Об одной регуляризационной схеме при линеаризации аффинных нелинейных систем управления и ее категорно-теоретической интерпритации

УДК 538.446
А.В.Борисевич, канд.техн.наук
Reutlingen University,
Alteburgstrasse 150, Reutlingen, Germany, 72762
e-mail: alex.borysevych@gmail.com
ОБ ОДНОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИОННОЙ СХЕМЕ ПРИ 

ЛИНЕАРИЗАЦИИ АФФИННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 
УПРАВЛЕНИЯ И ЕЕ КАТЕГОРНО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ 
ИНТЕРПРЕТАЦИИ

В докладе рассматривается аффинный нелинейный объект 

управления в пространстве состояний:

),
(
=
,
)
(
)
(
=

1
=

x
h
y
u
x
g
x
f
x
i
i

m

i


(1)

где 
n
X
x
, 
m
Y
y
, 
m
U
u
.

Система 
(1)
может 
быть 
приведена 
с 
помощью 

последовательного дифференцирования каждого выхода 
jy
к виду:

u
x
A
x
B
u
h
h
y
j
j
i
j

jr

f
i
g

m

i

j

jr

f

jr

j
)
(
)
(
=
1
=
)

1
=

(

,
(2)

где 
)
(
)
(
=
)
(
)
(
=

1
=
x
f
x
x
x
f
x
x

i

i

n

i
f
– производная Ли функции 

по векторному полю f .

Для синтеза 
управления объектами 
вида 
(1)
широко 

применяется линеаризация по обратной связи с использованием 
преобразования

),
,
(
=
))
(
(
)]
(
[
:=
1
u
x
x
B
u
x
A
u
(3)

которое переводит систему (1) в линейную вида 
u
y r =
)
(
в области 

X
S
. Динамика состояния системы (1) после подстановки (3)

выражается в виде

,
=
))
(
(
=
,
=
)
,
(
)
(
)
(
=
1

*

1
=

*
Cz
z
h
y
Qu
Pz
u
x
z
g
z
f
z
i
i

m

i


(4)

где 
)
(
=
x
z
– индуцированный преобразованием (3) изоморфизм 

пространства состояния, 
)
(
|)
(
=
)
(
1
=
*
q
p
d
q
p
p
– дифференциал 

векторного поля. Существенным ограничением применения этого 

метода является требование 
0
)
(
det
x
A
в S .

По аналогии с классической регуляризацией метода Ньютона

вокруг 
сингулярных 
точек, 
рассмотрим 
модифицированное 

нелинейное преобразование для линеаризации (1) с преодолением 
областей особенностей S

)),
(
(
)]
(
)[
(
:=
1
x
B
u
x
A
x
u
(5)

где 
)
(x
выбирается таким образом, чтобы 
)
(
det
=
)
(
x
A
sign
s
x
sign
, 

а знак 
1,1}
{
s
берется с учетом условия 
0
>
)
( 0
x
s
.

Случай 
)
(
det
=
)
(
x
A
sign
s
x
может 
быть 

проинтерпретирован в категорной теории систем управления [1], 
поскольку динамика (1)
обретает переключательный характер. 

Рассмотрим две системы: 
x
– исходная система (1) и 
z
–

линеаризация (4). Обе эти системы являются объектами категории 
нелинейных систем управления Con, причем преобразование 
)
,
(

являтся морфизмом от 
x к 
z .

Область фазового пространства S может быть разделена на 

два 
подпространства:
1}
=
)
(
|
{
=
x
X
x
S
и 

1}
=
)
(
|
{
=
x
X
x
S
. Отсюда имеем два варианта нелинейного 

преобразования по обратной связи 
: 
))
(
(
)]
(
[
=
)
,
(
1
x
B
u
x
A
u
x
и 

))
(
(
)]
(
[
=
)
,
(
1
x
B
u
x
A
u
x
. Применение двух вариантов обратной 

связи дает две линеаризованные системы 
z и 
z . Комбинированное 

из 
z
и 
z
поведение линеаризации системы 
x
образует ко
декартов квадрат (pushout), что может быть отображено на 
коммутативной диаграмме:

Библиографический список
1. Tabuada, P. Quotients of Fully Nonlinear Control Systems / 

Paulo Tabuada, George J. Pappas // SIAM J. Control Optim. 43, 5 (May 
2005), pp. 1844-1866.