Элементы квантовой оптики и квантовой механики

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ 

АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНЖЕНЕРНЫЙ ИНСТИТУТ

Физика

ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ  ОПТИКИ 

И КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Учебное пособие

Новосибирск 2012

УДК 535.14+530.145 (075)
ББК 22.317, Я 73
Э 456

Кафедра теоретической и прикладной физики

Составители: канд. техн. наук, доц. В. Я. Чечуев; 

канд. техн. наук, доц. С. В. Викулов; 

 
И. М. Дзю

Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, проф. М. П. Синюков, (НГАВТ); 
 
канд. физ.-мат. наук, доцент В. И. Сигимов, (НГАВТ)

Элементы квантовой оптики и квантовой механики: учеб. по
собие / Новосиб. гос. аграр. ун-т. Инженер. ин-т; сост.: В. Я. Чечуев, 
С. В. Викулов, И. М. Дзю. – Новосибирск: Изд-во НГАУ, 2012. – 89 с.

Учебное пособие содержит материал, изучаемый согласно про
грамме, в курсе общей физики. В нём рассмотрены тепловое излучение, 
фотоэффект, эффект Комптона, а также атом водорода, периодическая 
система элементов Менделеева, молекулы и их спектры, вынужденное 
излучение. 

Предназначено для студентов дневной и заочной формы обучения 

всех направлений подготовки, реализуемых в НГАУ.

Утверждено и рекомендовано к изданию методическим советом 

Инженерного института (протокол № 3 от 27 марта 2012 г.).

© Новосибирский государственный аграрный университет, 2012

ВВЕДЕНИЕ

Излучение телами электромагнитных волн (свече
ние тел) может осуществляться за счёт различных видов 
энергии. Самым распространённым является тепловое излучение, т. е. испускание электромагнитных волн за счёт 
внутренней энергии тел. Все остальные виды свечения, возбуждаемые за счёт любого вида энергии, кроме внутренней, 
объединяются под общим названием «люминесценция».

Тепловое излучение имеет место при любой температу
ре, однако при невысоких температурах излучаются практически лишь длинные (инфракрасные) электромагнитные 
волны.

Опыт показывает, что единственным видом излучения, 

которое может находиться в равновесии с излучающими телами, является тепловое излучение. Все остальные виды излучения оказываются неравновесными.

Способность теплового излучения находиться в равно
весии с излучающими телами обусловлена тем, что его 
интенсивность возрастает при повышении температуры. 
Допустим, что равновесие между телом и излучением нарушено и тело излучает энергии больше, чем поглощает. 
Тогда внутренняя энергия тела будет убывать, что приведёт 
к понижению температуры. Это, в свою очередь, обусловит 
уменьшение количества излучаемой телом энергии. Температура тела будет понижаться до тех пор, пока количество 
излучаемой телом энергии не станет равным количеству 
поглощаемой энергии. Если равновесие нарушится в другую сторону, т. е. количество излучаемой энергии окажется меньше, чем поглощаемой, температура тела будет возрастать до тех пор, пока снова не установится равновесие. 
Таким образом, нарушение равновесия в системе «телоизлучение» вызывает возникновение процессов, восстанавливающих равновесие.

К равновесным состояниям и процессам применимы за
коны термодинамики. Поэтому тепловое излучение должно 
подчиняться некоторым общим закономерностям, вытекающим из принципов термодинамики. Рассмотрим эти закономерности.

1. ЗАКОН КИРХГОФА

Интенсивность теплового излучения будем характеризо
вать величиной потока энергии. Поток энергии, испускаемый 
единицей поверхности излучающего тела по всем направлениям, назовём энергетической светимостью тела R. Энергетическая светимость является функцией температуры. Излучение состоит из волн различных частот ω. Обозначим поток 
энергии, испускаемый единицей поверхности тела в интервале частот dω, через dRω. При малом интервале dω

dR
r
d
T
T
ω
ω
ω
,
,
=
.  
(1.1)

Величина r T
ω,  называется испускательной способно
стью тела. Она – функция частоты и температуры.

Энергетическая светимость связана с испускательной 

способностью соотношением

R
r
d
T
=

∞
∫ ω
ω
,
0

.  
(1.2)

Излучение вместо частоты можно характеризовать дли
ной волны λ:

λ
π
ω
= 2 c .  
(1.3)

Связь между определяющими один и тот же участок 

спектра величинами dω и dλ находится путём дифференцирования соотношения (1.3):

d
c d
c d
λ
π
ω
ω
λ
π
ω
= −
= −
2

2
2

2

. 
(1.4)

Знак минус в этом выражении не имеет существенного 

значения, он лишь указывает на то, что с возрастанием одной из величин, ω или λ, другая величина убывает.

Если интервалы dω и dλ относятся к одному и тому же 

участку спектра, то

r
d
r
d
T
T
ω
λ
ω
λ
,
,
=
.  
(1.5)

Подставив в (1.5) (1.4), получим:

r
d
r
c d
r
c d
T
T
T
ω
λ
λ
ω
π
ω
ω
λ
π
ω
,
,
,
⋅
=
⋅
⋅
=
2

2
2

2

,

откуда

r
r
c
r
c

T
T
T
ω
λ
λ
π
ω
λ
π
,
,
,
=
=
2

2
2

2

.  
(1.6)

С помощью (1.6) можно перейти от r T
λ,
к r T
ω,  и наобо
рот.

Пусть на элементарную площадку поверхности тела па
дает поток dФ, обусловленный электромагнитными волнами, частота которых заключена в интервале dω. Часть этого 

потока 

'
dФбудет поглощена телом. Безразмерная величина 

'

,T
dФ
a
dФ
  
(1.7) 

называется поглощательной способностью тела. Поглощательная способность зависит от частоты и температуры.

Для тела, полностью поглощающего упавшее на него 

излучение всех частот, aω,T = 1. Такое тело называется абсолютно чёрным. Тело, для которого  aω,T = const < 1, называют 
серым.

Между излучательной и поглощательной способностя
ми любого тела имеется связь. В этом можно убедиться, рассмотрев следующий эксперимент. Пусть внутри замкнутой 
оболочки, поддерживаемой при постоянной температуре Т, 
помещены несколько тел (рис. 1.1). Полость внутри оболочки эвакуирована, так что тела могут обмениваться энергией 
между собой и с оболочкой лишь путём испускания и поглощения электромагнитных волн. Опыт показывает, что 
такая система через некоторое время придёт в состояние теплового равновесия – все тела примут одну и ту же температуру, равную температуре оболочки Т. В таком состоянии 
тело, обладающее большей испускательной способностью 
r T
ω, , теряет в единицу времени с единицы поверхности 
больше энергии, чем тело, обладающее меньшей r T
ω, . По
скольку температура (а следовательно, и энергия) тел не меняется, то тело, испускающее больше энергии, должно 
и больше поглощать, т. е. обладать большей a
T
ω, . Таким об
разом, чем больше испукательная способность тела r T
ω1 , тем 

больше и его поглощательная способность a
T
ω1 . Отсюда вы
текает соотношение:

r
a
r
a
r
a

T

T

T

T

T

T

ω

ω

ω

ω

ω

ω

,

,

,

,

,

,
...,
= = =

1
2
3

  
(1.8)

где индексы 1, 2, 3 и т. д. относятся к разным телам.

Рис. 1.1

Соотношение (1.8) выражает установленный Кирхго
фом закон, который формулируется следующим образом: 
отношение испускательной и поглощательной способностей не зависит от природы тела, оно является для всех 
тел одной и той же (универсальной) функцией частоты 
и температуры:

r
a
f
T
T

T

ω

ω
ω
,

,
,
=
(
) .  
(1.9)

Сами величины r T
ω,  и a
T
ω,  могут меняться чрезвычайно 

сильно при переходе от одного тела к другому. Отношение 
же их оказывается одинаковым для всех тел.

Для абсолютно чёрного тела по определению a
T
ω, = 1. 

Следовательно, r
f
T
T
ω
ω
,
,
=
(
) . Таким образом, универсаль
ная функция Кирхгофа f
T
ω,
(
)  есть не что иное, как испу
скательная способность абсолютно чёрного тела.

При теоретических исследованиях для характеристики 

спектрального состава равновесного теплового излучения 

удобнее пользоваться функцией f
T
ω,
(
) . В эксперимен
тальных исследованиях удобнее пользоваться функцией 

длины волны ϕ λ,T
(
). Обе функции связаны друг с другом 

соотношением, аналогичным (1.6):

f
T
c
T
ω
π
ω
ϕ λ
,
,
(
) =
(
)
2

2
.  
(1.10)

Абсолютно чёрных тел в природе нет. Сажа или плати
новая чернь имеют поглощательную способность, близкую 
к единице, лишь в ограниченном интервале частот; в далёкой 
инфракрасной области их поглощательная способность заметно меньше единицы. Однако можно создать устройство, 
сколь угодно близкое по своим свойствам к абсолютно чёрному телу. Такое устройство представляет собой почти зам

кнутую полость, снабжённую малым отверстием (рис. 1.2). 
Излучение, проникшее внутрь через отверстие, прежде чем 
выйти обратно, претерпевает многократные отражения. При 
каждом отражении часть энергии поглощается, в результате 
чего практически всё излучение любой частоты поглощается такой полостью.

Рис. 1.2

Согласно закону Кирхгофа, испускательная способность 

такого устройства очень близка к f
T
ω,
(
) , причём Т означа
ет температуру стенок полости. Таким образом, если стенки 
полости поддерживать при некоторой температуре Т, то из 
отверстия выходит излучение, весьма близкое по спектральному составу к излучению абсолютно чёрного тела при той 
же температуре. Разлагая это излучение в спектр с помощью 
дифракционной решётки и измеряя интенсивность различных участков спектра, можно найти экспериментально вид 

функции f
T
ω,
(
)  или, как на рис. 1.3, ϕ λ,T
(
).

Рис. 1.3

Площадь, охватываемая кривой, даёт энергетическую 

светимость абсолютно чёрного тела при соответствующей 
температуре.

Из рис. 1.3 следует, что энергетическая светимость аб
солютно чёрного тела сильно возрастает с температурой. 
Максимум испускательной способности с увеличением 
температуры сдвигается в сторону более коротких волн.

2. ЗАКОНЫ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ 
ЧЁРНОГО ТЕЛА. ФОРМУЛА ПЛАНКА

Долгое время попытки получить теоретически вид 

функции f
T
ω,
(
)  не давали общего решения задачи. Отме
тим частные решения.

Стефан, анализируя экспериментальные данные, при
шёл к выводу, что энергетическая светимость любого тела 
пропорциональна четвёртой степени температуры. Больцман, исходя из термодинамических соображений, показал, 
что этот результат справедлив только для абсолютно чёрных 
тел. В итоге, закон

R
T
= σ
4   
(2.1)

получил название закона Стефана-Больцмана, а постоянную σ называют постоянной Стефана-Больцмана. Её экспериментальное значение равно

σ =
⋅
−
5 7 10 8
2
4
,
B/<
Вт/м2∙К4.

Вин, воспользовавшись, кроме термодинамики, элек
тромагнитной теорией, показал, что функция спектрального 
распределения должна иметь вид

f
T
F T
ω
ω
ω
,
(
) =
3
.  
(2.2)

И хотя вид функции F Вину не удалось установить, фор
мула (2.2) позволила ему получить закон смещения Вина: