений
этого понятия, надеясь на интуитивное его восприятие читателем.
Однако, коль скоро данная книга — математическая, придерживаться
такой «страусиной» политики мы не можем. Несмотря на то, что
разные уважаемые источники (от «Толкового словаря русского языка»
В. И. Даля до энциклопедии «Вероятность и математическая статистика» под редакцией академика Ю. В. Прохорова) по-разному трактуют
это понятие, мы сначала дадим только одно (правда, не очень строгое и
потому не вполне математическое) определение, которое, однако, затем
снабдим более четкой теоретико-вероятностной формализацией.
«Усредняя» определения риска из всех просмотренных нами источников, включая упомянутые выше, мы приходим к следующему.
Риском мы будем называть совокупность значения возможного
ущерба в некоторой стохастической ситуации и его вероятности.
Такое определение вполне согласуется с интуицией. Единственно,
что может вызвать опасения, — так это явно негативный оттенок слова
ущерб, в то время как, например, у В. И. Даля совершенно обоснованно одними из синонимов риска объявляются слова удача, отвага
с явно положительным оттенком. Эти опасения мы снимем, формально
допуская, что ущерб может быть отрицательным (в таком случае он
превращается в приход, доход).
Попробуем теперь дать более формальную вероятностную конкретизацию приведенного выше определения. Величина возможного ущерба
в стохастической ситуации, очевидно, до осуществления этой ситуации
неизвестна и потому случайна. Таким образом, теоретико-вероятностным аналогом понятия ущерба, очевидно, является понятие случайной
величины. Совокупность же значений случайной величины и их вероятностей в теории вероятностей задается распределением случайной
величины. Таким образом, под риском хотелось бы понимать случайную величину. Однако, если риски отождествляются со случайными
величинами, заданными на разных вероятностных пространствах, задача сравнения таких рисков оказывается принципиально неразрешимой и даже бессмысленной, так как соответствующие им случайные
величины как функции элементарных исходов зависят от аргументов,
имеющих разный смысл. Поэтому в подобных ситуациях приходится
отождествлять риски с функциями распределения.