Элементы классической и релятивистской механики

Новосибирский  государствеННый 
аграрНый уНиверситет

иНжеНерНый иНститут

Физика
Элементы классической  
и релятивистской механики

учебное пособие

Новосибирск 2012

удк 531 + 530.12 (075)
ббк 22.2, Я 73
Э 456
кафедра теоретической и прикладной физики

составители: канд. техн. наук, доц. В. Я. Чечуев; 
 
канд. техн. наук, доц. С. В. Викулов; И. М. Дзю

рецензенты: д-р физ.-мат. наук, проф. М. П. Синюков (Нгавт); 
 
канд. физ.-мат. наук, доц. В. И. Сигимов (Нгавт)

Элементы классической и релятивистской механики: учеб. пособие / Новосиб. гос. аграр. ун-т. инженер. ин-т; сост.: в. Я. Чечуев, 
с. в. викулов, и. М. дзю. – Новосибирск: изд-во Нгау, 2012. – 123 с.

учебное пособие содержит изучаемый в курсе общей физики материал классической механики и специальной теории относительности.
Предназначено для студентов дневной и заочной форм обучения 
всех направлений подготовки, реализуемых в Нгау.
утверждено и рекомендовано к изданию методическим советом инженерного института (протокол № 3 от 27 марта 2012 г.).

©Новосибирский государственный аграрный университет, 2012

ВВЕДЕНиЕ

Механика – это раздел физики, в котором изучается движение тел в пространстве и времени.
Положение тела в пространстве может быть определено только по отношению к каким-либо другим телам. Это 
же относится и к движению тела. тело (или система неподвижных относительно друг друга тел), которое служит для 
определения положения интересующего нас тела, называют 
телом отсчёта.
Практически для описания движения с телом отсчёта связывают какую-нибудь систему координат, например 
декартову. координаты тела позволяют установить его положение в пространстве. так как движение происходит не 
только в пространстве, но и во времени, то для описания 
движения необходимо отсчитывать также и время. Это делается с помощью часов того или иного типа.
совокупность тела отсчёта, связанных с ним координат 
и синхронизированных между собой часов образует систему отсчёта.
опыт показывает, что пока скорости тел малы по сравнению со скоростью света с (с A 3 108
⋅
(
)
</A
 м/с), линейные масштабы и промежутки времени остаются неизменными при переходе от одной системы отсчёта к другой.
Механику, изучающую движение тел именно в этих случаях, называют ньютоновской.
При переходе же к скоростям, сравнимым со скоростью 
света, обнаруживается, что линейные масштабы и промежутки времени уже зависят от выбора системы отсчёта и в разных системах отсчёта будут разными. Механику, 
основанную на этих представлениях, называют релятивистской. релятивистская механика является более общей 
и в частном случае малых скоростей переходит в ньютоновскую (классическую).

учитывая, что движения реальных тел очень сложны, 
в ньютоновской механике изучают движение двух абстракций: материальной точки и абсолютно твёрдого тела.
Материальная точка – это тело, размерами которого 
в условиях данной задачи можно пренебречь.
Абсолютно твёрдое тело, или, короче, твёрдое тело – 
это тело, деформациями которого можно пренебречь в условиях данной задачи.
изучение движений привело:
1) к установлению динамических законов (при малых 
скоростях – законов Ньютона);
2) к обнаружению законов сохранения энергии, импульса и момента импульса.
Механика состоит из двух разделов: кинематики и динамики.

1. киНЕМаТика

кинематика – это раздел механики, где изучаются способы описания движений независимо от причин, обусловливающих эти движения.

1.1. кинематика материальной точки

существуют три способа описания движений точки. Мы 
рассмотрим два из них: векторный и координатный.
Векторный способ. в этом способе положение интересующей нас материальной точки А задают радиусом-вектором r , проведённым из некоторой неподвижной точки 
О выбранной системы отсчёта в точку А (рис. 1.1).

Рис. 1.1
При движении материальной точки А её радиус-вектор 
меняется в общем случае как по модулю, так и по направлению, т. е. радиус-вектор r  зависит от времени t. геометрическое место концов радиуса-вектора r  называют траекторией 
точки 
А. 
длина 
участка 
траектории 
1–2, 
пройденного материальной точкой, называется длиной пути 
∆s, являющейся скалярной функцией времени ∆
∆
s
s t
=
( ). 
вектор ∆ r  называется вектором перемещения. он представляет собой приращение радиуса вектора r  за время перемещения ∆t: ∆


r
r
r
=
−
2
1 .
для характеристики быстроты движения и его направления вводится векторная величина – скорость.

Вектором средней скорости v  называется отношение вектора перемещения к промежутку времени ∆t:

 



v
r
t
= ∆

∆ . 
(1.1) 

вектор v  совпадает по направлению с ∆ r .
При неограниченном уменьшении ∆t средняя скорость 
стремится к предельному значению, которое называется 
мгновенной скоростью v :

 




v
r
t
dr
dt
t
=
=

→
lim
∆
∆
∆
0
. 
(1.2)

так как секущая в пределе совпадает с касательной, то 
вектор скорости v  направлен по касательной к траектории 
в сторону движения (рис. 1.2).
Модуль мгновенной скорости определяется соотношением

 
v
v
r
t
r
t
s
t
ds
dt
t
t
t
=
=
=
=
=
=

→
→
→




lim
lim
lim
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
0
0
0
. 
(1.3)

При неравномерном движении модуль мгновенной скорости с течением времени изменяется. в этом случае пользуются скалярной величиной v  – средней скоростью неравномерного движения:

 
v
s
t
= ∆

∆ . 
(1.4)

Ускорение и его составляющие. в случае неравномерного движения важно знать, как быстро изменяется скорость 
с течением времени. Физической величиной, характеризующей быстроту изменения скорости по модулю и направлению, является ускорение.
рассмотрим плоское движение, т. е. движение, при котором все участки траектории точки лежат в одной плоскости. 

Пусть вектор v  задаёт скорость точки А в момент времени t. 
За время ∆t движущаяся точка перешла в положение В и приобрела скорость, отличную от v  как по модулю, так и по 
направлению и равную 


v
v
v
1 =
+ ∆ . Перенесём вектор v1  
в точку А и найдём ∆v (см. рис. 1.2).

Рис. 1.2
средним ускорением неравномерного движения в интервале от t до t
t
+ ∆  называется векторная величина, равная 
отношению изменения скорости ∆ v  к интервалу времени ∆t:

 



a
v
t
= ∆

∆ . 
(1.5)

Мгновенным ускорением a  материальной точки в момент времени t будет предел среднего ускорения:

 





a
a
v
t
dv
dt
t
t
=
=
=
→
→
lim
lim
∆
∆

∆
∆
0
0
. 
(1.6)

таким образом, ускорение есть векторная величина, равная первой производной скорости по времени.
разложим вектор ∆ v  на две составляющие. для этого из 
точки А (см. рис. 1.2) по направлению скорости v  отложим 
вектор АД, по модулю равный v1 . очевидно, что вектор СД

, 

равный ∆vτ , определяет изменение скорости за время ∆t по 
модулю ∆v
v
v
τ =
−
1
. вторая же составляющая 
nv
вектора 
∆ v  характеризует изменение скорости за время ∆t по направлению.
тангенциальная составляющая ускорения

 
a
v
t
v
t
dv
dt
t
t
τ
τ
=
=
=
→
→
lim
lim
∆
∆
∆
∆
∆
∆
0
0



, 
(1.7)

т.е. равна первой производной по времени от модуля скорости, определяя тем самым быстроту изменения скорости по 
модулю.
Найдём вторую составляющую ускорения. допустим, 
что точка В достаточно близка к точке А, поэтому ∆s можно 
считать дугой окружности некоторого радиуса r, мало отличающейся от хорды АВ. тогда из подобия треугольников 
АОВ и ЕАД следует ∆v
AB
v
r
/
/
=
1
, но так как AB
v
t
=
⋅∆ , то

∆
∆
v
t
v v
r

n =
⋅
1 .

в пределе при ∆t → 0  получим 

v
v
1 →
. Поскольку 


v
v
1 →
, угол ЕАД стремится к нулю, а так как треугольник 
ЕАД равнобедренный, то угол между v  и 
nv
стремится 
к прямому. следовательно, при ∆t → 0  векторы 
nv
и v  
оказываются взаимно перпендикулярными. так как вектор 
скорости направлен по касательной к траектории, то вектор 

nv
направлен к центру её кривизны. вторая составляющая ускорения, равная

 
a
v
t

v
r

n
t

n
=
=

→
lim
∆
∆
∆
0

2

, 
(1.8)

называется нормальной составляющей ускорения и направлена по нормали к траектории к центру её кривизны.
Полное ускорение тела есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих (рис. 1.3):

Рис. 1.3

 



a
a
an
=
+
τ
; 
(1.9)

 
a
a
an
=
+
τ
2
2 . 
(1.10)

таким образом, зная зависимость r t( ), можно, используя вышеприведённые соотношения, найти скорость v  
и ускорение a  материальной точки в каждый момент времени. Это прямая задача кинематики.
возникает и обратная задача: можно ли найти v t( )  и 
r t( ), зная зависимость от времени ускорения a t( ) ?
оказывается, для получения однозначного решения этой 
задачи одной зависимости a t( )  недостаточно, необходимо 
ещё знать так называемые начальные условия, а именно 
скорость v0  и радиус-вектор r0  точки в некоторый начальный момент t = 0. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим простейший случай, когда в процессе движения ускорение 
точки a = const .
сначала определим скорость точки v t( ) . согласно (1.6), 
за промежуток времени dt  элементарное приращение скорости dv
a dt


=
⋅
, найдём приращение вектора скорости за 
это время:

∆


v
adt
at

t

=
=
∫
0

.

Но величина 
v
– это ещё не искомая скорость v . Чтобы найти v , необходимо знать скорость v0  в начальный момент времени. тогда 


v
v
v
=
+
0
∆ , или

 



v
v
at
=
+
0
. 
(1.11)

аналогично решается вопрос и о радиусе-векторе r t( ) 
точки. согласно (1.2), за промежуток времени элементарное 
приращение радиуса-вектора dr
v dt


=
⋅
. интегрируя это выражение с учётом (1.11), определим приращение радиусавектора за время от t = 0 до t:

∆




r
v t
dt
v t
at
t
=
( )⋅
=
+
∫
0
0

2

2 .

для нахождения самого радиуса-вектора r t( ) необходимо знать ещё положение точки r0  в начальный момент времени. тогда 


r
r
r
=
+
0
∆ , или






r
r
v t
at
=
+
+
0
0

2

2 .

координатный способ. в этом способе с телом отсчёта жёстко связывают определённую систему координат. На 
рис. 1.1 с телом отсчёта связана декартова система координат x, y, z.
Запишем проекции на оси x, y, z радиуса-вектора r t( ), 
характеризующего положение интересующей нас точки 
А относительно начала координат о в момент t:

x
x t
y
y t
z
z t
= ( )
=
( )
= ( )
;
;
.

Зная зависимости этих координат от времени – закон 
движения точки, можно найти положение точки в каждый 
момент времени, её скорость и ускорение. действительно, спроектировав (1.2) и (1.6), например, на ось х, полу