Приближенное вычисление амплитуд циклов, буфурцирующих при наличии резонансов

ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА


МАТЕМАТИКА                                        2008. Вып. 3



УДК 517.98

© А. П. Карпова, Ю. И. Сапронов

        ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ АМПЛИТУД ЦИКЛОВ, БИФУРЦИРУЮЩИХ ПРИ НАЛИЧИИ РЕЗОНАНСОВ

Для класса динамических систем, включающего в себя уравнения колебаний упругой балки на упругом основании, автономные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, системы гидродинамического типа и др., изложена процедура приближенного вычисления амплитуд периодических решений, бифурцирующих из точек покоя при наличии резонансов. Методологическая основа процедуры — метод Ляпунова-Шмидта, рассмотренный в рамках общей теории гладких SO(2) -эквивариантных фредгольмовых уравнений (в бесконечномерных банаховых пространствах). Материал статьи развивает и дополняет более ранние результаты исследований Б. М. Даринского, Ю. И. Сапронова и В. А. Смольянова.

Ключевые слова: цикл, резонанс, бифуркация, метод Ляпунова-Шмидта, круговая симметрия.

        Введение

   Разработке и апробации методов исследования зарождения периодических волн, вихревых структур и циклов динамических систем вблизи сложного фокуса посвящено большое число работ (см., например, [1-4] и литературу в этих источниках). В данной статье изложена процедура приближенного вычисления и анализа ветвления периодических решений дифференциальных уравнений, развивающая и дополняющая вычислительные схемы, опубликованные в [5,6].
   Основу предлагаемой вычислительной процедуры составляет теория гладких SO(2) -экви-вариатных фредгольмовых уравнений в банаховых пространствах. Эта процедура прошла апробацию на задачах о периодических и волновых движениях упругой балки на упругом основании, о периодических решениях нелинейного уравнения типа С.Л. Соболева, уравнений гидродинамического типа и более общих автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Здесь мы коснемся некоторых из перечисленных уравнений лишь с целью иллюстрации. Подробному изложению результатов апробации будут посвящены отдельные статьи.
   В статье использован операторный подход: уравнение динамики трактуется как операторное уравнение в тройке последовательно вложенных функциональных пространств. Разумеется, можно отказаться от тройки пространств, так как достаточно рассмотреть лишь пару никак не связанных между собой банаховых пространств или пару гладких банаховых многообразий с фредгольмовыми структурами и т. д. Но тогда нужно задать и согласовать отдельные действия (нелинейные) окружности на них, что сразу внесет в схему неестественность (с точки зрения приложений). Тройка же пространств позволяет одновременно рассматривать круговую симметрию и спектральное строение линейной части уравнения (при выделении мод бифуркации).
   Предложенная функционально-аналитическая схема достаточно проста, естественна и максимально приближена к рассмотренным задачам. Все сформулированные в статье условия и предположения реализуются в задачах нелинейной динамики. Одна из целей статьи — демонстрация геометрического единства (в духе [7,8]) разнообразных задач нелинейной динамики — достигнута с использованием минимального объема средств функционального анализа.
   Гильбертово пространство H в примерах — пространство периодических функций класса Ь₂ (скалярное произведение — интеграл от произведения функций по отрезку длины, равной периоду). Это пространство допускает естественную фильтрацию конечномерными подпространствами тригонометрических многочленов, на которых действие окружности является гладким и ортогональным (в индуцированной из H евклидовой структуре).

Приближенное вычисление амплитуд

13

МАТЕМАТИКА                                                               2008. Вып.З

   Таким образом, описанная схема дает основу для конструктивного бифуркационного анализа, она позволяет решатв и задачу дискриминантного анализа параметрических семейств периодических решений.
   Ниже исполвзовано условие постоянства базиса собственных функций (мод бифуркаций). Это условие часто выполняется в краевых задачах. Зависимости же базиса собственных функций от параметра — малоинтересное обобщение. Однако существуют задачи, в которых дей-ствителвно возникает необходимости рассмотрения переменного базиса из несобственных функций, так как из собственных это сделатв нелвзя [9]. В статве такие случаи не затрагиваются.
   Конечно, еств и другие подходы к решению задач циклогенеза. Например, широко известен подход, основанный на теореме о централином многообразии и теории локалиных нормальных форм динамических систем [3]. Но многие из известных подходов испытывают существенные затруднения при рассмотрении сложных фокусов с сильными резонансами. Каждый, кто пробовал применятв такие подходы в численном анализе конкретных систем, знает о существующих здесв трудностях (можно сослатвся по этому поводу на известные высказывания Н. Н. Моисеева в послесловии к [4]). Плата за успешную работу алгоритмов, созданных на базе изложенной здесв схемы, — неполучение информации о локалвном фазовом портрете. Однако еств соображения и на этот счет: оказывается, что по главной части ключевого отображения классической динамической системы можно определятв главную частв нормализованной динамической системы (пока не опубликовано).

        § 1. Фредгольмовы уравнения с круговой симметрией

   Вопросам анализа дифференциальных уравнений с групповой симметрией посвящена обширная литература (см., например, монографии и статьи Л. В. Овсянникова, Н. X. Ибрагимова, П. Олвера, А.М. Виноградова с соавторами, В.Ф. Зайцева, А.Т. Фоменко, В. А. Треногина, Б. В. Логинова и др. [10-13]). Ряд аспектов теории вариационных и общих операторных уравнений с групповой симметрией развивался при непосредственном воздействии эквивариантной теории Морса (А.Т. Фоменко, В.В. Шарко и др.) и теории ветвления решений нелинейных эквивариантных уравнений (J. Е. Marsden, Н. А. Бобылев, Б. В. Логинов, В. А. Треногин, 3. И. Баланов и др.). Уравнения с круговой, бикруговой и поликруговой симметриями изучались в работах Б. В. Логинова, В. Г. Звягина, В. Кравцевича, Ю.И. Сапронова, В. А. Смольянова, А. В. Гнездилова и др.
   Основной результат данной статьи допускает абстрактную формулировку в терминах фредгольмова уравнения [7] со слабой круговой симметрией, рассмотренного вблизи порождающей особой точки с четырехмерным вырождением.
   Пусть заданы банаховы пространства E, F и гильбертово пространство H такие, что E С F С H и эти вложения непрерывны. И пусть задано семейство фредгольмовых отображений нулевого индекса f : E х Rm ^ F, гладкое по совокупности переменных, представленное в виде
A(e)x + B(x, x, е) + C(x, x, x, e) + o(||x||E),
где A(e) — гладкое семейство линейных фредгольмовых операторов нулевого индекса, B, C — квадратичный и кубический операторы.
   Пусть, далее, зафиксирован слабо гладкий гомоморфизм T : SO(2) —> O(H) - из группы SO(2) в группу ортогональных линейньix преобразований пространства H (его непрерывность не предполагается)¹. Гомоморфизм T задает ортогональное действие на пространстве H :

G х H —> H,    (g, x) ।—> y = Tg(x) V(g, x) G G х H.

Предполагается, что E и F инвариантны, a f эквивариантно относительно данного действия:

Tg(E) с E,  Tg(F) С F,   f (T(•), e) = Tg(f (•, e)) Vg g SO(2), е G Rm.


  ¹ Слабая гладкость означает, что индуцированное действие SO (2) на любом конечномерном инвариантном подпространстве N С H является гладким.