Геометрия и графика, 2015, №1

Г Е О М Е Т Р И Я
И  Г Р А Ф И К А

Т О М  3  •  В Ы П У С К  1  •  2 015

G E O M E T R Y  &  G R A P H I C S

Н А У Ч Н О - М Е Т О Д И Ч Е С К И Й  
Ж У Р Н А Л  
 
 
 
 
 
W W W . N A U K A R U . R U

I S S N  2 3 0 8 - 4 8 9 8

Г Е О М Е Т Р И Я  И  Г РА Ф И К А

Свидетельство о регистрации  
средства массовой информации 
от 4 июля 2012 г. ПИ № ФС77-50523

Издатель:  
ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М» 
127282, Москва, ул. Полярная,  
д. 31В, стр. 1 
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86 (доб. 501)  
Факс: (495) 280-36-29
E-mail: books@infra-m.ru
http://www.infra-m.ru

Главный редактор: 
Сальков Н.А., канд. техн. наук,  
профессор МГАХИ им. В.И. Сурикова

Выпускающий редактор:  
Путкова А.В.

Отдел подписки:  
Назарова М.В. 
Тел.: (495) 280-15-96, доб. 249 
e-mail: podpiska@infra-m.ru

© ИНФРА-М, 2015

Подписано в печать 10.03.2015.  
Формат 60x90/8. Бумага офсетная. 
Тираж 1000 экз. Заказ № 

САЙТ: www.naukaru.ru  
E-mail: mag4@naukaru.ru

СОДЕРЖАНИЕ

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ

Волков В.Я., Юрков В.Ю., Панчук К.Л., 
Кайгородцева Н.В.
Элементы математизации теоретических основ 
начертательной геометрии  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

Сальков Н.А. 
Свойства циклид Дюпена и их применение. 
Часть 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

МЕТОДИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ 
ПРЕПОДАВАНИЯ

Иванов Г.С., Дмитриева И.М.
К выбору посредника при решении первой 
позиционной задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

Хейфец А.Л., Васильева В.Н.
Курс компьютерной графики для студентов 
строительных специальностей  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

Соколова Л.С.
Многомерное пространство и наглядная геометрия 
в учебной программе по геометрической 
подготовке для бакалавриата . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

Петухова А.В.
Инженерно-графическая подготовка студентов 
строительных специальностей с использованием 
современных программных комплексов  . . . . . . . . . . . . .47

Тен М.Г.
Формирование профессиональных компетенций 
студентов технических специальностей в процессе 
графической подготовки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59

2015. Том 3. Вып. 1
Научно-методический журнал

Выходит 4 раза в год

Издается при поддержке:
Московского государственного универси- 
тета тонких химических технологий (МИТХТ)  
им. М.В. Ломоносова, Московского государственного академического художественного  
института (МГАХИ) им. В.И. Сурикова, Омского 
государственного технического университета 
(ОмГТУ), Московского государственного университета геодезии и картографии (МИИГАиК)

2015. Vol. 3. Issue 1
Scientific and methodological journal

Подписной индекс агентства «Роспечать» 25181

GEOMETRY & GRAPHICS

ISSN 2308-4898

DOI 10.12737/issn.2308-4898

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ 

Бородкин Николай Николаевич, д-р техн. наук, профессор.
Тульский государственный университет, Тула (Россия).
Tula State University, Tula (Russia).

Виноградов Виктор Никонович, д-р пед. наук, профессор, 

кавалер ордена и медали Франциска Скорины.
Витебский государственный университет имени  
П.М. Машерова (Беларусь).
Masherov Vitebsk State University, Vitebsk (Belarus).

Волков Владимир Яковлевич, д-р техн. наук, профессор.

Сибирская государственная автомобильно-дорожная 
академия, Омск (Россия).
Siberian State Automobile and Highway Academy, Omsk 
(Russia).

Волошинов Денис Вячеславович, д-р техн. наук, профессор.
Санкт-Петербургский государственный университет 
телекоммуникаций, Санкт-Петербург (Россия).
Saint-Petersburg State University of Telecommunications, 
St. Petersburg (Russia).

Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, 
доцент.
Московский государственный университет тонких химических технологий имени М.В. Ломоносова, Москва 
(Россия).
Lomonosov Moscow State University of Fine Chemical 
Technologies,  Moscow (Russia).

Hirsch Anton, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, 
University of Kassel, Kassel (Germany).

Дворецкий Александр Тимофеевич, д-р техн. наук, профессор.
Академия строительства и архитектуры ФГАОУ ВО «КФУ 
им. В.И. Вернадского», Симферополь (Россия).
Crimean Academy for Environmental and Resort Construction, 
Simferopol (Россия).

Иванов Геннадий Сергеевич, д-р техн. наук, профессор.

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).

Ищенко Анатолий Александрович, д-р хим. наук, профессор. 
Московский государственный университет тонких химических технологий имени М.В. Ломоносова, Москва 
(Россия).
Lomonosov Moscow State University of Fine Chemical 
Technologies,  Moscow (Russia).

Лепаров Михаил Николаевич, канд. техн. наук, профессор.
Софийский технический университет, София (Болгария).
Technical University of Sofia, Sofia (Bulgaria).

Manevich Michael, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, 
Lev Institute-JCT, Jerusalem (Israel).
    Ariel University, Science Park, Ariel (Israel).

Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор.
Московский государственный университет геодезии и 
картографии, Москва (Россия).
Moscow State University of Geodesy and Cartography, 
Moscow (Russia).

Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор.

Московский государственный академический художественный институт имени В.И. Сурикова, Москва (Россия).
Surikov Moscow State Academic Art Institute, Moscow, 
(Russia).

Schröcker Hans-Peter, Ph.D., Associate Professor, University 
Innsbruck, Innsbruck (Austria).

Stachel Hellmuth, D., Professor, Vienna University of Tehnology, 
Vienna (Austria).

Присланные рукописи не возвращаются.

Точка зрения редакции может не совпадать с мнением авторов 
публикуемых материалов.

Редакция оставляет за собой право самостоятельно подбирать к 
авторским материалам иллюстрации, менять заголовки, сокращать 
тексты и вносить в рукописи необходимую стилистическую правку 
без согласования с авторами. Поступившие в редакцию материалы 
будут свидетельствовать о согласии авторов принять требования 
редакции.

Перепечатка материалов допускается с письменного разрешения 
редакции.

При цитировании ссылка на журнал «Геометрия и графика» обязательна.

Редакция не несет ответственности за содержание рекламных материалов.

КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА

Маркин Л.В.
О путях создания геометрических моделей 
автоматизированной компоновки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64

ИСТОРИЯ НАУКИ И ТЕХНИКИ. 
БИОГРАФИИ

Фаббрини Микеланджело Фабио
Код инженерно-строительных чертежей 
в XIX веке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70

Информация для авторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74

Столбова Ирина Дмитриевна, д-р техн. наук, профессор.

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь (Россия).
Perm National Research Polytechnic University, Perm (Russia).

Щеглов Георгий Александрович, д-р техн. наук, профессор.

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).

Weiss Günter,  Professor, Vienna University of Tehnology,  Vienna 
(Austria).

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 

Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор. 
Московский государственный академический художественный институт имени В.И. Сурикова, Москва (Россия), 
гл. редактор.

Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, 
доцент. Московский государственный университет тонких химических технологий имени М.В. Ломоносова, 
Москва (Россия), зам. гл. редактора.

Кадыкова Нина Серафимовна, канд. техн. наук, доцент. 
Московский государственный университет тонких химических технологий имени М.В. Ломоносова, Москва 
(Россия), ответственный секретарь.

Кайгородцева Наталья Викторовна, канд. пед. наук, доцент. 

Омский государственный технический университет, Омск 
(Россия).

Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор. 
Московский государственный университет геодезии и 
картографии (Россия).

GEOMETRY & GRAPHICS (2015). Vol. 3. Iss. 1. 3–15
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2015

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ

УДК 514.18                                           DOI: 10.12737/10453

В.Я. Волков
Д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой,
Сибирская автомобильно-дорожная академия, 
Россия, 644080, г. Омск, пр. Мира, д. 5
В.Ю. Юрков
Д-р техн. наук, профессор,
Омский государственный педагогический университет,
Россия, 644043, г. Омск, наб. Тухачевского, 14
К.Л. Панчук
Д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой,
Омский государственный технический университет,
Россия, 644050, г. Омск, пр. Мира, д. 11
Н.В. Кайгородцева
Канд. пед. наук, доцент,
Омский государственный технический университет,
Россия, 644050, г. Омск, пр. Мира, д. 11

Элементы математизации 
теоретических основ 
начертательной геометрии 

Аннотация. Активное развитие техники и технологий справедливо вызывает необходимость реформирования высшего 
образования. Если раньше было достаточно единожды разработать курс лекций и читать его в течение всей своей трудовой деятельности, то сейчас, в период быстро меняющейся 
действительности, необходимо перестраивать учебные планы, 
ориентируясь на достижения современной науки и появляющихся технологий. Уже нельзя учить завтрашних инженеров 
вчерашним положениям и прежними методами. Сегодня для 
инженера важно приобретение современных профессиональных 
компетенций со способностью самостоятельного развития 
требуемых навыков и при необходимости переключаться на 
востребованные виды деятельности. Поэтому современное 
инженерно-техническое образование должно, во-первых, быть 
адекватным современной научно-технической реальности, 
во-вторых, строиться на современных научных основах и 
положениях и не «тормозиться» классическим содержанием 
и традиционными методиками. Классическая начертательная 
геометрия, которая в свое время оказала большое влияние на 
развитие производства и промышленности сначала Франции, 
а затем и всего мира, сегодня, в информационно-цифровой 
век, должна обновиться, обогатиться научными разработками 
современных ученых-геометров и тем самым стать востребованной учебной дисциплиной. 
Статья посвящена развитию начертательной геометрии 
в направлении уже существующих в ней фундаментальных 
математических идей – множеств, отношений, алгебраических 
операций; понятий – фигуры, условия; анализа логических основ. 
Предложено развитие элементарной и высшей начертательной 
геометрии, объединяющей известные факты, методы и алгоритмы и приводящей их в систему на базе общих математических 
и логических идей. С этой точки зрения рассматриваются три 
раздела начертательной геометрии: поиск линейных объектов 
на основе анализа условий, конструирование поверхностей, 
решение позиционных задач.
Ключевые слова: размерность, анализ и синтез геометрических задач, конструирование поверхностей, оптимизация, 
фактор-множество.

V.Ya. Volkov 
Doctor of Engineering, Professor, Head the Department,
Siberian State Automobile and Highway Academy, 
5, Mira avenue, Omsk, 644080, Russia
V.Yu. Yurkov 
Doctor of Engineering, Professor,
Omsk State Pedagogical University,
11, Mira avenue, Omsk, 644050, Russia
K.L. Panchuk
Doctor of Engineering, Professor, Head the Department, 
Omsk State Technical University,
11, Mira avenue, Omsk, 644050, Russia
N.V. Kaygorodtseva
Ph.D. of Pedagogу, Associate Professor,
Omsk State Technical University,
11, Mira avenue, Omsk, 644050, Russia

Matematization Elements of Theoretical 
Fundamentals of Descriptive Geometry

Abstract. Active development of engineering and technology 
rightly necessitates reform of higher education. If before teacher 
was enough to make a course of lectures and read it throughout his 
labor activity, but now, in a time of rapid change reality necessary 
periodically rebuild the curriculum, focusing on the achievements 
of modern science and emerging technologies. Impossible further 
to teach tomorrow's to engineers yesterday's the provisions and 
former methods. Today for engineer it is important the acquisition 
of modern professional competencies with the ability to self-develop the skills required and if necessary, switch to popular types of 
activities. Therefore, modern engineering and technical education 
must firstly be adequate to modern scientific and technological 
reality, and secondly is based on modern scientific basis and regulations and not "braked" with classic content and with traditional 
techniques. Classical descriptive geometry, which in its time had 
an active influence on the development of production and industry 
initially in France and then throughout the world, today in the 
digital age of information must be updated, to enrich scientific 
achievements of modern scientists geometry and thereby become 
a popular academic discipline.
Article is devoted to development of descriptive geometry in 
the direction of the fundamental mathematical ideas – sets, relations, algebraic operations; concepts – figures, conditions; analysis of the logical foundations. The authors suggested the development 
of elementary and higher descriptive geometry, uniting the known 
facts, methods and algorithms and leading them into a system based 
on common mathematical and logical ideas. From this perspective, 
we consider three section of descriptive geometry:  search for linear 
objects based on the analysis of conditions, designing of surfaces, 
solution of position tasks.
Keywords: dimensionality, analysis and synthesis of geometric 
problems, designing of surfaces, optimization, quotient set.

Первая составляющая существующей научной 
дисциплины «Инженерная геометрия и компьютерная графика», по которой происходит подготовка 
кадров высшей квалификации для кафедр геометрографической подготовки, а именно «Инженерная 
геометрия», есть прикладная математическая наука. 

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2015
GEOMETRY & GRAPHICS (2015). Vol. 3. Iss. 1. 3-15

Она состоит из теоретических основ, совокупности 
специальных методов и алгоритмизированных приёмов решения инженерных задач. Теоретические 
основы современной инженерной геометрии составляют: начертательная геометрия; линейная алгебра; 
математический анализ; аналитическая, дифференциальная, интегральная и вычислительная геометрии; 
основные понятия и некоторые разделы теории множеств и алгебраической геометрии [3; 6; 11; 13]. 
В этой связи начертательную геометрию, по нашему мнению, следует рассматривать как раздел 
математики, исследующий теорию и методы конструктивного отображения пространств различной 
размерности и структуры друг на друга. Развитие 
теории и методов начертательной геометрии как 
раздела математики возможно в двух направлениях: 
развитие элементарной начертательной геометрии, 
включающей в себя те разделы, которые в настоящее 
время принято относить к начертательной геометрии, 
и развитие высшей начертательной геометрии. Теория 
и методы элементарной начертательной геометрии, 
изучаемой в вузах, – это проекция теории и методов 
высшей начертательной геометрии на уровень вузовского обучения. Отсюда следуют два очевидных 
вывода:
1) необходимо развивать теорию и методы высшей 
начертательной геометрии на математической основе с использованием инструментария соответствующих разделов высшей математики и геометрии 
[5; 8];

2) теория и методы элементарной начертательной 
геометрии должны иметь доказательную математическую базу.
В настоящий момент ведется активная работа по 
изысканию адекватных современному уровню развития техники и технологий содержания и методик 
обучения курсу геометро-графических дисциплин 
[1; 4–6; 10; 12].
В свете сказанного в учебный курс начертательной 
геометрии нами предлагается ввести параметризацию 
геометрических объектов и формулы для определения 
размерности геометрических условий: инцидентности, параллельности и перпендикулярности [2; 7]. 
Формулы выведены для многомерного пространства, 
но их можно использовать для объяснений теоретических положений трехмерного евклидова пространства.
Параметризация геометрических объектов и подсчет размерности геометрических условий позволяют студентам, в случае отсутствия или недостаточного развития пространственного мышления, применять при анализе условий геометрических задач 
логическое мышление, которое у студентов активно 
развивается школьными методиками в школе [3].
Так, прежде чем решить задачу, рекомендуется 
проверить, корректно ли она сформулирована. Для 
этого нужно подсчитать размерность множества искомых геометрических объектов и размерность заданного множества геометрических условий. Равенство 
их размерностей определяет необходимое условие 

существования решения задачи. Использование символического исчисления позволяет определить, совместны ли геометрические условия, что соответствует достаточному условию для существования решения задачи. Далее определяется число решений и 
оптимальный алгоритм решения. Рассмотрим пример.
Задача 1. Даны точка S (рис. 1) и горизонтальнопроецирующая плоскость (∆ABC). Через точку провести прямые, наклоненные к горизонтальной плоскости проекций под углом 60° и параллельные заданной плоскости (∆ABC).

Предварительно проверим необходимое условие 

решения задачи.
1. Искомым объектом задачи является множество прямых. Размерность множества прямых пространства Е3 [3]: D3
1
3 1 1 1
4
=
−
(
)
+
(
) =
.
2. Суммарная размерность условий задачи также 
должна быть равна четырем.
В задаче заданы три условия:

• условие У1 – прохождение искомого множества 
прямых через заданную точку S: e3 0
1 0
,
, . Размерность 

данного условия равна: Q
e
об
3 0
1 0
2
,
,
.
(
) =

• условие У2 – наклоненность к плоскости П1 под 
заданным углом 60°: 2 3 1
1 0
e ,
, .

Размерность этого условия равна Q
e
об 2
1
3 1
1 0
,
,
.
(
)=
 
– условие У3 – параллельность прямой заданной 
плоскости (∆ABC): e3 1
1 0
,
, . Размерность данного условия 

равна: Q
e
об 3 1
1 0
1
,
,
.
(
) =

Суммарная размерность заданных в задаче условий равна: 2 + 1 + 1 = 4.
3. Размерность множества искомых объектов равна суммарной размерности условий задачи, следовательно, задача сформулирована корректно. 
Далее проводим анализ достаточности условия 
для решения задачи.
1. Для проверки условий задачи на критерий совместности рассмотрим произведение заданных условий и проведем их редукцию по определенным 
правилам [1; 3]: e
e
e
e
e
e
3 0
1 0
3 1
1 0
3 1
1 0
2 0
1 0
3 1
1 0
1 0
1 0
2
2
2
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
, .
⋅
⋅
=
⋅
=
Из 

редукции произведения условий следует, что условия 
задачи совместны и задача имеет решение.
2. В результате процесса редукции получили 2 1 0
1 0
e ,
, , 
что является символьно-кодовым представлением 
двух прямых, т.е. ответом задачи будут две прямые.

Рис. 1. Условия задачи

GEOMETRY & GRAPHICS (2015). Vol. 3. Iss. 1. 3–15
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2015

После проведенного анализа можно выполнить 
поиск возможных алгоритмов решения задачи путем 
перебора различных последовательностей их выполнения.

Первый алгоритм: (У1 × У2) × У3.
В соответствии с этим алгоритмом первым действием следует выполнить произведение условий  
(У1 × У2): e
e
e
3 0
1 0
3 1
1 0
2 0
1 0
2
2
,
,
,
,
,
,
⋅
=
, что означает построение 
множества прямых, проходящих через точку S и 
наклоненных к плоскости П1 под углом 60°. Данное 
множество прямых представляет собой коническую 
поверхность вращения с вершиной S и углом наклона образующих к основанию в 60° (рис. 2).
Второе действие: 2
2
2 0
1 0
3 1
1 0
1 0
1 0
e
e
e
,
,
,
,
,
,
⋅
=
– нахождение 
двух прямых a и b, являющихся линией пересечения 
построенной конической поверхности с заданной 
плоскостью.

Третий алгоритм: (У2 × У3) × У1.
Первым этапом выполнения алгоритма будет  
(У2 × У3): 2
2
2
3 1
1 0
3 1
1 0
3 1
1 0 2

3 0
1 0
2 1
1 0
e
e
e
e
e
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
⋅
= (
) =
+
(
)
. Получаем 

множество, представляющее собой связку прямых и 
плоское поле прямых, взятые дважды. Второй этап 
реализуется через вычисления: 2
3 0
1 0
2 1
1 0
3 0
1 0
e
e
e
,
,
,
,
,
,
+
(
)⋅
=

= (
) +
⋅
=
2
2
3 0
1 0 2

2 1
1 0
3 0
1 0
1 0
1 0
e
e
e
e
,
,
,
,
,
,
,
, . Получаем две прямые, вы
бранные из множества, построенного на предыдущем 
этапе, на основе удовлетворения условию прохождения через заданную точку S. При этом условия e2 1
1 0
,
,  
(поле прямых) и e3 0
1 0
,
,  (связка прямых) несовместны 
в случае непрохождения плоскости поля прямых 
через центр связки. Поэтому в процессе выполнения 
редукции мы пренебрегли произведением этих условий (рис. 4). 

Рис. 2. Решение задачи по первому алгоритму

Второй алгоритм: (У1 × У3) × У2.
Первым действием следует выполнить произведение условий (У1 × У3): e
e
e
3 0
1 0
3 1
1 0
2 0
1 0
,
,
,
,
,
,
⋅
=
, которое определяет пучок прямых – плоскость, проходящую через точку, параллельную заданной плоскости. Второе 
действие предполагает выполнение произведения 
условий: e
e
e
e
e
2 0
1 0
3 1
1 0
2 0
1 0
3 1
1 0
1 0
1 0
2
2
2
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
⋅
=
⋅
=
. Результат данного действия указывает на две прямые, выбранные 
из построенного пучка прямых. Это будут прямые 
a и b, наклоненные к плоскости П1 под углом 60° 
(рис. 3). 

Рис. 3. Решение задачи по второму алгоритму

После проведенного анализа и составления возможных алгоритмов решений делается вывод о том, 
что для решения данной задачи оптимальным алгоритмом решения будет первый алгоритм, так как 
во вторых двух требуется построить множество 
прямых – пучок прямых либо две связки прямых 
и два плоских поля прямых, что физически невозможно выполнить в полном объеме и поэтому 
нецелесообразно.
В приведенном выше примере комплексные чертежи с решениями предложенной задачи выполнены 
для иллюстрации возможных алгоритмов. В учебном 
процессе совершенно не обязательно реализовывать 
все возможные алгоритмы. Достаточно выполнить 
построение решения по выбранному оптимальному 
алгоритму.
Большое значение в курсе начертательной геометрии имеет алгоритмизация синтеза задач. Так, например, по геометрическим условиям:
1) прямая проходит через точку; 
2) прямая параллельна прямой;
3) прямая отстоит от прямой на данное расстояние
можно составить следующие корректные задачи с 
совместными условиями, в которых требуется найти 
множество прямых евклидова пространства.
Задача 2. Построить прямую, проходящую через 
точки А и В.
Выполним проверку на корректность и совместность условий: 

Рис. 4. Решение задачи по третьему алгоритму

1) искомым объектом задачи является множество 
прямых. Размерность множества прямых пространства Е3: D3
1
3 1 1 1
4
=
−
(
)
+
(
) =
;
2) суммарная размерность условий задачи также 
должна быть равна четырем.
В задаче заданы два одинаковых условия:

• условие У1 – прохождение искомого множества 
прямых через заданную точку А: e3 0
1 0
,
, . Размерность 
данного условия равна:

Q
e
об
3 0
1 0
2
,
,
(
) =
;

• условие У2 – прохождение искомого множества 
прямых через заданную точку В: e3 0
1 0
,
, . Размерность 
данного условия равна: 

Q
e
об
3 0
1 0
2
,
,
.
(
) =

Суммарная размерность заданных в задаче условий равна: 2 + 2 = 4;
3) размерность искомого объекта равна суммарной 
размерности условий задачи, следовательно, задача 
сформулирована корректно, заданных условий достаточно для ее решения.
4) проверка условий задачи на критерий совместности: e
e
e
3 0
1 0
3 0
1 0
1 0
1 0
,
,
,
,
,
,
⋅
=
. Редукция условий возможна, 
следовательно, условия задачи совместны, задача 
имеет решение и притом единственное.
Задача 3. Заданы прямая AB и точка М. Постройте 
прямую EF, проходящую через заданную точку M и 
параллельную прямой AB.
Исследование на корректность и совместность 
условий:
1) искомым объектом задачи является множество 
прямых. Размерность множества прямых пространства Е3: D3
1
3 1 1 1
4
=
−
(
)
+
(
) =
;
2) суммарная размерность условий задачи также 
должна быть равна четырем.
В задаче задано два условия:

• условие У1 – прохождение искомого множества 
прямых через заданную точку M: e3 0
1 0
,
, . Размерность 
данного условия равна: Q
e
об
3 0
1 0
2
,
,
(
) =
; 

• условие У2 – параллельность искомого множества прямых заданной прямой AB: e3 0
1 0
,
, . Размерность 
данного условия равна: Q
e
об 3 0
1 0
2
,
,
.
(
)=

Суммарная размерность заданных в задаче условий равна: 2 + 2 = 4;
3) размерность искомого объекта равна суммарной 
размерности условий задачи, следовательно, задача 
сформулирована корректно, заданных условий достаточно для ее решения;
4) проверка условий задачи на критерий совместности: e
e
e
3 0
1 0
3 1
1 0
1 0
1 0
,
,
,
,
,
,
⋅
=
. Редукция условий возможна, 
следовательно, условия задачи совместны, задача 
имеет решение и притом единственное.
Задача 4. Заданы две параллельные прямые a и b. 
Найти множество прямых, параллельных заданным 
прямым и отстоящих от прямой а на расстояние d, 
а от прямой b – на расстояние с.
Проверка на корректность и совместность условий: 
1) искомым объектом задачи является множество 
прямых. Размерность множества прямых пространства Е3: D3
1
3 1 1 1
4
=
−
(
)
+
(
) =
;

2) суммарная размерность условий задачи также 
должна быть равна четырем.
В задаче задано четыре условия, которые являются попарно повторяющимися:
– условие У1 – параллельность прямой заданной 
прямой: e3 0
1 0
,
, . Размерность данного условия равна: 

Q
e
об 3 0
1 0
2
,
,
(
)=
;

– условие У2 – искомая прямая отстоит от заданной прямой на заданное расстояние: e3 1
1 0
,
, . Размерность 
этого условия равна: Q
e
об
3 1
1 0
1
,
,
.
(
)=

Суммарная размерность заданных в задаче условий равна: 2 + 2 ⋅ 1 = 4;
3) размерность искомого объекта равна суммарной 
размерности условий задачи, следовательно, задача 
сформулирована корректно, заданных условий достаточно для ее решения;
4) проверка условий задачи на критерий совместности: 

2
2
3 0
1 0 2

3 1
1 0 2

3 0
1 0
3 1
1 0
3 0
1 0
3 1
1
⋅(
) ⋅(
) =
⋅
(
)
⋅
e
e
e
e
e
e
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,0
(
) =

=
⋅
(
) =
2
2
2 0
1 0
2 0
1 0
1 0
1 0
e
e
e
,
,
,
,
,
, . 
Редукция условий возможна, следовательно, условия задачи совместны, задача имеет решение и 
возможных ответов – два.
Аналогичный подход может быть применен к 
конструированию алгебраических поверхностей. 
Вначале определяется параметрическое число образующей, затем определяется размерность геометрических условий взаимного отношения образующих 
и направляющих, а потом, с помощью символьного 
представления геометрических условий, определяется порядок и класс конструируемой поверхности.
В качестве примера рассмотрим некоторый набор 
геометрических условий для образования поверхности:
1) пересечение плоской криволинейной образующей 
с кривой линией – направляющей;

2) касание криволинейной образующей и некоторой 
плоскости;

3) параллельность плоскости образующей некоторой 
заданной плоскости.
Комбинация данных условий позволяет конструировать циклическую поверхность с постоянным 
радиусом образующей окружности. Сделаем уточнения условий:
• для первого условия в качестве кривой выберем 
параболу, ветви которой направлены вниз; 

• в качестве плоскости второго условия – плоскость 
параболы;

• третьим одномерным условием (для образующей 
окружности суммарная размерность условий должна быть равна трем) выберем перпендикулярность 
плоскости параболы относительно горизонтальной 
плоскости OXY, которой в третьем условии отведем роль плоскости параллелизма.
Выполнение всех указанных условий позволяет 
сконструировать поверхность, представленную на рис. 
5.
Одной из задач высшей начертательной геометрии 
могла бы стать, например, задача разработки конструктивных алгоритмов образования алгебраических 
поверхностей высоких порядков. Такая задача тесно 

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2015
GEOMETRY & GRAPHICS (2015). Vol. 3. Iss. 1. 3-15

связана с проблемой формообразования, которой 
желательно уделять больше внимания. 
B5 – касание данной прямой в данной точке, dim 
B5 = 4;
B6 – касание данной кривой в данной точке, dim 
B5 = 4;
С1 – инцидентность данной точке, dim С1 = 1;
С2 – касание данной поверхности в точке, dim С2 = 1;
С3 – инцидентность данной прямой, dim С3 = 2;
С4 – касание данной линейчатой поверхности по 
образующей, dim С4 = 2;
С5 – параллельность данной плоскости, dim С5 = 2;
С6 – перпендикулярность данной плоскости, dim 
С6 = 2;
С7 – перпендикулярность данной кривой, dim С7 = 2;
С8 – соприкосновение данной кривой, dim С5 = 2;
С9 – Спрямление данной кривой, dim С5 = 2.
Необходимо учесть, что всегда C
C
1
2
3
=
 и для некоторых линейчатых поверхностей C
C
2
2
4
=
. Кроме 
того, возможно существование кратных условий B1
2,

B
B
B
B
B
B
B
1
3
1
4
1
5
2
2
2
3
2
4
2
5
,
,
,
,
,
,
.  Возможно существование 
произведений условий: В1В2, В1В3, …, С1С2, …
Для описания множества А надо выбрать конкретную кривую. Пусть такой кривой будет парабола. 
Характерными точками и прямыми параболы назовём точки и прямые, совокупность которых позволяет определить параболу однозначно. Например, 
следующие точки: 1) общая точка (ОТ) параболы;  
2) фокус; 3) вершина. Характерными прямыми параболы будут: 1) директриса; 2) ось. Тогда
А1 – ОТ принадлежит данной прямой (кривой), 
dim A1 = 1;
А2 – вершина принадлежит данной прямой (кривой), dim A2 = 2;
А3 – фокус принадлежит данной прямой (кривой), 
dim A3 = 2;
А4 – ОТ принадлежит данной точке, dim A4 = 2;
А5 – вершина принадлежит данной точке, dim A5 = 3;
А6 – фокус принадлежит данной точке, dim A6 = 3;
А7 – задана директриса, dim A7 = 4;
А8 – задана ось, dim A8 = 4.
Для задания оси и директрисы существуют свои 
множества условий.
Возможны кратные условия A
A
A
A
A
A
К ={
}
1
2
1
3
1
4
4
2
4
3
,
,
,
,
.  
Возможны произведения условий множества А (без 
доказательства): A
A A
A A
A A
П = {
}
1
2
1
3
3
7
,
,
,
.
…

Обозначим АА = {(А ∪ АК ∪ АП)/AH}, где AH – множество несовместных произведений условий;  
BB = {(B ∪ BК ∪ BП)\BH}, CC = {(C ∪ CК ∪ CП)/CH}. При 
этом 1 ≤ dim АА, i ≤ 6, 1 ≤ dim BB, j ≤ 6, dim CC, k = 2. 
Итак, если ограничиться этими условиями (можно ещё учитывать различные метрические соотношения, например, равноудалённость от данных фигур, равнонаклонённость и т.п.), то получим матрицу [АА × BB × CC] условий конструирования поверхностей, несущих однопараметрическое семейство 
парабол. При этом dim [АА × BB × CC]i, j, k = 6. Следовательно, 
среди элементов матрицы [АА × BB × CC] будут несовместные условия (нулевые элементы).
В качестве примеров предлагаем несколько задач 
на тему конструирования поверхностей, относящих
Рис. 5. Циклическая поверхность

Известным методом конструирования поверхностей высшего порядка является метод выделения 
определенного однопараметрического множества 
линий из некоторого общего их множества. Наиболее 
полно этот метод разработан для конструирования 
линейчатых поверхностей, исходным множеством 
которых являются линейчатые конгруэнции. Известны 
применения этого метода для поверхностей, несущих 
однопараметрическое множество плоских кривых 
линий. Очень мало работ, в которых поверхность 
получается как однопараметрическое множество 
пространственных кривых. Общая идея метода заключается в следующем: если размерность исходного множества линий равна определённому числу k, 
то размерность множества этих же линий на поверхности равна единице. Следовательно, чтобы образовать поверхность из данного исходного множества 
линий, необходимо: 1) уменьшить размерность этого множества при помощи множества условий, суммарная размерность которых на единицу меньше 
размерности исходного множества; 2) обеспечить 
совместность множества условий; 3) обеспечить условие существования именно поверхности, а не плоского пучка линий. 
Если ограничиться исходным множеством прямых, 
то символическую формулу конструирования линейчатых поверхностей можно записать в виде (A × B)/D, 
где А – множество условий инцидентности на прямую, 
В – множество условий касания, dim A + dim B = 3, 
D – множество несовместных условий. Для плоских кривых символическая формула примет вид 
(A × B × C)/D, где С – множество условий на плоскость 
кривой и dim A + dim B + dim C = k – 1.
Рассмотрим эти множества условий для плоских 
кривых. Начнём с множеств условий В и С. Например 
(значения размерности условий здесь и далее приводятся без доказательств):
В1 – касание данной плоскости, dim B1 = 1;
B2 – касание данной поверхности, dim B2 = 1;
B3 – касание данной прямой, dim B3 = 3;
B4 – касание данной кривой, dim B2 = 3;

GEOMETRY & GRAPHICS (2015). Vol. 3. Iss. 1. 3–15
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2015

ся к простейшим задачам высшей начертательной 
геометрии.
1. Построить теоретический чертёж и вывести 
уравнение поверхности, несущей семейство парабол, 
по следующим условиям:
• плоскостью параллелизма является горизонтальная плоскость;

• вершины парабол лежат на оси аппликат;
• направляющими являются прямые: 
x = a, z = 2y, y ≥ 0; x = a, z = – 2y, y ≤ 0; 0 ≤ z ≤ b.
2. Построить теоретический чертёж и вывести 
уравнение поверхности, несущей семейство парабол, 
по следующим условиям:
• плоскости парабол инцидентны оси ординат;
• параболы инцидентны точкам A(0, a, 0), B(0, –a, 0);
• вершины парабол инцидентны прямой x/b + z/c = 1, 
y = 0.
3. Построить теоретический чертёж и вывести 
уравнение поверхности, несущей семейство парабол, 
по следующим условиям:
• плоскостью параллелизма является горизонтальная плоскость;

• вершины парабол лежат на прямой z = kx, y = 0;
• угол между осью параболы и фронтальной плоскостью меняется по линейному закону от 90°, 
при z = 0, до 0°, при z = c;

• форма параболы постоянная: y = x2, z = 0.
В соответствии с авторской позицией относительно представления начертательной геометрии как 
раздела математики, покажем, что привнесение в нее 
известных в математике теоретико-множественных 
понятий позволяет подвести достаточно строгую 
доказательную базу под одну из основных тем начертательной геометрии: «Позиционные задачи». 
Рассмотрим основные теоретические аспекты предлагаемого подхода к рассмотрению данной темы и 
примеры соответствующих решений этих задач.
Между элементами множеств А и В пространства 
Е3 можно установить определенное отношение ∆ 
заданием некоторого условия, по которому элементу α ∈ А будет соответствовать элемент β ∈ В. Отношение 
∆ формирует пары элементов (α, β), образующих 
новое множество элементов, и называется бинарным 
отношением. Бинарное отношение ∆, заданное на 
множестве А: α1 ∆ α2, α1 ∈ А, α2 ∈ А, называется отношением эквивалентности, если для всяких элементов α1, α2, α3 множества А выполняются следующие условия:
1) рефлексивность: α ∆ α, ∀ α ∈ A – для всякого  
α ∈ А;

2) симметричность: α1 ∆ α2 ⇒ α2 ∆ α1;
3) транзитивность: (α1 ∆ α2, α2 ∆ α3) ⇒ α1 ∆ α3.
Подмножество элементов, эквивалентных элементу α, называют классом эквивалентности. Если 
на множестве А задано отношение эквивалентности 
∆, то это множество можно разбить на непересекающиеся классы эквивалентности. Множество всех 
классов заполняет исходное множество А и называется фактор-множеством множества А по отношению 
эквивалентности ∆, а разбиение множества А на 

эквивалентные классы – факторизацией этого множества. 
Приведем примеры. Параллельность является 
отношением эквивалентности во множестве прямых 
плоскости Е2 и во множестве прямых пространства 
Е3. Действительно, a a a b
b a a b b c
a c
;
;
,
.
⇒
(
)⇒

Фактор-множествами в случае плоскости Е2 и 
пространства Е3 могут быть соответственно пучок и 
связка прямых, если исключить из рассмотрения их 
центры.
Перпендикулярность во множестве прямых плоскости Е2 не является отношением эквивалентности. 
Действительно, a ⊥ a, так как ∠(
) ≠
°
a a
,
;
90
a
b
b
a
⊥
⇒
⊥ ;

a
b b
c
a
c
⊥
⊥
(
)⇒
⊥
,
,  так как следует a c
.

Рассмотрим сущность операции проецирования 
в пространстве Е3. Пусть Qn – множество, каждому 
элементу α которого соответствует набор n параметров 
(a1, a2, ..., an). Пусть, например, an = t, где t – некоторое фиксированное число. Тогда во множестве Qn 

выделяется подмножество Фn–1, каждый элемент 
которого определен набором из n – 1 параметров. 
Например, в пространстве E3 каждая точка определена тройкой чисел (x, y, z), и если z = t, то Ф2 есть 
плоскость, каждая точка которой определена набором 
из двух параметров.
Существует непрерывное однопараметрическое 
множество изменяющихся значений параметра an, 
а следовательно, и непрерывное однопараметрическое 
множество (n – 1)-мерных подмножеств, каждому 
из которых соответствует определенное значение 
параметра an. При этом никакие два подмножества 
не пересекаются и объединение всех подмножеств 
есть множество Qn. Эти подмножества представляют 
собой классы эквивалентности. Два элемента a ⊂ Qn 

и b ⊂ Qn с соответствующими наборами (a1, a2, ..., an) 
и (b1, b2, …, bn) будут принадлежать некоторому подмножеству Фn–1 множества Qn, если an = bn = t, где 
t – фиксированное действительное число. Можно 
показать, что введенное таким образом условие инцидентности элементов одному (n – 1)-мерному 
подмножеству есть отношение эквивалентности,  
а само подмножество есть (n – 1)-мерный класс эквивалентности.
Если фиксируются два параметра из набора (a1, 
a2, …, an), то из множества Qn выделяется подмножество Фn–2. При непрерывном изменении значений 
этих двух параметров получаем непрерывное двухпараметрическое множество (n – 2)-мерных подмножеств – классов эквивалентности, попарно не пересекающихся и заполняющих все множество Qn. 
Например, при фиксировании двух координат y = ty, 
z = tz точки (x, y, z) пространства Е3 получаем подмножество Ф3–2 = Ф1 (прямая), а при непрерывном 
фиксировании параметров ty и tz получаем двухпараметрическое множество прямых, параллельных оси 
x, т.е. связку. Обобщая рассуждения, приходим к 
выводу, что при фиксировании m параметров из 
набора (a1, a2, …, an) множество Qn разбивается на 
m-параметрическое множество классов, в каждом 
из которых содержится (n – m)-параметрическое 

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2015
GEOMETRY & GRAPHICS (2015). Vol. 3. Iss. 1. 3-15

множество элементов. Имеет место тождество  
m + (n – m) = n. Введя обозначения (n – m) = l, 
приходим к следующей условной записи разбиения 
множества Qn на классы эквивалентности: Qn = Фm(1), 
m + l = n , где Фm(1) – фактор-множество размерности 
m, состоящее из классов эквивалентности ϕl, каждый 
из которых представляет собой l-параметрическое 
множество элементов. Таким образом, можно записать: Qn
m
l

m
=
=
Φ
( )
.
1
ϕ
∪
 Основываясь на сказанном, 

рассмотрим сущность операции проецирования в 
пространстве En. Между множествами X и Y пространства En можно установить различные соответствия, если сопоставлять с элементом x ∈ X один или 
несколько элементов y ∈ Y . Сопоставление элементов может быть выполнено конструктивно. Для этого необходимо выполнить разбиение пространства 
En на классы эквивалентности: Qn
m
l

m

=
=
Φ
( )
1
ϕ
∪
, 

m + l = n и отнести образ y и прообраз x к одному 
классу эквивалентности ϕl, который назовем проецирующим классом. При выборе способа проецирования, т.е. разбиения пространства En на проецирующие классы, необходимо учитывать следующее:
1) через каждый элемент должен проходить один 
класс ϕl;

2) элементы пространства, через которые проходит множество классов ϕl, либо не существуют, либо составляют некоторое множество ψk k
k
n
,
, , ,...;
=
<
0 1 2
, 
которое исключается из операции нахождения 
соответственных элементов. Класс ψk, если он есть, 
называется центром или ядром проецирования.
Приведем примеры разбиения пространства E3 на 
проецирующие классы. Фактор-множествами пространства E3 по отношению эквивалентности, представляющем собой разбиение этого пространства на 
проецирующие классы, могут быть: E3
2 1
1

2
=
=
( )
Φ
ϕ
∪
 

– двухпараметрические множества линий и 
E3
1 2
2

1
=
=
( )
Φ
ϕ
∪
 – однопараметрические множества 

поверхностей. Рассмотрим вначале примеры проецирующих фактор-множеств 
ϕ1

2∪
. Очевидно, что 

эти фактор-множества представляют собой множества прямых или кривых линий (плоских или пространственных). К ним относятся известные в начертательной геометрии двухпараметрические множества:
1) связка прямых с собственным или несобственным 
центром – ядром проецирования. Связка прямых 
представляет собой конгруэнцию (двухпараметрическое множество) первого порядка (число 
прямых конгруэнции, проходящих через точку 
пространства) и нулевого класса (число прямых 
конгруэнции, принадлежащих плоскости пространства). Она обозначается: KГ (1,0);

2) конгруэнция прямых как множество прямых линий, пересекающих две заданные кривые линии 
a и b, называемые фокальными линиями. 

В начертательной геометрии для проецирования 
часто используют конгруэнции прямых, фокальными линиями которых являются прямые a и b. В этом 
случае образуется конгруэнция KГ (1,1). Множество 
прямых этой конгруэнции обеспечивает нелинейное 
проецирование, при этом прямые линии a и b образуют ядро проецирования. Нелинейность можно 
объяснить следующим образом. Задание прямой k 
пространства при заданных фокальных линиях a и 
b конгруэнции приводит к образованию линейчатой 
поверхности – однополостного гиперболоида (a, b, 
k). Сечение этой поверхности плоскостью проекций 
П представляет собой кривую k′ второго порядка. 
Следовательно, рассматриваемое отображение пространства П3 на плоскость является квадратичным. 
Оно обеспечивается двухпараметрическим множеством классов эквивалентности – проецирующими 
линиями конгруэнции с исключенным ядром проецирования – фокальными линиями a и b.
Рассмотрим примеры применения в качестве проецирующего фактор-множества  Φ2 1
1

2

( ) =
ϕ
∪
 двух
параметрические множества кривых линий.
1. Конгруэнция окружностей с плоскостью параллелизма. Она представляет собой двухпараметрическое 
множество окружностей в пучке параллельных плоскостей и с центрами окружностей на некоторой 
линии a, которая, в частности, может быть прямой. 
Каждой плоскости Σ этого пучка принадлежит пучок 
концентрических окружностей с центром a ∩ Σ. Если 
плоскости пучка перпендикулярны линии a, то конгруэнция окружностей называется нормальной. Линия 
a – линия центров окружностей – исключена из 
проецирования. Использование конгруэнции окружностей в качестве проецирующего фактор-множества приводит к нелинейному проецированию. Если  
a – прямая линия, то прямая b пространства отображается проецированием на плоскость проекций в 
кривую второго порядка, поскольку является сечением однополостного гиперболоида вращения (a, b) 
с осью вращения a.
2. Винтовая конгруэнция может представлять собой 
двухпараметрическое множество соосных цилиндрических винтовых линий постоянного винтового шага 
h и одного направления. Винтовой проекцией прямой 
линии b пространства на плоскость проекций будет 
кривая линия, представляющая собой сечение геликоида (a, b, h) плоскостью проекций. Линия a – ось 
винтовой конгруэнции – исключена из проецирования.
3. Нормальная конгруэнция. Представляет собой 
двухпараметрическое множество нормалей некоторой 
поверхности Σ. Отображение объектов пространства 
E3 может быть выполнено как на саму поверхность 
Σ (поверхность проекций), так и на плоскость пространства (плоскость проекций). Очевидно, отображение пространства нормальной конгруэнцией также будет нелинейным.
В качестве проецирующего фактор-множества 

E3
1 2
2

1
=
=
( )
Φ
ϕ
∪
могут быть использованы: пучок 

GEOMETRY & GRAPHICS (2015). Vol. 3. Iss. 1. 3–15
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2015

плоскостей с собственной или несобственной осью, 
пучок сфер – концентрических или эксцентрических 
(если координаты центра и радиус сферы зависимы), 
пучок соосных цилиндрических поверхностей вращения, пучок соосных круговых конических поверхностей с общей или разными вершинами и другие 
множества поверхностей.
Рассмотрим обоснование алгоритмов конструктивного определения множества пересечения. В геометрии известна формула вычисления размерности 
для множества пересечения двух множеств Xm и Yq 

(линейных и нелинейных) размерности m и q в пространстве их расположения (операционном пространстве), которое имеет размерность n: p = m + q – n.
Из формулы следует, что в пространстве Е3 две 
поверхности (m = 2, q = 2), или две плоскости, или 
поверхность и плоскость пересекаются по линии  
(p = 1); поверхность (или плоскость) пересекается с 
линией (прямой или кривой) в точке, поскольку  
p = 2 + 1 – 3 = 0, или в конечном числе точек. Две 
произвольные линии в пространстве Е3 не пересекаются, так как p = 1 + 1 – 3 = –1. Например, две 
скрещивающиеся прямые не имеют пересечения.  
В пространстве Е3 множество пересечения двух поверхностей может содержать как действительные, 
так и мнимые точки. Таким образом, если p < 0, то 
Xm ∩ Yq  = ∅ и множества Xm и Yq  не пересекаются. 
Если p = a, то это значит, что множество пересечения 
Xm и Yq состоит из одного элемента размерности a 
или конечного числа таких элементов.
Рассмотрим пересечение двух множеств Xm и Yq в 
пространстве Е3. Учитывая ограничение m + q ≥ n, 
накладываемое на размерности пересекающихся 
множеств, для пространства Е3 могут иметь место 
следующие случаи:
1) m = q = 2, откуда следует p = 1, что указывает на 
то, что множество Zp есть линия либо конечное 
число линий;

2) m = 1, q = 2, откуда следует p = 0, т.е. множество 
Zp состоит из одной или конечного числа точек.
Рассмотрим первый случай. Множество Z
X
Y
1
2
2
=
∩

может быть линейным, если оба множества X2 и Y2 
линейные (две плоскости); может быть нелинейным, 
если оба X2 и Y2  нелинейные (две поверхности) или 
одно из них, например X2, линейно, а другое – Y2 – 
нелинейно (поверхность). Применим для исходных 
множеств X2 и Y2  операцию разбиения на классы 
эквивалентности с целью представления каждого из 
этих множеств в виде фактор-множества по отношению эквивалентности, представляющем собой разбиение на непересекающиеся классы, определенном 
на каждом из множеств X2 и Y2 . В результате разбиений получим: 

X
Y
2
1 1
1
2
1 1
1
=
=
=
=
( )
( )
Φ
Ψ
ϕ
ψ
∪
∪
;
.

 После таких преобразований исходных множеств 

можно записать для множества пересечения: 

Z
Z
p =
=
( )
( )
( )
1 0
1 1
1 1
Φ
Ψ
∩
.

При условии взаимного пересечения классы ϕ1 и 
ψ1 образуют элемент z ∈ Z1(0), т.е. точку z0
1
1
= ϕ
ψ
∩

или конечное множество точек. Исходя из формулы 
размерности, согласно которой p = m + q – n, где  
p = k = 0, m = q = 1, получаем, что элемент 
ϕ
ψ
1
1
0
1 0
∩
=
∈
( )
z
Z
 может быть получен только при  
n = 2, т.е. при условии, что классы-линии ϕ1 и ψ1 
будут принадлежать одному двумерному множеству 
σ2 – плоскости или поверхности. Предполагая, что 
существует множество σ2, можно выполнить конструктивное определение элемента z0
1
1
= ϕ
ψ
∩
 по 

следующему алгоритму:
1. σ
ϕ
2
2
1
X
∩
=
;

2. σ
ψ
2
2
1
Y
∩
=
;

3. ϕ
ψ
1
1
0
∩
= z .

Поскольку множество Z
z
1 0
0
( ) =∪
 есть непрерывное однопараметрическое множество точек, т.е. линия, то для ее определения необходимо непрерывное 
однопараметрическое применение приведенного 
алгоритма. Таким образом, однопараметрическому 
точечному множеству 
z
Z
0
1 0
∪
=
( )  взаимно однозначно соответствует однопараметрическое множество 
σ2
1 2
∪
=
( )
Σ
 плоскостей или поверхностей. 
Представляя множество Σ1 2
2
( ) =
σ
∪
 как фактор
множество множества (пространства) E3 по отношению эквивалентности, представляющем собой разбиение пространства E3 на однопараметрическое 
множество непересекающихся классов σ2 (плоскостей 
или поверхностей), можно получить следующий 
общий алгоритм конструктивного определения множества Z1(0) пересечения двух множеств X2 и Y2 пространства E3: 
Алгоритм 1
1. E
i
k
i
3
1 2
2
2
1 2
=
=
⇒
=
( )
Σ
σ
σ
∪
∪
,
, ,..., ;  

2. σ
ϕ
i
i
X
2
2
1
∩
=
;

3. σ
ψ
i
i
Y
2
2
1
∩
=
;

4. ϕ
ψ
i
i
iz
1
1
0
=
∩
;

5. z
z
Z
i
0
0
1 0
⇒
=
( )
∪
.

При конструктивной реализации алгоритма непрерывное однопараметрическое множество 
σ2
∪
 в 

п. 1 представляется как дискретное ⇒
(
)
σi
2
∪
 множество, а полученное в результате построений дискретное множество 
zi
0
∪
 представляется как непрерывное ⇒
(
)
z0
∪
. Получение дискретного множества основано на многократном повторении пунктов 
2, 3, 4 алгоритма.
Алгоритм 1, полученный в результате теоретикомножественного рассмотрения пересечения двух 
множеств в пространстве E3, соответствует известному в начертательной геометрии методу посредников, к которым относятся вспомогательные плоскости и поверхности.

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2015
GEOMETRY & GRAPHICS (2015). Vol. 3. Iss. 1. 3-15

Критериями выбора классов σ2 фактор-множества Σ1 2
2
( ) =
σ
∪
 при конструктивной реализации алгоритма 1 могут быть:
• достижение минимальной сложности геометрической формы получаемых в результате построений вспомогательных классов ϕ1
2
⊂ X  и ψ1
2
⊂Y , 
например, прямая линия и окружность;

• возможность реализации алгоритма на конкретной 
модели пространства E3 и другие условия.
Достижение минимальной сложности геометрической формы классов ϕ1
2
⊂ X
 и ψ1
2
⊂Y
 имеет 
важное практическое значение. Поэтому в основу 
представления пространства E3 как некоторого фактор-множества E3 = Ф2(1) по отношению эквивалентности, представляющем собой разбиение этого 
пространства на классы эквивалентности, может 
быть положено разбиение одного из пересекающихся множеств X2 и Y2 на непересекающиеся классы, 
например X2 = Ф1(1), с последующим расширением 
множества полученных классов до проецирующего 
фактор-множества Ф2(1), т.е. X
E
2
1 1
2 1
3
=
→
=
( )
( )
Φ
Φ
. 
На основании сказанного можно предложить следующий алгоритм конструктивного определения множества пересечения Z1(0) двух множеств X2 и Y2 (рис. 6):
Алгоритм 2
1. X 2
1 1
1
=
=
( )
Φ
ϕ
∪
;

2. Φ
Φ
1 1
2 1
1

2
3
( )
( )
→
=
=
ϕ
∪
E ;

3. Y 2
1 1
1
=
=
( )
Ψ
ψ
∪
;

4. Вводится Π – плоскость проекций (плоскость 
отображения объектов пространства E3);
5. X
X
Z
2
1
1 0
→
=
( )

П
П
 – след проецирующей поверхности X2 и одновременно проекция искомой линии 
Z1(0);
6. 
ψ
ψ
1
1
∪
∪
=
П;

7. z
X
z
Z
П
П
П
П
П
0
1
1
0
1 0
=
=
( )
ψ
∩
∪
,
;

8. z
z
z
Z
П
0
0
1
0
1 0
→
∈
=
( )
ψ ,
.
∪

логикой алгоритма 2, должно быть взаимно однозначным.
Предложенный алгоритм 2, по существу, сводится к алгоритму 1. Действительно, классы-линии ϕ1 
и ψ1 в алгоритме 2 принадлежат некоторому множеству σ2 (плоскость или поверхность), на котором 
основано построение алгоритма 1. Представление 
исходных пересекающихся множеств в виде объединения непересекающихся классов X 2
1
=
ϕ
∪
 и  

Y 2
1
=
ψ
∪
, пары которых принадлежат одному множеству, т.е. ϕ ψ
σ
1
1
2
,
(
) ⊂
, приводит к образованию 
непрерывного однопараметрического множества 
двумерных классов 
σ2
∪
, образующих фактор-множество пространства E3
2
1 2
=
=
( )
σ
∪
Σ
 по отношении 
эквивалентности, представляющем собой разбиение 
этого пространства на непересекающиеся проецирующие классы σ2.
Алгоритм 2 основан на конкретном построении 
фактор-множества E3 = Ф2(1) с последующим использованием его в качестве проецирующего для отображения пространства на плоскость, в отличие от алгоритма 1, в котором выбор фактор-множества E3 = 
Σ1(2) никак не оговорен. Очевидно, построение различных фактор-множеств пространства E3 по отношению эквивалентности, представляющем собой 
разбиение множества на классы, зависит как от геометрической формы пересекающихся множеств X2, 
Y2, так и от самого отношения эквивалентности, 
которое, в частности, может быть разбиением пространства E3 на непересекающиеся проецирующие 
классы. Практическая целесообразность того или 
иного алгоритма конструктивного определения множества пересечения зависит от возможности практического достижения минимальной сложности геометрической формы тех промежуточных элементов 
и классов элементов, которые участвуют в реализации 
алгоритма.
Рассмотрим теперь второй случай, когда m = 1,  
q = 2, p = 0. Как было отмечено выше, множество 
пересечения Zp в этом случае представляет собой 
точку или конечное число точек. Это множество 
может быть получено, если оба множества X1 и Y2 
линейные (X1 – прямая, Y2 – плоскость); оба множества X1 и Y2 нелинейные (X1 – кривая линия,  
Y2 – поверхность); одно из множеств, например X1, 
линейное (прямая), а другое – Y2 – нелинейное (поверхность), либо X1, нелинейное (кривая линия),  
а Y2 – линейное (плоскость). Поскольку q = 2, то 
точечное множество Y2 можно разбить на непересекающиеся классы и представить его в виде фактормножества Y2 = Ψ1(1) с элементом ψ1 – линией. Так 
как множество пересечения Zp = Z0 может быть получено согласно формуле (1) только при условии, 
что обе линии X1 и ψ1
2
⊂Y
 будут принадлежать некоторому двумерному множеству Σ2, то в возможных 
алгоритмах конструктивного определения множества пересечения должно присутствовать множество Σ2.
Рассмотрим алгоритм конструктивного определения множества пересечения X
Y
1
2
∩
 (рис. 7):

Рис. 6. Интерпретация алгоритма 2

Отображение множества Y2 на плоскость Π в п. 6, 
выполняемое проецирующим фактор-множеством 
E3
2 1
1

2
=
=
( )
Φ
ϕ
∪
 в общем случае, в соответствии с 

GEOMETRY & GRAPHICS (2015). Vol. 3. Iss. 1. 3–15
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2015