Частично-инвариантные решения кубического уравнения Шредингера


ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА


МАТЕМАТИКА



2008. Вып. 3

УДК 517.9



© М. В. Нещадим, А. П. Чупахин

ЧАСТИЧНО-ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ
КУБИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА¹


В работе рассматривается проблема интегрирования переопределенной системы дифференциальных уравнений, соответствующей частично-инвариантному решению (фактор-модель L₃,i) кубического уравнения Шредингера.

Ключевые слова: уравнение Шредингера, частично-инвариантное решение, переопределенные системы.

   Нелинейное уравнение Шредингера [1] имеет многочисленные приложения в математической физике (нелинейная оптика, теория волн и другие). Особый интерес представляют многомерные решения уравнения Шредингера, поскольку оно в этом случае не интегрируется методом обратной задачи теории рассеяния [2].
   Теоретико-групповые свойства уравнения


i^t + Аф + |ф|²ф = 0,


(1)

где А = dx² + dy² + dz² — оператор Лапласа, ф = ф1 + i^₂, |ф| = \ 'ф + Ф2, изучались в работах [3-6]. Работа [7] посвящена описанию средствами группового анализа [8] всех подмоделей (фактор-уравнений) уравнения (1), отвечающих его трехмерным алгебрам симметрии. В частности, найдены универсальные инварианты и определен тип возможного теоретико-группового решения: инвариантное (9 существенно различных типов) или частично-инвариантное (18 существенно различных типов). Тем самым показано, что существует большое число точных решений уравнения (1), описывающих существенно многомерные физические структуры, перспективные для изучения.
   Если ввести амплитуду и и фазу v равенством ф = ueiv, то (1) можно переписать в виде системы

                          {—и|щ + Аи — u| v|² + и³ = 0, д dt dv              _ _
                            — + uAv + 2 < Vu, Vv >= 0, dt

где V = (dₓ,dy,dz) — градиент.
   Алгебра симметрии системы (2) порождается следующими операторами [3]:


(2)

                        Xi = dt,
                        X2 = dx, Хз = dy, X4 = dz,
                        Х5 = zdy — ydz, Хб = xdz — zdz, X7 = ydₓ — xdy, X₈ = 2tdx + xdv, X₉ = 2tdy + ydv, X10 = 2tdz + zdv, X11 = dv, X12 = 2tdt + xdx + ydy + zdz — ud„.


   Фактор-уравнения, соответствующие частично-инвариантным решениям, представляют собой активные (в смысле теории совместности [9,10]) системы дифференциальных уравнений. Поэтому для этих систем в первую очередь стоит задача приведения в инволюцию, определения широты решения и, если возможно, построения общего решения.

   Работа поддержана грантами РФФИ (проекты №06-01-00439, №08-01-00047), Интеграционным грантом СО РАН (проекты №48, 2.15 - 2006), Программой поддержки ведущих научных школ №НШ-2826.2008.1.