Амплитудные уравнения для трехмерной бидиффузионной конвекции в окрестности точек бифуркации Хопфа

ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА


МАТЕМАТИКА



2008. Вып. 3

УДК 517.995.8, 532.529.2

© С. Б. Козицкий




                АМПЛИТУДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ТРЕХМЕРНОЙ БИДИФФУЗИОННОЙ КОНВЕКЦИИ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧЕК БИФУРКАЦИИ ХОПФА




Рассматривается трехмерная бидиффузионная конвекция в бесконечном плоском слое несжимаемой жидкости в окрестности точек бифуркации Хопфа. Методом многомасштабных разложений выведена система амплитудных уравнений для горизонтальных вариаций амплитуды конвективных ячеек квадратного типа. Уделено внимание взаимодействию конвекции с горизонтальным вихрем. Обсуждаются различные частные случаи получившихся уравнений.

Ключевые слова: бидиффузионная конвекция, термохалинная конвекция, амплитудные уравнения, метод многомасштабных разложений.




                Введение




   Физические системы, в которых существенную роль играет конвекция, обусловленная двойной диффузией, часто встречаются в природе. В таких системах присутствуют две компоненты, коэффициенты диффузии которых существенно различны. Это могут быть тепло и соль в морской воде, тепло и гелий в звездных атмосферах либо два реагента в химическом реакторе. В результате различного пространственного распределения этих компонент в поле силы тяжести возникает конвекция, которая может принимать различные формы и приводить к разнообразным явлениям [1]. Широко известны, например, солевые пальцы, возникающие в подсоленной и подогретой сверху воде. Понятно, что результаты, полученные для бидиффузионной конвекции, скажем, в океане, могут быть применимыми и для бидиффузионной конвекции в астрофизических системах или в химическом реакторе.
   Бидиффузионная (термохалинная) конвекция играет важную роль в процессах тепло-массопереноса в океане и также существенно влияет на различные мелкомасштабные процессы, например, на формирование тонкой вертикальной термохалинной структуры [2]. Подобные феномены на настоящий момент изучены недостаточно хорошо. Одним из эффективных способов исследования этих явлений является построение простых математических моделей, в основе которых лежит вывод так называемых амплитудных уравнений методом многомасштабных разложений. Такой подход позволяет избежать громоздких численных расчетов и обычно выводит исследователя на непосредственный физический смысл того или иного явления.
   В литературе существуют многочисленные работы, посвященные теоретическим моделям систем с бидиффузионной конвекцией. В 80-90-е гг. появился ряд работ, в которых изучается процесс формирования структур в окрестности точек бифуркации Хопфа для трансляционноинвариантных по горизонтали систем. Осцилляции в таких системах могут привести к возникновению различных типов волн (например, стоячих, бегущих, модулированных, хаотических), которые хорошо описываются в рамках обобщенного уравнения Гинзбурга-Ландау [3, 4]. Вид этих уравнений часто постулируется из общих соображений (типа соображений симметрии); предполагается, что коэффициенты в них должны быть выведены асимптотическими методами из исходных уравнений в частных производных, описывающих конкретную физическую систему. Однако полный и обоснованный вывод амплитудных уравнений для систем с бидиффузионной конвекцией пока слабо представлен в литературе. Отчасти это может объясняться сравнительно большим объемом выкладок, необходимых для строгого вывода уравнений и формул для их коэффициентов. А работ, посвященных амплитудным уравнениям для трехмерной бидиффузионной конвекции, автору найти пока не удалось.

          Амплитудные уравнения для трехмерной бидиффузионной конвекции           47

МАТЕМАТИКА                                                               2008. Вып.З

   Целвю настоящей работы является вывод амплитудных уравнений для трехмерной бидиффузионной конвекции в окрестности точек бифуркации Хопфа. Последняя характерна для рассматриваемой физической системы при достаточно болвших числах Рэлея, что имеет место в болвшинстве случаев, важных для океанологии. Кроме того, в работе исследуется случай квадратных конвективных ячеек, как наиболее часто встречающихся в задачах конвекции [5], наиболее простой с точки зрения объема выкладок.




                § 1. Постановка задачи и основные уравнения




   Рассматривается трехмерная термохалинная конвекция в слое воды толщиной h, ограниченном двумя бесконечными плоскими горизонтальными границами, подогреваемом и подсаливаемом снизу. Исходными в этом случае являются уравнения гидродинамики для жидкой смеси в поле силы тяжести [6]:

dtv + (vV)v = -p⁻¹Vp + v Av + g,
                           dtT + (vV)T = xAT, dtS + (vV)S = DAS, div v = 0.

   Здесь v(t,x,y,z) —поле скороетей жидкости; T(t,x,y,z) —температура; S(t,x,y,z) — концентрация соли; p(t, x, y, z) — давление; p(t, x, y, z) — плотность жидкости; g — ускорение свободного падения; v — коэффициент вязкости жидкости; х — коэффициент температуропроводности жидкости; D — коэффициент диффузии соли. Используются горизонтальные x и y, а также вертикальная z пространственные переменные; время обозначено через t.
   Предполагается, что распределенные источники тепла и соли отсутствуют. На верхней и нижней границах области поддерживаются постоянные значения температур и соленостей, что соответствует линейному по вертикали и не зависящему от времени основному распределению этих величин. Существует два принципиально различных типа термохалинной конвекции: пальцевая [7], когда более теплая и соленая вода находится у верхней границы области, и диффузионная, когда температура и соленость больше у нижней границы [1]. В настоящей работе рассматривается второй тип.
   Выделим в качестве отдельного члена стационарное решение:

           p(x, y, z, t) = po(z) + p(x, y, z, t), P(x, y, z, t) = Po(z) + P((x, y, z, t), T(x, y, z, t) = To(z) + T'(x, y, z, t), S(x, y, z, t) = So(z) + S'(x, y, z, t).

Преобразуем члены с плотностью и давлением в духе приближения Обербека-Буссинеска, стандартного для задач конвекции [6]:

1   _ ,ч            P'
             ----——, (Po + P )z - g = + gaT (x,y,z,t) - g- S (x,y,z,t), p0 + p                  po

где a¹ и у' — температурный и солёностный коэффициенты объемного расширения. Далее будем полагать, что po является константой, равной плотности жидкости на среднем уровне по глубине. Температура и соленость в случае стационарного решения запишутся так:

To(z)= T+ - (T₊ - T-)zh⁻¹ = T₊ - T^zh⁻¹,   Ta = T+ - T- ,
So(z) = S₊ - (S₊ - S-)zh⁻¹ = S+ - SAzh⁻¹,  Sa = S₊ - S- .

Здесь через T₊ и T-, а также через S₊ и S- обозначены значения температур и солёностей на нижней (+) и верхней (-) границах области соответственно.
   Введем следующие единицы измерения для всех фигурирующих в уравнениях величин: для длины, времени, скорости, давления, температуры и солености это будут соответственно h, h²/x, х/h, pₒx²/h², Ta, Sa, где Ta и Sa —разности температур и соленостей на границах