Порог протекания простой кубической решетки в задаче узлов и модели решетки Бете

ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА


КОМПЬЮТЕРНЫЕ НАУКИ                                             2008. Вып. 3




                КОМПЬЮТЕРНЫЕ НАУКИ




УДК 519.246

© С. Р. Галлямов

ПОРОГ ПРОТЕКАНИЯ ПРОСТОЙ КУБИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ В ЗАДАЧЕ УЗЛОВ В МОДЕЛИ РЕШЕТКИ БЕТЕ

По введенной функции вероятности протекания в модели решетки Бете определен порог протекания простой кубической решетки в задаче узлов: xc(s.c.) = 0, 3116865.

Ключевые слова', перколяция, решетка, задача узлов, вероятность протекания, порог протекания.

Введение

   Слово «протекание» (от английского термина percolation — просачивание) впервые употребили в 1957 г. Бродбент и Хаммерсли [1] в связи с ими же введенным классом математических задач. Такие задачи возникают при рассмотрении протекания жидкости или газа по случайному лабиринту, например проникновение газа через пористую угольную маску. Это практическое приложение и дало название всей математической теории — теории перколяции. В литературе можно встретить и теорию протекания, и теорию просачивания. Основные термины и понятия теории перколяции приведены в [2-7, и др.], откуда следует, что в теории перколяции наиболее распространенными являются решеточные задачи: задача узлов (site problem) и задача связей (bond problem). Задача узлов считается более общей, и зачастую ограничиваются только ее рассмотрением. В данной работе, не нарушая общности, мы тоже будем рассматривать задачу узлов.
   Рассмотрим двухфазную систему, состоящую из проводящей и непроводящей фаз, распределенных случайно на N узлах решетки размерности d. (При d = 2 решетка может быть квадратной, треугольной, шестиугольной, плоским деревом и т. д., при d = 3 перколяцию можно изучать, например, на кубической решетке, решетке алмаза, трехмерном дереве и т. д.) При изучении вопроса о прохождении жидкости через пористую среду узлы, принадлежащие проводящей фазе l, в дальнейшее будем называть жидкими, а узлы, принадлежащие непроводящей фазе s, — твердыми.
   Пусть нас интересует жидкая фаза (далее фаза l), концентрация или доля узлов которой есть
x = Nx/N,                             (1)
где Nx — число узлов фазы l.
   В задаче узлов удаляют (блокируют) узлы фазы l и одним из основных вопросов, на которые пытается ответить теория перколяции, является вопрос: при какой доле Хс прохождение жидкости через пористую среду прекращается? Критическую долю Хс узлов проводящей фазы называют порогом протекания (перколяции).
   Nx является сумм ой числа узлов n(x), принадлежащих конечным (обособленным) кластерам CC (closed clusters), и числа узлов n₁(x), принадлежащих соединяющему кластеру SC (spanning cluster), то есть

Nx = n(x) + п1(х) и ли X (x) + Y (х) = 1,          (2)

где X (x) = n(x)/Nx — вероятность то го, что узел фазы l принадлежит конечным кластерам CC, a Y (x) = n1(x)/Nx — вероятность то го, что узел фазы l принадлежит соединяющему кластеру SC. Ниже порога перколяции x < хс соединяющий кластер исчезает и остаются только кластеры конечного размера.