Элементы геометрической и волновой оптики

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ 

АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНЖЕНЕРНЫЙ ИНСТИТУТ

ЭЛЕМЕНТЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ 

И ВОЛНОВОЙ ОПТИКИ

Учебное пособие

Новосибирск 2013

УДК 535.1/5 (075)
ББК 22.343.4, я 73
Э 456

Кафедра теоретической и прикладной физики

Составители: канд. техн. наук, доц. В. Я. Чечуев;
 
канд. техн. наук, доц. С. В. Викулов;

 
доц. И. М. Дзю

Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, проф. М. П. Синюков (НГАВТ); 
 
канд. физ.-мат. наук, доц. В. И. Сигимов (НГАВТ)

Элементы геометрической и волновой оптики: учеб. пособие / Но
восиб. гос. аграр. ун-т. Инженер. ин-т; сост.: В. Я. Чечуев, С. В. Викулов, И. М. Дзю. – Новосибирск: Изд-во НГАУ, 2013. — 130 с.

Учебное пособие содержит изучаемый в курсе общей физики 

материал по геометрической и волновой оптике.

Предназначено для студентов всех форм обучения и направле
ний подготовки, реализуемых в НГАУ.

Утверждено и рекомендовано к изданию методическим советом 

Инженерного института (протокол № 13 от 22 января 2013 г.).

© Новосибирский государственный аграрный университет, 2013

ВВЕДЕНИЕ

По современным представлениям, свет — сложное 

явление: в одних случаях он ведет себя как электромагнитная волна, в других — как поток особых частиц 
(фотонов).

В электромагнитной волне колеблются векторы 


E

и 


H . Длины волн 0  в вакууме видимого света заклю
чены в пределах

λ0
10
4000
7600
1
10
=
÷
=
−
A
A


ì .

Как видим, они очень малы. Поэтому распростра
нение видимого света можно в первом приближении 
рассматривать, отвлекаясь от его волновой природы 
и полагая, что свет распространяется вдоль некоторых 
линий, называемых лучами. В предельном случае, соответствующем λ → 0 , законы оптики можно сформулировать на языке геометрии. В соответствии с этим 
раздел оптики, в котором пренебрегают конечностью 
длин волн, называется геометрической (или лучевой) 
оптикой.

Материал, излагаемый в пособии, направлен на 

формирование компетенций в соответствии с Федеральными государственными образовательными стандартами по направлениям подготовки, реализуемым 
в НГАУ.

1. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА

1.1. Законы геометрической оптики

Основу геометрической оптики образуют четыре за
кона: 1) закон прямолинейного распространения света; 
2) закон отражения света; 3) закон преломления света; 
4) закон независимости световых лучей.

Закон прямолинейного распространения утверждает, 

что в однородной среде свет распространяется прямолинейно. Этот закон является приближенным: при прохождении света через очень малые отверстия наблюдаются отклонения от прямолинейности, тем большие, 
чем меньше отверстие.

Законы отражения и преломления определяют на
правления отраженного II и преломленного III лучей 
при падении луча I света на границу раздела двух прозрачных сред (рис. 1.1).

Рис. 1.1

Закон отражения: отраженный луч лежит в одной 

плоскости с падающим лучом и перпендикуляром, проведенным к границе раздела двух сред в точке падения; 
угол i1
'  отражения равен углу i1 падения.

Закон преломления: луч падающий, луч преломлен
ный и перпендикуляр, проведенный к границе раздела 
в точке падения, лежат в одной плоскости; отношение 
синуса угла падения к синусу угла преломления равно 
отношению абсолютных показателей преломления второй среды к первой:

sin

sin

i

i

n

n

1

2

2

1

. 
(1.1)

Абсолютный показатель преломления показывает, 

во сколько раз скорость распространения света в данной среде меньше, чем скорость света в вакууме:

n
c
v

. 
(1.2)

Для любой среды п 1. Из (1.2) следует, чем боль
ше абсолютный показатель преломления среды, тем 
меньше скорость распространения света в ней. При 
сравнении абсолютных показателей преломления двух 
сред используют понятие оптической плотности среды.

Оптически более плотная среда — среда с большим 

показателем преломления.

Оптически менее плотная среда — среда с меньшим 

показателем преломления.

Закон независимости световых лучей утверждает, что 

лучи при пересечении не возмущают друг друга, т. е. пересечения лучей не мешают каждому из них распространяться независимо друг от друга. Этот закон справедлив 
лишь при не слишком больших интенсивностях света. 
При интенсивностях, достигаемых с помощью лазеров, 
независимость световых лучей перестает соблюдаться.

Первые три закона вытекают из принципа Ферма. 

В формулировке самого Ферма принцип гласит, что 
свет распространяется по такому пути, для прохождения которого ему требуется минимальное время.

Для прохождения участка пути ds  (рис. 1.2) свету 

требуется время dt
ds
v

, где v — скорость света в дан
ной точке среды. Заменив v через c n  (1.2), получим, 
что dt
c nds
= (
)
1
. Следовательно, время , затрачивае

мое светом на прохождение пути от точки 1 до точки 
2, равно

τ = ∫
1

1

2

c
nds . 
(1.3)

Рис. 1.2

Имеющая размерность длины величина

L
nds
= ∫
1

2

 
(1.4)

называется оптической длиной пути. В однородной среде оптическая длина пути равна произведению геометрической длины пути s на показатель преломления 
среды п:

L
ns

. 
(1.5)

Согласно (1.3) и (1.4),

τ = L
c . 
(1.6)

Пропорциональность времени прохождения  опти
ческой длине пути L дает возможность сформулировать 
принцип Ферма следующим образом: свет распространяется по такому пути, оптическая длина которого минимальна. Точнее, оптическая длина пути должна быть 
экстремальной, т. е. либо минимальной, либо максимальной, либо стационарной — одинаковой для всех 
возможных путей.

В последнем случае все пути света между двумя точ
ками оказываются таутохронными (требующими для 
своего прохождения одинакового времени).

Из принципа Ферма вытекает обратимость свето
вых лучей. Действительно, оптический путь, который 
минимален в случае распространения света из точки 1
в точку 2, окажется минимальным и в случае распространения света в обратном направлении.

Получим с помощью принципа Ферма законы от
ражения и преломления света. Пусть свет попадает из 
точки А в точку В, отразившись от поверхности MN
(рис. 1.3; прямой путь из А в В прегражден непрозрачным экраном Э). Среда, в которой проходит луч, однородна. Поэтому минимальность оптической длины пути 
сводится к минимальности его геометрической длины. 
Геометрическая длина произвольно взятого пути равна 
ÀÎ B
AO B
'
'
'

 (вспомогательная точка A'  является зер
кальным изображением точки А). Из рисунка видно, 
что наименьшей длиной обладает путь луча, отразившегося в точке О, для которой угол отражения равен 
углу падения. Заметим, что при удалении точки O' от 
точки O  геометрическая длина пути неограниченно 
возрастает, так что в данном случае имеется только 
один экстремум — минимум.

Рис. 1.3

Теперь найдем точку, в которой должен преломить
ся луч, распространяясь от А к В, чтобы оптическая 
длина была экстремальной (рис. 1.4). Для произвольного луча оптическая длина пути L равна

L
n s
n s
n
a
x
n
a
b
x
=
+
=
+
+
+
−
(
)
1 1
2 2
1
1
2
2
2
2
2
2 .

Рис. 1.4

Чтобы найти экстремальное значение, продиффе
ренцируем L по х и приравняем производную нулю:

dL
dx

n x

a
x

n
b
x

a
b
x
n x
s
n b
x
s
=
+
−
−
(
)

+
−
(
)
=
−
−
=
1

1
2
2
2

2
2
2
1
1
2
2
0 .

Множители при n1 и n2  равны соответственно sin i1

и sin i2 . Таким образом, получается соотношение

n
i
n
i
1
1
2
2
sin
sin

, 
(1.7)

выражающее закон преломления.

Если свет распространяется из среды с большим по
казателем преломления n1 (оптически более плотной) 
в среду с меньшим показателем преломления n2  (оптически менее плотную), например, из стекла в воду, 
то, согласно (1.7),

sin
sin
i
i
n
n

2

1

1

2
1
=
>
.

Отсюда следует, что преломленный луч удаляется от 

нормали и угол преломления i2  больше, чем угол падения (рис. 1.5, а). С увеличением угла падения увеличивается угол преломления (см. рис. 1.5, б) до тех пор, 
пока при некотором угле падения i
iïð
=
(
) угол прелом
ления не окажется равным π / 2. Угол iïð  называется 
предельным углом. При углах падения i
iïð
1 
 весь па
дающий свет полностью отражается (см. рис. 1.5, в).

Рис. 1.5

По мере приближения угла падения к предельному 

интенсивность преломленного луча уменьшается, а отраженного — растет. Если i
iïð
1 
, то интенсивность 

преломленного луча обращается в нуль, а интенсивность отраженного равна интенсивности падающего. 
Таким образом, при углах падения в пределах от iïð  до 
π / 2 луч не преломляется, а полностью отражается 
в первую среду, причем интенсивности отраженного 
и падающего лучей одинаковы. Это явление называется полным внутренним отражением.

Предельный угол iïð  определим из формулы (1.7) 

при подстановке в нее i2
2
= π
. Тогда

sin i
n
n
n
ïð 

2

1
21 . 
(1.8)

Уравнение (1.8) удовлетворяет значениям угла iïð

при n
n
2
1

. Следовательно, явление полного внутрен
него отражения имеет место только при падении света 

из среды оптически более плотной в среду оптически 
менее плотную.

Явление полного внутреннего отражения использу
ется в призмах полного отражения. Показатель преломления стекла равен n ≈ 1,5, поэтому предельный 
угол для границы «стекло — воздух» равен 
iïð =
(
) =
°
arcsin
/ ,
1
1 5
42 . Поэтому при падении света на 

границу «стекло — воздух» при i  42  всегда будет 
иметь место полное внутреннее отражение. На 
рис. 1.6, а–в показаны призмы полного отражения, 
позволяющие: а) повернуть луч на 90 ; б) повернуть 
изображение; в) обернуть лучи. Такие призмы применяются в оптических приборах (например, в биноклях, 
перископах), а также в рефрактометрах, позволяющих 
определять показатели преломления тел (по закону преломления, измеряя iïð , находим относительный 
показатель преломления двух сред, а также абсолютный 
показатель преломления одной из сред, если показатель 
преломления другой среды известен).

Явление полного внутреннего отражения исполь
зуется также в световодах, представляющих собой 

тонкие, произвольным образом 
изогнутые нити (волокна) из оптически прозрачного материала. 
В волоконных деталях применяют 
стеклянное волокно, световедущая 
жила (сердцевина) которого окружается стеклом — оболочкой из 
другого стекла с меньшим показателем преломления. Свет, падающий на торец световода под углами, 
большими 
предельного, 

претерпевает на поверхности раздела сердцевины и оболочки полРис. 1.6