Бифуркация автоволн обобщенного кубического уравнения Шредингера в случае трех независимых переменных

ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА


МАТЕМАТИКА



2008. Вып. 3

УДК 517.9

© А. Н. Куликов, Д. А. Куликов

БИФУРКАЦИЯ АВТОВОЛН ОБОБЩЕННОГО КУБИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА В СЛУЧАЕ ТРЕХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ¹

Для уравнения, название которого приведено в заглавии статьи, рассмотрена периодическая краевая задача. У нее существует счетное число периодических по временной переменной плоских волн. Исследован вопрос об их устойчивости и бифуркациях. Оказалось, что от каждой из них могут бифурци-ровать инвариантные торы размерности 2, 3, 4, в том числе и асимптотически устойчивые. Указаны отличия от аналогичной задачи, когда число пространственных переменных равно 1 или 2. В частности, найдены диапазоны параметров, когда возможна докритическая бифуркация седловых торов, а также выявлены случаи реализации устойчивых режимов с обострением. Последнее проиллюстрировано рисунками. Все результаты получены аналитически и основаны на асимптотических методах нелинейной динамики.

Ключевые слова: аттрактор, устойчивость, бифуркация, краевые задачи.




                Введение




   Кубическим уравнением Шредингера принято называть следующее уравнение:

iuₜ = dAu + cu|u|²,                            (0.1)

где u = u(t, x, y, z) — комплекснозначная функция, A — оператор Лапласа по пространственным переменным x,y,z. Здесь d, c — действительные постоянные, причем d > 0, а знак c произволен. Уравнение (0.1) возникает во многих задачах нелинейной оптики и гидродинамики [1-5], в частности, в теории волн конечной амплитуды на поверхности глубокой жидкости. Так, в монографии [2] отмечается, что это уравнение используется в нелинейной оптике при изучении узких пучков, а также изучении неустойчивости волновых пакетов. Как известно, в результате малых модуляций неустойчивый волновой пакет переходит в режимы более сложной структуры. Эти и иные сложные нелинейные эффекты позволили объяснить один из наиболее эффектных экспериментов нелинейной оптики — генерации второй гармоники.
   В случаях когда необходимо учитывать диссипативные процессы, это уравнение нуждается в обобщении. Простейшим таким обобщением служит уравнение

                              iut = dAu + (c — i)u|u|² + iu,                     (0.2)

которое получается из уравнения (0.1) при добавлении слагаемого iu, отвечающего за «подкачку» энергии, и слагаемого —iu|u|², характеризующего его диссипацию.
   Уравнение (0.2) удобно переписать в следующем виде:

                              ut = u — (1 + ic)u|u|² — idAu.                     (0.3)

Его можно интерпретировать как частный случай известного уравнения Гинзбурга-Ландау (Курамото-Цузуки)
ut = u — (1 + ic)u|u|² + (di + id)Au,

   Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 07-01-00473).

A. H. Куликов, Д. А. Куликов

МАТЕМАТИКА                                                                 2008. Вып.З

если учтена дифракция, но отсутствует диффузионный член (di = 0). Такая ситуация типична для лазерных резонаторов и других нелинейных оптических сред. Уравнение (0.2) описывает в этом случае пространственную эволюцию электромагнитного пакета в указанных средах.
   Само уравнение Гинзбурга-Ландау, благодаря идеям А. Твюринга, И. Пригожина, стало модельным для многих разделов физики, где приходится учитывать нелинейные эффекты. Кроме упомянутых приложений, оно использовалось при описании ветровых волн на воде, морфогенеза, ряда неустойчивостей в плазме. Такое широкое его применение основано на простом физическом соображении. Уравнение Гинзбурга-Ландау описывает ситуацию «взаимодействия осцилляторов», каждый из которых сам по себе обладает автоколебательной динамикой [5-6].
   Возвратимся к обсуждению частного случая уравнения Гинзбурга-Ландау, то есть (0.3). Кроме упомянутых приложений, оно встречается в гидродинамике [7], где служит одним из обобщений классического уравнения Ландау и используется при изучении слабонелинейных эффектов.
   Одним из возможных сценариев перехода к хаосу (развитой турбулентности) согласно Ландау является докритическая неустойчивость, то есть когда линейный анализ показывает формальную устойчивость стационарного режима, но более существенные возмущения приводят к наростанию колебаний. Тогда согласно этому сценарию при уменьшении числа Рейнольдса может произойти «быстрое» («внезапное», «дикое») развитие турбулентности. В близких ситуациях иногда речь идет о жесткой турбулентности [5, 8]. Как было показано ранее [9-11], в случае одной и двух пространственных переменных вариант жесткого возбуждения колебаний не может быть реализован. Иная ситуация, как будет показано далее, имеет место для случая трех пространственных переменных, что подтверждает некоторые предположения из [5, 8].
   Обоснование этих физических представлений основано на использовании метода Крылова-Боголюбова, адаптированного к нелинейным краевым задачам с частными производными [12].
   Будем считать, что функция u(t, x, y, z) периодична по пространственным переменным:

             u(t, x + 2п, y, z) = u(t, x,y + 2п, z) = u(t, x,y,z + 2п) = u(t, x, y, z). (0.4)

   Такой выбор краевых условий предложен, например, в работе [8]. Пусть D = {(x, y, z), —п ^ x ^ п, —п ^ y ^ п, —п ^ z ^ п}. В качестве фазового пространства решений краевой задачи следует выбрать [13] пространство Соболева W2(D). Полезно для дальнейшего отметить, что справедливо утверждение.

   Лемма 1. Краевая задача (0.3), (0.4) диссипативна, в норме пространства L₂(D).

Доказательство леммы достаточно стандартно и может быть получено из конструкций работы [8]. Лемма 1 лишь подкрепляет тот факт, что в уравнении (0.3) было введено диссипативное слагаемое.
   Краевая задача (0.3), (0.4) имеет счетное семейство решений вида

uk,m,n(t, x, y, z) = exp(i(ak,ₘ,ₙt + kx + my + nz)),         (0.5)

где aₖ,ₘ,ₙ = —c + d(k² + m² + n²), k,m,n E Z.
   Изучение устойчивости и бифуркаций плоских бегущих волн (0.5) облегчает принцип самоподобия [14], суть которого заключается в следующем. В уравнении (0.3) выполним замену

u(t, x, y, z) = v(t, x + 2dkt, y + 2dmt, z + 2dnt) x
                                                                                   (0.6) x exp(i(d(k² + m² + n²)t + kx + my + nz)),

которая переводит уравнение (0.3) снова в это же уравнение, но уже для функции v(t, x,y, z) и с теми же краевыми условиями (0.4). Поэтому для краевой задачи


vₜ = v — (1 + ic)v|v|² — idAv,                     (0.7)