Перколяционный анализ гидродинамических и электрокинетических процессов в пористых средах

Москва
ИНФРА-М
2013

Перколяционный анализ 

гидродинамических  

и электрокинетических 

Процессов  

в Пористых средах

В.В. КАДЕТ

монография

Кадет В.В. 
Перколяционный анализ гидродинамических и электрокинетических процессов в пористых средах: Монография. — М.: ИНФРА-М, 
2013. – 256 с. — (Научная мысль).

ISBN 978-5-16-005613-5
В книге представлен новый, так называемый перколяционый подход к 
моделированию и анализу гидродинамических и электрокинетических 
процессов в пористых средах. Построен ряд перколяционных моделей стационарных и нестационарных течений однофазных и двухфазных систем в 
средах с пористостью различной природы. Рассмотрены вопросы влияния 
широкого спектра характеристик флюидов и пористых сред на закономерности фильтрационных течений. Существенное внимание уделено проведению экспериментальных исследований, что позволило сопоставить результаты теории и эксперимента. Возможности развитого подхода 
продемонстрированы на примере решения целого ряда прикладных задач 
подземной гидромеханики.
Книга адресована специалистам в различных областях гидро- и газодинамики, преимущественно — подземной гидромеханики, инженерам добывающих отраслей, а также аспирантам, магистрантам и студентам старших 
курсов технических и технологических специальностей.

ББК 22.253.3

УДК 533.5(075.4)
ББК 22.253.3
 
К13

© Кадет В.В., 2013
ISBN 978-5-16-005613-5

К13

Подписано в печать 25.09.2012. 
Формат 60×88/16. Печать офсетная. Бумага офсетная.
Гарнитура Newton. Усл. печ. л. 15,68. Уч.изд. л. 16,28.
Тираж 200 экз. Заказ  №
ТК 410700-11434-250912

ООО «Научно-издательский центр ИНФРАМ»
127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 380-05-40, 380-05-43.        Факс: (495) 363-92-12
Email: books@infram.ru        http://www.infram.ru

ПРЕДИСЛОВИЕ

Для успешного решения широкого спектра задач управления параметрами течения флюидов в пористых средах (добыча углеводородов, воды, ряда 
металлов) необходимы глубокие знания о закономерностях формирования 
структур потоков и их эволюции в различных условиях.
Такие знания могут быть получены при детальных исследованиях переноса флюидов на микроуровне (в тонких щелях, капиллярах, образцах пористых сред), причем как экспериментальных, так и теоретических. Что 
касается последних, то на сегодняшний день общепринятым является 3Dподход: использование в качестве модели перового пространства трехмерных структур (решеток проводящих каналов, упаковок сфер, распределений каверн различной формы). Одномерная модель пористой среды — 
пучок капилляров различного радиуса — используется лишь для 
качественной иллюстрации ряда эффектов.
Трехмерные структуры (для определенности будем говорить о решетках 
капилляров), безусловно, более адекватно описывают поровое пространство, 
однако являются существенно более сложным объектом для математического описания. Современный уровень развития вычислительной техники 
дает широкие возможности для реализации так называемых численных экспериментов — расчетов самых разнообразных вариантов течений многофазных систем в капиллярных решетках. Такой подход имеет свои преимущества (в частности, наглядность развития процессов) и дает весьма полезную информацию. Однако аналитические зависимости, если их, конечно, 
удается получить, представляют собой закономерности более общего характера, что позволяет увидеть устойчивые внутренние связи между различными параметрами процесса и свойствами участвующих в нем объектов.
Такой подход, зародившийся в нашей стране около 30 лет назад, представляет собой построение аналитических перколяционных моделей, описывающих влияние характеристик порового пространства (или соответствующих свойств капиллярной решетки) и параметров насыщающих его 
флюидов на фильтрационные свойства пористой среды.
За эти годы были созданы основы метода и построен целый ряд моделей, 
как стационарных, так и нестационарных, описывающих широкий круг 
фильтрационных явлений. Построена также модель, позволяющая анализировать электрокинетические явления в пористых средах. 
Можно сказать, что как среди гидродинамиков, занимающихся течениями в пористых средах, так и среди специалистов по разработке подземных резервуаров углеводородного сырья, а также рудных тел методом 
подземного выщелачивания существует устойчивый интерес к развитию 
этого направления. В опубликованной в 1995 г. совместно с проф. В.И. Селяковым монографии автора «Перколяционные модели процессов переноса 
в микронеоднородных средах» первый раздел был посвящен результатам, 

достигнутым в данной области на тот момент. Уже в 1996 г. эта книга вышла 
в одном из самых авторитетных научных издательств KLUWER ACADEMIC 
PUBLISHERS на английском языке. В последующем новые результаты публиковались в периодической печати и докладывались на конференциях как 
в России, так и за рубежом. Например, опубликованная в журнале Journal of 
Petroleum Science and Engineering (Vol. 28 Issued 3, p. 145–152, November 2000) 
статья Determination of relative permeabilities using the network models of porous 
media (V. Kadet, A. Maximenko) на протяжении многих лет занимала позицию 
в десятке самых востребованных читателями работ.
Данное направление продолжает развиваться, и думается, что его потенциал далеко не исчерпан.
Так, учет структуры контакта флюидов с твердой поверхностью порового 
пространства позволил теоретически показать существование интересного 
физического явления: эффективная вязкость минерализованной воды в пористой среде растет с температурой, а не убывает, как в случае капельной 
жидкости. Кроме того, данный подход позволяет рассчитать положение 
нижней границы справедливости закона Дарси (линейного закона фильтрации), что невозможно без учета электрокинетических эффектов. 
Соответственно, анализ влияния взаимодействия разномасштабных подсистем пор на течение флюида дал метод определения верхней границы 
справедливости закона Дарси, что позволяет решить известную проблему 
использования так называемого фильтрационного числа Рейнольдса с совершенно других позиций. 
Цель настоящей монографии — отразить существующий на сегодняшний 
день уровень достижений в этом направлении и по возможности указать на 
нерешенные проблемы и задачи. Хотелось бы надеяться, что последнее обстоятельство явится определенным стимулом для коллег, прежде всего молодых, работающих в различных областях фундаментальных и прикладных 
исследований гидродинамики течений в пористых средах, включая электрогидродинамику и физико-химическую гидродинамику.
Хотелось бы выразить благодарность своему учителю профессору 
В.И. Селякову, задавшему вектор аналитического подхода к перколяционному моделированию процессов переноса в микронеоднородных средах, 
а также студентам и аспирантам, принимавшим участие в решении ряда 
задач, нашедших отражение на страницах настоящей монографии: 
С.П. Глушко, Р.М. Мусину, А.А. Максименко, А.С. Корюзлову, П.С. Чагирову.
Я также благодарен замечательному экспериментатору доц. А.И. Митюшину, которому принадлежит основная роль в разработке и создании оригинальных экспериментальных установок и методик, что позволило сопоставить теорию и эксперимент при изучении электрокинетических эффектов в пористой среде.
Большую помощь в работе над рукописью на протяжении целого ряда 
лет оказывал канд. техн. наук А.В. Евтюхин, за что я ему чрезвычайно признателен.

Глава 1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРИНЦИПЫ  
ТЕОРИИ ПЕРКОЛЯЦИИ

1.1. РЕШЕТОЧНЫЕ И НЕРЕШЕТОЧНЫЕ ЗАДАЧИ  
ТЕОРИИ ПЕРКОЛЯЦИИ. КЛАСТЕРЫ. ПОРОГ ПРОТЕКАНИЯ. 
КЛАССИЧЕСКАЯ РЕШЕТКА БЕТЕ

Решеточные задачи теории перколяции

Наиболее наглядной иллюстрацией процессов, которые принято называть перколяционными и которые призвана объяснять и описывать теория 
перколяции (теория протекания), является протекание электрического тока 
в сетке (решетке) сопротивлений (рис. 1.1). В простейшем случае сеть является плоской и состоит из одинаковых проволочек, т.е. все ребра этой сети 
одинаковы, а разность потенциалов подается либо на торцы (стороны) 
сетки, либо на угловые точки, как это показано на рис. 1.1.
Каждому элементу такой сети — либо узлу, т.е. пересечению проволочек, 
либо середине связи, т.е. участка проволочки между двумя ближайшими 
узлами, соответствуют координаты (X, Y) в декартовой плоскости (X0Y). 
Если теперь организовать процедуру последовательного удаления прово
y

x
0

Рис. 1.1. Классический объект теории перколяции — 
плоская решетка, составленная из одинаковых сопротивлений 

дящих связей или узлов сетки случайным образом — например, перекусыванием соответствующих связей или всех связей соответствующих узлов (см. 
рис. 1.1), мы получим некий процесс перехода от проводящей электрический ток сетки к непроводящей сети, которая, тем не менее, будет содержать при этом и неразорванные еще связи (или неудаленные узлы).
Случайный характер выбора очередного «кандидата на удаление» обеспечивается случайным выбором координат (X, Y) на каждом шаге рассматриваемого процесса, например путем использования датчика случайных 
чисел. Описанный процесс есть процесс перехода системы (сети) из одного 
качественного состояния (проводящая сеть) в другое качественное состояние (непроводящая сеть). Причем при удалении последних связей или 
узлов, приводящем к окончательному разрыву сети, явление приобретает 
характер критического — при незначительных количественных изменениях 
в системе происходит кардинальное качественное изменение ее свойств.
Данное явление получило название геометрического фазового перехода 
или фазового перехода второго рода.
Приведенный пример характеризует класс так называемых решеточных 
задач теории перколяции [1, 2]. При этом в случае удаления связей сети 
говорят о «задаче связей», а задачи, в которых удаляются узлы (рвутся все 
выходящие из него связи), называют «задачей узлов». В дальнейшем конкретный характер рассматриваемой задачи будет каждый раз оговариваться 
по мере необходимости. В случае когда этот вопрос не уточняется, приводимые рассуждения и выводы одинаково справедливы как для задач узлов, 
так и для задач связей.
В описанном выше процессе общее число элементов решетки в начальный момент есть N0, а число проводящих (целых) элементов на каждом 
шаге Nn. Тогда вероятность того, что любой выбранный наугад элемент будет 
проводящим, есть x = Nn/N0. Или, другими словами, каждый элемент решетки проводит с вероятностью x.

Кластеры

Важную роль при описании стохастических систем, в том числе и в 
теории перколяции, играет понятие кластера [3, 4]. По определению два 
проводящих (либо просто любых однотипных) элемента решетки являются 
связанными друг с другом, если они либо сами являются ближайшими соседями, либо существует цепочка из проводящих элементов, являющихся ближайшими соседями, соединяющая эти два элемента. Совокупность связанных элементов одного типа (проводящих, непроводящих и т.п.) называется кластером.
Если существует такая цепочка элементов данного типа, по которой возможно движение из рассматриваемого элемента на бесконечность (в бесконечной системе), то такой кластер называется бесконечным кластером (БК). 
Бесконечный кластер пронизывает всю систему (например, решетку) и обеспечивает наличие ее соответствующей качественной характеристики (например, наличие или отсутствие проводимости решетки как целого).

Порог протекания. Нерешеточные задачи  
и их связь с решеточными

Очевидно, что при x = 0 решетка не проводит, а при x = 1 безусловно является проводящей. Отсюда следует, что должно существовать некое значение x = xc, лежащее в интервале 0 < xc < 1, при котором происходит указанный переход решетки из одного состояния в другое. Данная величина xc 
носит название критической вероятности или порога протекания.
Для каждой конкретной реализации процесса «прореживания» исходной 
проводящей решетки конечных размеров величина xc есть функция N0. Для 
бесконечной решетки, которая является, с одной стороны, математической 
абстракцией, а с другой — наиболее адекватно соответствует реальным природным объектам, в которых число элементов очень велико (например, 
число пор в объеме горной породы реального геологического масштаба), 
порог протекания является величиной постоянной

x
x N
c
N
c
=
→∞
lim
(
)

0
0

для данного типа решетки и размерности пространства. Это одно из основных утверждений теории перколяции, а xc — одна из важнейших констант этой теории [1–5].
Введем в рассмотрение вероятность P(x) того, что произвольный (выбранный наугад) элемент решетки принадлежит БК.
Из физических соображений ясно, что значение порога протекания зависит от типа задачи (рассматривается задача узлов или связей), размерности задачи D и типа решетки, который характеризуется числом связей, 
сходящихся в одном узле, — так называемым координационным числом 
решетки zk. Лишь для простейших случаев типа плоских (D = 2), треугольной 
zk = 6 и квадратной zk = 4 решеток (Эссем, Кестен) удается аналитически 
строго получить точные значения xc. При этом широко используются понятия покрывающих решеток, включающих решеток и дуальных решеток 
(Эфрос, Займан), а также теорема Хаммерсли, гласящая, что

P s(x) ≤ Pb(x),

где верхний индекс s отмечает случай задачи узлов (sites), а индекс b — задачи 
связей (bonds).
Математическое доказательство теоремы Хаммерсли весьма сложное и 
громоздкое, однако физическая природа ее весьма прозрачна.
Для задач любого типа функции P(x) являются монотонно возрастающими, причем по основной теореме они становятся отличными от нуля 
только при соответствующих x > xc (рис. 1.2).
Вопрос о конкретном характере поведения P(x) вблизи xc будет подробно 
рассмотрен в следующем параграфе. В проводимых ниже рассуждениях он 
принципиальной роли не играет, однако во избежание путаницы представленная на рис. 1.2 качественная зависимость роста P(x) при x > xc соответствует истинному характеру этой зависимости.

Поскольку при удалении одного узла рвется сразу z связей, входящих в 
него, то ясно, что доля удаленных узлов, при которой в решетке исчезает 
протекание (например, электрического тока), меньше доли связей, которые 
необходимо разорвать для достижения того же эффекта. Следовательно, 
x b
c < x s и, как видно из рис. 1.2, вблизи пороговых значений x для вероятностей протекания будет выполняться указанное неравенство.
В другом предельном случае, при x → 1, как легко показать,

Ps(x)x ≅ [1 − (1 − x)4],   Pb(x) ≅ [1 − (1 − x)6],

поскольку в этом случае практически каждый проводящий элемент будет 
иметь соседа-проводника. Из приведенных соотношений следует, что и 
вблизи x = 1 справедливо соотношение

Ps(x) ≤ Pb(x).

Естественно полагать, что и на всем интервале xc < x < 1 сохранится тот 
же характер взаимного расположения кривых Ps(x) и Pb(x), что и на его границах (см. рис. 1.2). Причем видно, что строгое равенство Ps(x) = Pb(x) будет 
иметь место только в точке x = 1.
За исключением указанных выше случаев точных аналитических расчетов хс, для большинства решеток, и прежде всего — для всех типов 3D-решеток, значения хс получены путем обобщения результатов численных расчетов многоэлементных сеточных задач с использованием датчика случайных чисел. Результаты такого обобщения представлены в табл. 1.1. 

P(x)

Pb(x)

P s(x)

x

1

1
0
xc
b
xc
s

Рис. 1.2. Качественная картина зависимости плотности БК от вероятности 
проводимости произвольного элемента решетки x для случаев узлов (Ps(x)) 
и связей (Pb(x)) 

Значения xc
b и xc
s приведены в ней с точностью ≈ 1%. Это точность, с которой 
согласуются между собой результаты, полученные различными методами.
При заданной доле целых связей xc
b каждый узел решетки связан в 
среднем с zkxc
b другими узлами. Естественно ожидать, что именно эта величина должна являться некоторым инвариантом, характеризующим момент 
появления в решетке БК и начало протекания. Используя данные табл. 1.1, 
легко установить следующую закономерность: протекание в решетке возникает при достижении указанным инвариантом вполне определенного значения 
или, на количественном языке, с точностью до нескольких процентов справедливо соотношение

zkxc
b = D/(D − 1), 
(1.1)

что позволяет с достаточной для практических расчетов точностью легко 
определять порог протекания в любых решеточных задачах связей.
Ясно, что для задачи узлов данный подход в чистом виде неприменим, 
так как величина zkxc
b в этом случае не имеет самостоятельного физического 
смысла. Однако если модифицировать его на основе идеи (Шер и Заллен) о 
соответствии каждому узлу определенной части пространства (при D = 2 это 

πr2, а при D = 3 это 4
3

3
πr , где r есть половина расстояния между соседними 

узлами решетки), то можно сформулировать аналогичное предположение: 
протекание в решетке для задачи узлов возникает в момент, когда доля пространства, ассоциированного с проводящими узлами, достигает некоторого 
критического значения. То есть можно предположить, что в данном случае 
инвариантом будет являться указанная доля пространства.
Для ее определения вводится понятие коэффициента заполнения f, который равен отношению объема, соответствующего узлам решетки по указанному выше принципу, к полному объему пространства, содержащего эту 
решетку. Для наглядности продемонстрируем расчет коэффициента заполнения на простейшем примере плоской квадратной решетки (рис. 1.3). Если 
l — период решетки, то радиус соответствующего каждому узлу круга есть 
l/2. Площадь, соответствующая узлам решетки в выделенной ячейке (которая является элементарной ячейкой решетки как периодической струк
Та б л и ц а  1 . 1

Тип решетки
zk
xc
b
zkxc
b

Плоские (D = 2):
квадратная
4
0,5
2,0
треугольная
6
0,35
2,1
шестиугольная
3
0,75
2,0
Объемные (D = 3):
простая кубическая
6
0,25
1,5
объемноцентрированная кубическая
8
0,18
1,4
гранецентрированная кубическая
12
0,12
1,4
типа алмаза
4
0,39
1,6

туры), равна πl2/4, а полная площадь самой ячейки есть l2. Следовательно, 
f = π/4 ≈ 0,785. Величина f в задаче узлов формально будет играть роль, аналогичную роли числа zk для задачи связей, поскольку именно произведение fxs определяет долю пространства, соответствующую проводящим 
узлам, которая, по предположению, и должна явиться искомым инвариантом задачи узлов.
Результаты расчетов, представленные в табл. 1.2, показали, что указанная 
величина действительно определяет момент возникновения протекания по 
узлам решетки и с точностью ≈ 10–15% является инвариантом вида

fxc
s = 0,5

для плоских решеток и

l/2

l

Рис. 1.3. Схема расчета коэффициента заполнения для плоской квадратной решетки 

Та б л и ц а  1 . 2

Тип решетки
f
xc
s
xc
s f

Плоские (D = 2):
квадратная
0,79
0,59
0,47
треугольная
0,91
0,50
0,46
шестиугольная
0,61
0,70
0,43
Объемные (D = 3):
простая кубическая
0,52
0,31
0,16
объемноцентрированная кубическая
0,68
0,25
0,17
гранецентрированная кубическая
0,74
0,20
0,15
типа алмаза
0,34
0,43
0,15