Обобщение тождества Лагранжа и новые интегралы движения

ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

МЕХАНИКА



2008. Вып. 3

УДК 531.011

© А. А. Килин




                ОБОБЩЕНИЕ ТОЖДЕСТВА ЛАГРАНЖА И НОВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ




В данной работе рассматриваются системы материальных точек в евклидовом пространстве, взаимодействующих как друг с другом, так и с внешним полем. В частности, рассматриваются системы частиц, взаимодействие между которыми описывается однородным потенциалом степени однородности а = —2. Такого рода системы рассматривались еще Ньютоном и в более систематической форме — Якоби. Для этих систем существует дополнительная скрытая симметрия, которой соответствует первый интеграл движения, называемый нами интегралом Якоби. Данный интеграл указывался ранее в различных работах, начиная с Якоби, однако мы приводим его в более общем виде. Кроме того, нами была указана новая нелинейная алгебра интегралов, включающая интеграл Якоби. В статье также приводится ряд обобщений тождества Лагранжа для систем с однородным потенциалом степени однородности а = -2. А также указаны новые интегралы движения для этих обобщений.


Ключевые слова: тождество Лагранжа, многочастичная система, первый интеграл, интегрируемость, алгебра интегралов.





                § 1. Натуральная система с однородным потенциалом степени а = —2





   Рассмотрим натуральную систему с потенциалом Uₐ(r), являющимся однородной функцией степени однородности а по переменным ri, i = 1,..., N :


1 vN p²
H = »E + U«(r)-                                 (i-п
²  i=1 mi

Как известно, для потенциала Uₐ(r) справедливо тождество Эйлера

(r,   )= аиа.                                (1.2)
dr
N
   Эволюция центрального момента инерции I = 22 'mir² для таких систем описывается фор-i=1
мулой Лагранжа
I = 4H — 2(а + 2)Ua.                            (1.3)
Некоторые обобщения формулы Лагранжа на системы со связями, на случай, когда потенциальная энергия квазиоднородна по координатам, а также на континуум взаимодействующих частиц, можно найти в недавней работе [10].
   В рассматриваемом случае а = —2 формула Лагранжа упрощается, при этом уравнение для момента инерции может быть проинтегрировано явно:


I (t) = 2Ht² + at + b,


(1-4)

здесь a и b — константы интегрирования. Из (1.4) следует восходящее к Якоби утверждение для системы N частиц с потенциалом U₋₂(r).
   Утверждение 1 (Якоби). В сл,у<ае отрицательных энергий H < 0 все частицы системы нолтутся за, кон>чное время, а в сл,у>а,0 положит,елъной энергии H > 0 по крайней мере одно взаимное расстояние между телами будет бесконечно возрастать при t ^ ± то.