Распространение ударных волн в нелинейно деформируемых оболочках сложной формы

ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

МЕХАНИКА



2008. Вып. 3

УДК 539.4

© В. А. Петушков, Н. В. Скороходова

РАСПРОСТРАНЕНИЕ УДАРНЫХ ВОЛН




                В НЕЛИНЕЙНО ДЕФОРМИРУЕМЫХ ОБОЛОЧКАХ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ¹




Разработаны математические модели и сформулирована нелинейная краевая задача динамики тонкостенных оболочечных конструкций произвольной формы под действием ударного импульсного нагружения. Учитывается зависимость деформирования от скорости нагружения, сжимаемость материала, большие деформации и перемещения срединной поверхности оболочки, образование и кинетика зон пластического течения материала в процессе действия ударной волны нагружения. Параметризация поверхности оболочки осуществляется бикубическими сплайнами. Для описания нелинейного, зависящего от времени и скорости нагружения поведения материала оболочек с анизотропным упрочнением используется обобщенная модель микропластичности, развитая на учете вязкости деформирования, гистерезисных потерь и эффекта Баушингера. Решение краевой задачи строится на основе разностных схем аппроксимации по пространству и времени. Приводятся результаты моделирования нелинейных волновых процессов в составной оболочечной конструкции под действием взрыва.

Ключевые слова: нелинейно деформируемая среда, оболочки, ударное нагружение, математическое моделирование.




                Введение




   Тонкостенные оболочки произвольной формы, широко используемые на практике в качестве несущих конструкций, оказываются наиболее подверженными разнообразным ударным, взрывным и импульсным воздействиям. Известны многочисленные случаи разрушения сосудов давления, трубопроводов, судов и летательных аппаратов, наземных транспортных средств под действием взрывных нагрузок, столкновений друг с другом и препятствиями, сопровождаемого нелинейным поведением материалов, большими смещениями и деформациями, потерей устойчивости. Поэтому разработка эффективных методов исследования нелинейной динамики и процессов разрушения таких конструкций и их элементов при различных скоростях и условиях ударного нагружения остается актуальной задачей механики оболочек [1,2].
   Вместе с тем возможности современных экспериментальных методов для решения подобных задач оказываются весьма ограниченными не только доступным диапазоном исследуемых скоростей, но и локальным характером ударного нагружения и деформирования оболочек, продолжительность которого во многих случаях измеряется микросекундами [3]. Еще более ограничены возможности известных теоретических подходов.
   Успешное применение математического моделирования (вычислительного эксперимента) для изучения нелинейного поведения оболочек в реальных условиях эксплуатации и экстремальных ударных воздействий зависит главным образом от эффективности используемых моделей и методов численного решения соответствующих краевых задач.
   Предлагаемые в статье математические модели деформирования оболочек с физической и геометрической нелинейностью относятся к их числу и выгодно отличаются своей простотой и общностью. На их основе сформулирована нелинейная краевая задача высокоскоростной ударной динамики оболочечных конструкций сложной формы, решение которой строится на основе оптимальных (рациональных) разностных схем аппроксимации по пространству и времени.
   Обоснование используемых моделей поведения деформируемой среды и самих оболочек выполнено на примере решения важных в практическом отношении задач с использованием
   Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант .V'’07-0 l-00555-a.

В. А. Петушков, Н.В. Скороходова

МЕХАНИКА


2008. Вып. 3

интегроинтерполяционного метода и разностной схемы типа «крест» и эффективных итераци-ohhbix схем учета физической и геометрической нелинейностей [4,5].




                § 1. Постановка задачи и методы решения




   В основе теории оболочек лежат уравнения трехмерной механики деформируемого твердого тела. Наличие вырожденного размера (толщины оболочки) позволяет на практике свести трехмерную задачу к двухмерной, исполвзуя для этого различные приближенные теории, ос-нованнвге на классических или обобщенных гипотезах Кирхгоффа-Лява. Число работ, выполненных в этом направлении, труднообозримо.
   Другой, более строгий, подход к снижению размерности задачи основан на исполвзовании непосредственно в решении асимптотических методов, граничных интегральных уравнений или объемных конечных элементов с линейной интерполяцией по толщине 3-х мерных кинематических соотношений [2,6-8]. В этом случае удается получитв достаточно точные решения для сложных составных и ветвящихся тонкостенных оболочек и оболочек средней толщины [8-10].
   Для тонкостенных нелинейных оболочек, подвергаемых динамическим воздействиям, ока-звгеается более эффективным с вычислительной точки зрения подход, основанный на представлении оболочки в виде многослойной трехмерной среды с плотноупакованными по толщине слоями и исполвзовании линейной аппроксимации решения на каждом слое [7, 8]. Посколвку оболочку принято считатв тонкостенной при соблюдении следующих ограничений:


х fh h /Ю ₁ л = max[ т iw хи) * *■

и

где l — наименьший размер характерной длины, lw — наименьшая длина волны деформирования, R — наименьший радиус кривизны поверхности оболочки, применимость линейного приближения обеспечивается подходящим выбором числа слоев (толщины h каждого слоя).
   Обобщим данный подход и каждый слой деформируемой среды будем рассматривать в виде структурного элемента [11], наделенного определенными свойствами, и тем самым оказывается возможным построить достаточно общую математическую модель нелинейного, зависящего от температуры и скорости нагружения, деформирования.
   Соответствующие определяющие соотношения упруговязкопластической деформируемой среды с конечными деформациями и уравнения движения оболочки могут быть сформулированы с использованием основных принципов кинематики и термодинамики в механике твердого тела [12,13].
   Здесь приведем только необходимые соотношения, поскольку подробный вывод уравнений для рассматриваемого класса задач представлен в [4,5].
   1.1.    Геометрическое описание и кинематические соотношения. Пусть тонкостенная произвольной формы оболочка (или ее отдельный слой) конфигурации B занимает в R³ область D и подвергается действию импульсной нагрузки на части или всю ее наружную и/или внутреннюю поверхности. Перемещения точек оболочки ui(Xi, t) (i = 1, 2, 3) будем рассматривать в глобальной декартовой системе координат Xi с естественным базисом ei. Деформации оболочки рассматриваются в связанной с нею криволинейной системе координат qa (а =1, 2), с координатными линиями, совпадающими с линиями кривизны оболочки, и координатной прямой п³, направленной по нормали к ее срединной поверхности П, являющейся основной, рис. 1, а.
   Таким образом, B = {па Е П, п³ = ±h/2} и h — начальная толщина оболочки. Введем на исходной конфигурации оболочки метрику аав(nY, t). Функции аав = ааав, где аа — векторы, касательные к координатной кривой qa, определяют в каждый момент времени t коэффициенты первой фундаментальной формы поверхности П, характеризующей ее внутреннюю геометрию.
   Если поверхность П, к тому же, ориентирована в пространстве R³ положением нормали ni, внешней по отношению к каждой точке на поверхности, вводится вторая фундаментальная форма П, определяемая выражением Ьав (па, пв), где характеризующий кривизну