Элементы физики колебаний и волн

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ 

АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНЖЕНЕРНЫЙ ИНСТИТУТ

ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ КОЛЕБАНИЙ И ВОЛН

Учебное пособие

Новосибирск 2014

УДК 534.01+537.86(075) 
ББК  22.336 

Э 456

Кафедра теоретической и прикладной физики

Составитель канд. техн. наук, доц. В.Я. Чечуев

Рецензенты:  д-р физ.-мат. наук, проф. М.П. Синюков (НГАВТ); 

канд. физ.-мат. наук, доц. В.И. Сигимов (НГАВТ)

Элементы физики колебаний и волн: учеб. пособие / Новосиб. 

гос. аграр. ун-т. Инженер. ин-т; сост. В.Я. Чечуев. – Новосибирск:
ИЦ «Золотой колос», 2014. – 120 с.

Учебное пособие содержит изучаемый в курсе общей физики 

материал по электростатике и электромагнетизму.

Предназначено для студентов, обучающихся по всем направлениям 

и формам обучения, реализуемым в НГАУ.

Утверждено и рекомендовано к изданию методическим советом 

Инженерного института (протокол № 18 от 28 мая 2013 г.).

©  Новосибирский государственный

аграрный университет, 2014

ВВЕДЕНИЕ

Главное отличие данного учебного пособия от сущест
вующих состоит в том, что различные по физической 
природе колебания и волны рассматриваются с единой 
точки зрения.

Материал, излагаемый в пособии, направлен на форми
рование компетенций в соответствии с Федеральными государственными образовательными стандартами по направлениям подготовки, реализуемым в НГАУ. 

1. КОЛЕБАНИЯ

1.1. Общие сведения о колебаниях

Колебаниями называются процессы, отличающиеся той 

или иной степенью повторяемости. Таким свойством повторяемости обладают, например, качания маятника часов, колебания струны или ножек камертона, напряжение между 
обкладками конденсатора в контуре радиоприёмника и т. п.

Физическая природа колеблющейся величины может 

быть разной. В связи с этим различают механические, электромагнитные и другие колебания. Однако различные по 
физической природе процессы описываются одинаковыми 
характеристиками и одинаковыми уравнениями. Отсюда следует целесообразность единого подхода к изучению колебаний различной физической природы. Здесь мы подробно рассмотрим механические и электромагнитные колебания.

В зависимости от характера воздействия на колеблю
щуюся систему различают свободные (или собственные) 
колебания, вынужденные колебания, автоколебания и параметрические колебания.

Свободными, или собственными, называются такие ко
лебания, которые происходят в системе, предоставленной 
самой себе после того, как ей был сообщён толчок либо она 
была выведена из положения равновесия. Примером могут 
служить колебания шарика, подвешенного на нити.

Вынужденными называются такие колебания, в про
цессе которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодически изменяющейся силы. Примером могут служить колебания моста, возникающие при 
прохождении по нему людей, шагающих в ногу.

Автоколебания, как и вынужденные колебания, сопро
вождаются воздействием на колеблющуюся систему внешних сил, однако моменты времени, когда осуществляются 

эти воздействия, задаются самой колеблющейся системой – 
система сама управляет внешним воздействием. Примером 
автоколебательной системы являются часы, в которых маятник получает толчки за счёт энергии поднятой гири или 
закрученной пружины, причём эти толчки происходят в моменты прохождения маятника через среднее положение.

При параметрических колебаниях за счёт внешнего воз
действия происходит периодическое изменение какого-либо 
параметра системы, например, длины нити, к которой подвешен шарик, совершающий колебания.

1.2. Гармонические колебания

Простейшими являются гармонические колебания, т. е. 

такие, при которых колеблющаяся величина изменяется со 
временем по закону синуса или косинуса. Этот вид колебаний особенно важен по двум причинам: во-первых, колебания в природе и в технике часто имеют характер, 
очень близкий к гармоническим, 
и во-вторых, периодические процессы иной формы могут быть представлены как наложение нескольких 
гармонических колебаний.

Начнём с рассмотрения механи
ческих гармонических колебаний. 
В качестве примера рассмотрим систему, состоящую из шарика массой 
т, подвешенного на пружине, массой которой можно пренебречь по сравнению с т (рис. 1.1). В положении равновесия 
сила mg уравновешивается силой k ⋅ ∆0 :

mg
k
=
⋅ ∆0   
(1.1)

(Δ0 – удлинение пружины).

Рис. 1.1

Будем характеризовать смещение шарика из положе
ния равновесия координатой х, причём ось х направим по 
вертикали вниз, а нуль оси совместим с положением равновесия шарика. Если сместить шарик в положение, характеризуемое координатой х, то удлинение пружины станет равным ∆0 + x  и проекция результирующей силы на 
ось х примет значение F
mg
k
x
=
−
+
(
)
∆0
. Учтя (1.1), полу
чим, что

F
k x
= −
.  
(1.2)

Таким образом, в рассмотренном примере результиру
ющая силы тяжести и упругой силы имеет характер квазиупругой силы.

Сообщим шарику смещение x
a
=
, после чего предо
ставим систему самой себе. Под действием квазиупругой 
силы шарик будет двигаться к положению равновесия с всё 

возрастающей скоростью v
dx
dt
=
. При этом потенциальная 

энергия системы E
k x

p =

2

2 , будет убывать, но зато появит
ся всё возрастающая кинетическая энергия E
mv
=

2

2 . При
дя в положение равновесия, шарик продолжает двигаться 
по инерции. Это движение будет замедленным и прекратится тогда, когда кинетическая энергия полностью превратится в потенциальную энергию, т. е. смещение шарика 
станет равным а. Затем такой же процесс будет протекать 
при движении шарика в обратном направлении. Если трение в системе отсутствует, энергия системы должна сохраняться, и шарик будет двигаться в пределах от x
a
=
 до 

x
a
= −  неограниченно долго.

Чтобы определить характер движения, запишем для ша
рика второй закон Ньютона:

m d x

dt

k x

2

2 = −
.  
(1.3)

Введя обозначение

ω0
2 = k

m ,  
(1.4)

преобразуем уравнение (1.3) следующим образом:

d x
dt

x

2

2
0
2
0
+
=
ω
.  
(1.5)

Общее решение этого уравнения имеет вид:

x
a
t
=
⋅
+
(
)
cos ω
α
0
  
(1.6)

где a  и α  – произвольные постоянные.

Итак, смещение х изменяется со временем по закону ко
синуса. Следовательно, движение системы, находящейся 
под действием силы вида F
k x
= −
, представляет собой гар
моническое колебание.

График гармонического колебания, т. е. график функции 

(1.6), показан на рис. 1.2.

По горизонтальной оси отложено время t, по вертикаль
ной оси – смещение х. Поскольку 
косинус изменяется в пределах 
от −1 до +1, значения x  лежат 
в пределах от −a  до +a .

Величина наибольшего от
клонения системы от положения 
равновесия называется амплитудой колебания. Амплитуда a  – 
постоянная положительная ве
Рис. 1.2

личина. Её значение определяется величиной первоначального отклонения.

Величина ω
α
0t +
(
), стоящая под знаком косинуса, назы
вается фазой колебания. Постоянная α  представляет собой 
значение фазы в момент времени t = 0  и называется начальной фазой колебания. С изменением начала отсчёта времени 
изменяется и α . Следовательно, значение начальной фазы 
определяется выбором начала отсчёта времени. Так как значение x  не изменяется при добавлении или вычитании из 
фазы целого числа, всегда можно добиться того, чтобы начальная фаза была по модулю меньше π. Поэтому обычно 
рассматриваются только значения α , лежащие в пределах 
от −π  до +π .

Поскольку косинус – периодическая функция с перио
дом 2π, различные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через такой промежуток 
времени Т, за который фаза колебания получает приращение, равное 2π (см. рис. 1.2). Этот промежуток времени Т 
называется периодом колебания. Он может быть определён 
из следующего условия:

ω
α
ω
α
π
0
0
2
t
T
t
+
(
) +
=
+
(
) +
, откуда

T = 2

0

π
ω .  
(1.7)

Число колебаний в единицу времени называется часто
той колебания ν . Очевидно, что частота связана с периодом 
соотношением

ν = 1

T .  
(1.8)

За единицу частоты принята частота такого колебания, пе
риод которого равен 1с. Эту единицу называют герцем (Гц). 
Частота в 103Ãö  называется килогерцем (кГц), в 106Ãö – мегагерцем (МГц) и т. д.

Из (1.7) следует, что

ω
π

0
2
= T .  
(1.9)

Таким образом, ω0  определяет число колебаний за 2π се
кунд. Величину ω0  называют круговой, или циклической, 
частотой. Она связана с обычной частотой ν  соотношением

ω
πν
0
2
=
.

Найдём скорость и ускорение шарика.
Продифференцировав (1.6) по времени, получим выра
жение для скорости:

v
dx
dt
a
t
a
t
=
= −
⋅
+
(
) =
⋅
+
+
ω
ω
α
ω
ω
α
π

0
0
0
0
2
sin
cos
.  (1.10)

Как видно из (1.10), скорость также изменяется по гармо
ническому закону, причём амплитуда скорости равна aω0 . Из 
сравнения (1.6) и (1.10) следует, что скорость опережает смещение по фазе на π/2. Продифференцировав ещё раз по времени, найдём выражение для ускорения x :

x
dv
dt
a
t
a
t

•
=
= −
⋅
+
(
) =
⋅
+
+
(
)
ω
ω
α
ω
ω
α
π
0
2
0
0
2
0
cos
cos
  (1.11)

Как следует из (1.11), ускорение и смещение находятся 

в противофазе. На рис. 1.3 сопоставлены графики для смещения, скорости и ускорения.

Каждое конкретное колебание характеризуется опреде
лёнными значениями амплитуды a  и начальной фазы α . 
Значения этих величин для данного колебания могут быть 
определены из так называемых начальных условий, т. е. по 
значениям отклонения x0  и v0  в начальный момент времени. Действительно, положив в (1.6) и (1.10) t = 0 , получим 
два уравнения:

x
a
v
a
0
0
0
=
⋅
= −
⋅
cos ,
sin ,
α
ω
α

Рис. 1.3

из которых следует, что

a
x
v
=
+ 0
2
0
2

0
2
ω
,  
(1.12)

tgα
ω
= − v
x

0

0
0

. 
 (1.13)

Уравнение (1.13) удовлетворяется двумя значениями α , 

лежащими в интервале от −π  до +π . Из этих значений нужно взять то, при котором получаются правильные знаки 
у косинуса и синуса.

Квазиупругая сила является консервативной. Поэтому 

полная энергия гармонического колебания должна оставаться постоянной. В процессе колебаний, как уже отмечено, происходит превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно, причём в моменты наибольшего 
отклонения от положения равновесия полная энергия E  со