Регуляризация в задачах линеаризации систем управления по обратной связи

новных подходов в структуризации процесса выбора оптимальных (в определенном смысле) альтернатив является понятие бинарного отношения R с Л², которое позволяет формализовать операции попарного сравнения альтернатив: если R с X² и (xz, х₇) е R ((xz, x₇)g R <=> xₜR х₇), xz е X, Xj g X, то Xi >- Xj. Пусть Q - число критериев; п - номер оценки по шкале q-ro критерия (и G [1, Nq], q G [1, Q\. Yq = {yqₙ} - множество оценок q-го критерия, расположенных в порядке возрастания их качества (шкала q-ro критерия): у* "< У2 "< • • • "< yqN • ¥⁼ {х У₂х... х Yq} - множество векторных оценок; качество каждого объекта xz оценивается вектором у₁; = (у’, у.,..., у?), у? е Yq i е [1₅ М]. Тогда упорядочение альтернатив в соответствии с их качеством можно провести по принципу Парето, и построить асимметричное транзитивное отношение доминирования:
     Р° = {(хь Xj) G X х X I V[1, Q\, yq > у’, и 3q₀, такое , что у?« > yj°}.

Дальнейшее расширение данного бинарного отношения на множестве возможно лишь за счет получения дополнительной информации от ЛПР о его системе предпочтения. Возможны следующие отношения: 1. Первая альтернатива - предпочтительнее второй; 2. Альтернативы - равноценны; 3. Альтернативы - несравнимы между собой.
     В соответствии с отношением Р° на множестве можно выделить подмножество недоминируемых альтернатив. После их удаления можно выделить второе подмножество и т. д. до исчерпания множества. Выделенные подмножества назовем паретовыми слоями.

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ В ЗАДАЧАХ ЛИНЕАРИЗАЦИИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ПО ОБРАТНОЙ СВЯЗИ
Борисевич А.В.
                         Санкт-Петербургский государственный политехнический университет

     Рассматривается задача трансформации системы х = Ах + Ви, у = й(х) в линейную у = v, где yiyel" и A,Be R"x/!. Линейная динамика исходной системы управляема и rankB = п. Хорошо известно, что точная линеариза

19

ция такой системы по статической обратной связи возможна, если h(x) -диффеоморфизм. В этой работе показано, что условие линеаризуемости может быть ослаблено до случая, когда й(х) - гомеоморфизм (инъекция).
     Значение входа и всегда ограничено некоторым множеством и е и, что не может быть достигнуто линеаризацией u = B~\h'(x)y¹v-B~¹Ax при rank/г'(х) < 0, где й'(х) - якобиан й(х). С практической точки зрения, необходимо ограничить норму ||(й'(х))⁻¹||<М, что при ограниченных v и х ог

раничит и.
     Основная идея подхода - заметить нелинейность у = й(х) на возмущенную й(х) = й(х) + 8(х), где |₽(х)|| < £. Задача управления линейной системой, возмущенной ограниченным сигналом 8(х), может быть решена методами робастного управления.
     Пусть й'(х) = F g !R"X" и        . Возникает задача поиска такой
матрицы А, чтобы выполнялось неравенство ||(F+А)⁻¹1|<М при условии ||\||<£С1. Решение такой задачи может быть получено через операцию сингулярного разложения матриц (SVD). Матрица F может быть разложена в произведение F = ULVT, где матрица S = diag(cₜ). Для нормы известно, что ||F’⁻¹|| = тах,(о^) • Матрица А выбирается таким образом, чтобы

ее правые и левые сингулярные вектора соответствовали матрице F:
Л. = ЦПУТ, где П = diag(K.y В таком случае, ^ + А = ?7(Е+П)КГ,

(F + А)-¹ = [Z(S + П)-¹ VT, ||(F + А)-¹11 = max, {(л.. + о..f¹}.

     Взяв исходное условие на норму возмущенной матрицы (F + А) ¹, по

лучаем неравенство тш;{л.+c.}>;W Минимизирующий норму вектор

сингулярных чисел А получается в виде: л; =max{0,Af ¹ -oj, причем



Линеаризация        достигается      подстановкой

и = В ¹ (й'(х) + 8'(х)) ¹ v - В ¹ Ах, где 8'(х) = U ■ diag^ )VT. Поскольку множество

ограничено, то



sup 8(х) = sup J     8'(х)Лх(?) + Bu(f)dt также


ограничено.
     Аналогичным образом может быть регуляризована аффинная система общего вида х = /(х) + g(x)w, у = й(х), однако к условиям существования


20

трансформации должны быть добавлены условия управляемости по состоянию X.


ОПТИЧЕСКОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ В бЯ-SiC С ЭЛЕКТРОННЫМ ТИПОМ ПРОВОДИМОСТИ
Вейс А.Н.
Санкт-Петербургский государственный
политехнический университет


     При Т = 300 К исследованы спектральные зависимости коэффициента поглощения а в бЯ-SiC: N с проводимостью n-типа. Данные, получен


ные в неориентированном образце с наименьшей концентрацией свободных электронов (8 10¹⁶ см'³),


толщиной 130 мкм, с естественными гранями, показаны на рис. 1. В центральной области экспериментального спектра (при hv^(0,l-- 0,09) эВ) расположена интенсивная полоса поглощения, связанная с возбуждением продольного LO и поперечного ТО оптических фононов. В длинноволновой части спектра a(7rv) выявлены слабые полосы дополни


Рис. 1. Спектр a(Av) в бЯ-SiC: N, п = 8 • 10¹⁶ см'³. Вертикальными линиями отмечено положение полос поглощения, природа которых обсуждается в тексте.

тельного поглощения, расположенные при энергии квантов hv ~ 0,143 эВ и в энергетическом интервале (0,06 - 0,085) эВ. Учитывая результаты работ [1, 2], эти полосы можно связать с примесью азота, находящейся в 6//-S1C в двух неэквивалентных кристаллографических позициях - гексагональной и кубической. Остальные полосы поглощения, наблюдавшиеся в экспериментальных спектрах, связаны с возбуждением комбинационных фононных мод.


21