Лекции по аналитической механике

Гантмахер Ф.Р.







                Лекции по аналитической механике









МОСКВА ФИЗМАТЛИТ ®

УДК 531.3
ББК 22.21
      Г19

    Га н т м а хе р Ф. Р. Лекции по аналитической механике: Учеб. пособие для вузов / Под ред. Е.С. Пятницкого. — 3-е изд., — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — 264 с. — ISBN 978-5-9221-0067-0.
    Монография посвящена изложению общих принципов механики. Подробно освещаются вариационные принципы и интегральные инварианты механики, канонические преобразования, уравнения Гамильтона-Якоби, системы с циклическими координатами. Выясняется возможность распространения аналитических методов механики на электрические и электромеханические системы. Даны приложения аналитической механики к теории устойчивости Ляпунова и теории колебаний.
    Книга предназначена для студентов и аспирантов механикоматематических, физических и инженерно-физических факультетов университетов, а также для инженеров-исследователей и других специалистов, желающих расширить и углубить свои знания в области механики.



























ISBN 978-5-9221-0067-0

(0 ФИЗМАТЛИТ, 2001
(О Ф. Р. Гантмахер, 2001

    ОГЛАВЛЕНИЕ




   Предисловие к третьему изданию........................... 6
   Предисловие ко второму изданию........................... 6
   Предисловие автора к первому изданию..................... 7

Глава!. Дифференциальные уравнения движения произвольной системы материальных точек ...................... 11
   § 1. Свободные и несвободные системы. Связи и их классификация .................................................. 11
   § 2. Возможные и виртуальные перемещения. Идеальные связи 15
   § 3. Общее уравнение динамики. Уравнения Лагранжа первого рода ................................................... 23
   § 4. Принцип виртуальных перемещений. Принцип Даламбера .  28
   § 5. Голономные системы. Независимые координаты. Обобщенные силы........................................ 37
   § 6. Уравнения Лагранжа второго рода в независимых координатах .................................................. 44
   § 7. Исследование уравнений Лагранжа............. 48
   § 8. Теорема об изменении полной энергии. Потенциальные,
        гироскопические и диссипативные силы .............. 52
   § 9. Электромеханические аналогии ...................... 58
   § 10. Уравнения Аппеля для неголономных систем. Псевдокоординаты                                           60

Глав а II. Уравнения движения в потенциальном поле ...        69
   § 11. Уравнения Лагранжа в случае потенциальных сил. Обобщенный потенциал. Ненатуральные системы.................... 69
   § 12. Канонические уравнения Гамильтона................. 74
   § 13. Уравнения Рауса................................... 81
   § 14. Циклические координаты............................ 83
   § 15. Скобки Пуассона................................... 86

Глав а III. Вариационные принципы и интегральные инварианты .................................................. 91
   § 16. Принцип Гамильтона................................ 91
   § 17. Вторая форма принципа Гамильтона.................. 98
   § 18. Основной интегральный инвариант механики (интегральный инвариант Пуанкаре-Картана)............................. 99

Оглавление

   § 19. Гидродинамическая интерпретация основного интегрального инварианта. Теоремы Томсона и Гельмгольца о циркуляции и вихрях................................................. 107
   § 20. Обобщенные консервативные системы. Уравнения Уиттекера. Уравнения Якоби. Принцип наименьшего действия Мо-пертюи-Лагранжа.......................................... 112
   § 21. Движения по инерции. Связь с геодезическими линиями при произвольном движении консервативной системы............. 117
   § 22. Универсальный интегральный инвариант Пуанкаре. Теорема Ли Хуа-чжуна ............................................ 119
   § 23. Инвариантность объема в фазовом пространстве. Теорема Лиувилля................................................. 125

Глава IV. Канонические преобразования и уравнение Гамильтона-Якоби ............................................... 128

   § 24. Канонические преобразования........................... 128
   § 25. Свободные канонические преобразования................. 132
   § 26. Уравнение Гамильтона-Якоби............................ 135
   § 27. Метод разделения переменных. Примеры.................. 142
   § 28. Применение канонических преобразования в теории возмущений ................................................... 151
   § 29. Структура произвольного канонического преобразования . 152
   § 30. Критерий каноничности преобразования. Скобки Лагранжа 158
   § 31. Симплектичность якобиевой матрицы канонического преобразования ............................................... 160
   § 32. Инвариантность скобок Пуассона при каноническом преобразовании ............................................... 162

ГлаваУ. Устойчивость равновесия и движения системы . .         165

   § 33. Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия 165
   § 34. Признаки неустойчивости положения равновесия. Теоремы Ляпунова и Четаева....................................... 171
   § 35. Асимптотическая устойчивость положения равновесия. Диссипативные системы....................................... 174
   § 36. Условная устойчивость. Общая постановка вопроса. Устойчивость движения или произвольного процесса. Теорема Ляпунова .................................................. 179
   § 37. Устойчивость линейных систем.......................... 186
   § 38. Устойчивость по линейному приближению................. 190
   § 39. Критерии асимптотической устойчивости линейных систем 195

ГлаваVI. Малые колебания....................................... 200

   § 40. Малые колебания консервативной системы................ 200
   § 41. Нормальные координаты................................. 210
   § 42. Влияние периодических внешних сил на колебания консервативной системы ........................................ 212

Оглавление

5

   § 43. Экстремальные свойства частот консервативной системы. Теорема Релея об изменении частот с изменением инерции и жесткости системы. Наложение связей..................... 215
   § 44. Малые колебания упругих систем.................... 220
   § 45. Малые колебания склерономной системы под действием сил, не зависящих явно от времени............................ 226
   § 46. Диссипативная функция Релея. Влияние малых диссипативных сил на колебания консервативной системы............. 229
   § 47. Влияние внешней силы, зависящей от времени, на малые колебания склерономной системы. Амплитудно-фазовая характеристика .............................................. 233

Глав а VII. Системы с циклическими координатами ........... 239
   § 48. Приведенная система. Потенциал Рауса. Скрытые движения. Концепция Герца о кинетическом происхождении потенциальной энергии..................................... 239
   § 49. Устойчивость стационарных движений................ 249

   Список литературы....................................... 257
   Именной указатель....................................... 259
   Предметный указатель.................................... 260

    ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ



   Монография Ф.Р. Гантмахера по аналитической механике получила широкую известность в мировой литературе по механике. После выхода первого издания она была переведена на несколько иностранных языков. За время, прошедшее после второго издания (1966г.), книга практически стала библиографической редкостью. В настоящем издании сделаны отдельные исправления. Работа по подготовке этого издания выполнена сотрудниками кафедры механики Московского физико-технического института. По предложению Издательства книга выпускается вместе с третьим изданием «Сборника задач по аналитической механике», составленного Е.С. Пятницким, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаевым и Г.Н. Яковенко на основе курса лекций Ф.Р. Гантмахера.


Ноябрь 2000 г.

Е.С. Пятницкий




      ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ


  Второе издание книги подготовлено к печати уже после смерти ее автора. Работа по подготовке этого издания была выполнена кафедрой механики Московского физико-технического института, которой в течение многих лет руководил Ф.Р. Гантмахер. Большая часть исправлений и дополнений, сделанных в процессе этой работы, отражает пожелания и замечания, высказанные автором сотрудникам кафедры. Некоторые исправления обусловлены стремлением сделать текст более доступным для студентов. Внося эти уточнения, кафедра стремилась полностью сохранить специфические особенности книги, в которой строгость выводов основных положений аналитической механики и лаконичность текста удивительным образом сочетаются с предельной ясностью изложения.
Август 1965 г.                          М.А. Айзерман

    ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ



   В литературе по механике нет единого общепринятого толкования термина «аналитическая механика». Некоторые авторы отождествляют аналитическую механику с теоретической¹). Другие считают, что определяющим признаком аналитической механики является изложение в обобщенных координатах. Третья точка зрения, из которой исходил автор этой книги, назвав ее «Лекциями по аналитической механике», состоит в том, что аналитическая механика характеризуется как системой изложения, так и определенным кругом вопросов, в ней рассматриваемых.
   Характерным для системы изложения аналитической механики является то, что в ее основу кладутся общие принципы (дифференциальные или интегральные) и уже из этих принципов аналитическим путем получаются основные дифференциальные уравнения движения. Изложение общих принципов механики, вывод из них основных дифференциальных уравнений движения, исследование самих уравнений и методов их интегрирования — все это составляет основное содержание аналитической механики.
   Аналитическая механика входит как часть курса теоретической механики в программы механико-математических, физических и инженерно-физических факультетов университетов и педагогических институтов. В то же время общая программа по теоретической механике во втузах либо совсем не содержит аналитической механики, либо содержит только ее элементы. Между тем современная техника выдвигает задачи, для решения которых недостаточно основ курса теоретической механики, излагаемых в его традиционных разделах «статика», «кинематика» и «динамика точки и системы». Инженеры-исследователи, работающие в разнообразных областях современной техники, должны владеть и общими методами аналитической механики, которые дают универсальный аналитический аппарат для исследования сложных задач, относящихся не только к чисто механическим, но и к электрическим и электромеханическим явлениям.
   Настоящая книга не претендует на полноту охвата материала по аналитической механике. Книга возникла из курса лекций, читавшихся автором на протяжении последних шести лет на 4-м семестре Мо-

   х) Так, например, известные курсы теоретической механики Г.К. Суслова и Ш.Ж. Валле Пуссена были названы авторами курсами аналитической механики.

Предисловие автора к первому изданию


сковского физико-технического института. Это обстоятельство определило отбор материала и характер его изложения.
   Курс аналитической механики является фундаментом, на который опирается изучение таких разделов теоретической физики, как квантовая механика, специальная и общая теория относительности и др. Поэтому в книге подробно освещаются вариационные принципы и интегральные инварианты механики, канонические преобразования, уравнение Гамильтона-Якоби, системы с циклическими координатами (главы II, III, IV и VII). Следуя идеям А. Пуанкаре и Э.Картана, автор кладет в основу изложения материала интегральные инварианты механики, которые здесь являются не декоративным украшением теории, а ее рабочим аппаратом.
   Технические приложения связаны с рассмотрением несвободных систем. Эти системы подробно изучаются в главе I. В специальном параграфе этой главы, посвященном электромеханическим аналогиям, выясняется возможность распространения аналитических методов механики на электрические и электромеханические системы. В главах V и VI даны приложения аналитической механики к теории устойчивости Ляпунова и теории колебаний. Наряду с классическими вопросами теории линейных колебаний, излагаются и элементы современных частотных методов. Задачи из динамики твердого тела разбираются в отдельных примерах.
   Книга предполагает у читателя знакомство с общими основами теоретической механики и высшей математики. Книга предназначается для студентов и аспирантов механико-математических, физических и инженерно-физических факультетов университетов, а также для инженеров-исследователей и других специалистов, желающих расширить и углубить свои знания в области механики.

Светлой памяти своего учителя профессора механики
ГАВРИИЛА КОНСТАНТИНОВИЧА СУСЛОВА автор посвящает эту книгу

ГЛАВА I


    ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
    МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК

    § 1. Свободные и несвободные системы. Связи и их классификация

   Изучается движение системы материальных точек

Pᵥ (v = 1, ..., А)

относительно некоторой инерциальной (галилеевой) системы координат. На положения и скорости точек системы наложены ограничения геометрического или кинематического характера, называемые связями. Системы с такого рода связями называются несвободными в отличие от свободных систем, у которых подобные связи отсутствуют.
   Аналитически связь выражается уравнениемх)

/(£, г,,, г„) = О,            (1)

где в левую часть входят время t, радиусы-векторы г,, и скорости vy = гу всех точек Pᵥ системы (и = 1, ..., А). В частном случае, когда скорости г,, не входят в уравнение связи (1), связь называется конечной или геометрической. Ее аналитическая запись выглядит так:
Жгу) = 0.                     (2)


   х) Точка, поставленная над буквой, обозначает дифференцирование соответствующей величины по времени. Все радиусы-векторы строятся из одного и того же полюса, неподвижного в данной системе координат. Далее, = 0 представляет собой сокращенное обозначение для функции /(t,ri, ..., гдт, ri, ..., гдт). Подобного рода сокращенные обозначения будут употребляться на протяжении всей книги. Если а?^, yVⱼ zᵥ — декартовы координаты точки Pᵥ в рассматриваемой системе координат (у — 1, ..., ЛГ), то функцию f можно считать функцией от б.№ + 1 скалярных аргументов t, а?^, а?^,
zᵥ (у — 1, ..., ДГ). Относительно функции /, как и относительно всех функций, встречающихся в дальнейшем тексте, предполагается (при отсутствии соответствующих оговорок), что эти функции непрерывны вместе с теми своими производными, которые фигурируют в соответствующих местах текста.

Гл. I. Дифференциальные уравнения движения

   В общем же случае связь (1) называется дифференциальной или кинематической. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только таких дифференциальных связей, в уравнения которых скорости точек входят линейно:
                       N
^1Дд + 1) = 0.                    (3)
                      v=i
Здесь 1,,г,, — скалярное произведение векторов 1„ ид. а векторы 1,, и скаляр D представляют собой заданные функции от t и всех г,, (д, v = 1, ..., JV). При этом предполагается, что векторы 1,, не могут все одновременно обращаться в нуль.
   При наличии конечной связи вида (2) система не может в каждый данный момент времени занимать произвольное положение в пространстве. Конечная связь накладывает ограничения на возможные положения системы в момент времени t. При наличии же только дифференциальной связи система в любой момент времени t может иметь произвольное положение в пространстве. Однако в этом положении скорости точек системы уже не могут быть произвольными. Дифференциальная связь накладывает ограничения на эти скорости.
   Каждая конечная связь вида (2) влечет за собой как следствие дифференциальную связь, уравнение которой получается почленным дифференцированием равенства (2):

N

        Е

1/=1

df .    df п
    Tv ⁺ ⁼ °’
агк     at

(4)

гдех) df /drᵥ = grad,, / (у = 1, ..., JV). Но такая дифференциальная связь не эквивалентна конечной связи (2). Она эквивалентна конечной связи
f(t,rᵥ)= с,                     (5)

где с — произвольная постоянная. Поэтому конечная связь (4) называется интегрируемой.
   Заметим, что в прямоугольных декартовых координатах уравнения связей (1)-(4) записываются так:

f(t, xᵥ, yᵥ, zᵥ.

x„, yᵥ, Д) = 0,

(1')

f(t, xᵥ, yᵥ, z^ = 0,

(2')

    x) Если r,, = xᵥi + i/i-j + zᵥVz, где i, j, k — взаимно-ортогональные орты координатных осей, то

                df   df     df     df ₕ
                drᵥ  dxᵥ     dyᵥ J dzᵥ

ф=1,...,Я).

§1. Свободные и несвободные системы

13

                N
               Y,{Aᵥxᵥ + Bᵥyᵥ + Cᵥzᵥ) + D = Q¹),             (3Z)
               l/=l

            U U*. Xv dyᵥ Vv ⁺ dzᵥ ZvJ ⁺ dt - °-              ⁽⁴}

   Конечная связь (2) или (2Z) называется стационарной, если t не входит явно в уравнение связи, т. е. если df /dt = 0. В этом случае левая часть уравнения дифференциальной связи (4) линейна и однородна относительно скоростей. По аналогии с этим дифференциальная связь (3) или (3Z) называется стационарной, если D = 0 и векторы 1,, в уравнении (3) [соответственно коэффициенты Aᵥ, Bᵥ, Cᵥ в уравнении (3Z)] не зависят явно от I.
   Система материальных точек называется голономной, если на точки этой системы не наложены дифференциальные неинтегрируемые связи. Таким образом, голономной является всякая свободная система материальных точек, а также несвободная система с конечными или дифференциальными, но интегрируемыми связями. У голономной системы все связи могут быть записаны в конечном виде.
   При наличии дифференциальных неинтегрируемых связей система называется неголономнои¹').
   Система называется склерономной, если на нее наложены только стационарные связи. В противном случае система называется рео-номной.
   Примеры. 1. Материальная точка может двигаться только по поверхности. Пусть уравнение этой поверхности задано в виде
f (г) = 0                        (6)
ИЛИ
f (ж, у, z) = 0.                   (6')
   Это конечная стационарная связь.
   Если поверхность подвижная или деформирующаяся, то в уравнение поверхности явно войдет время t:
f(t, г) = О                      (7)
ИЛИ
№ X, у, z) = 0.                    (7Z)
   В этом случае связь конечная, но нестационарная.

   х) Aᵥ, Cᵥ (у — 1, ... у N) — скалярные функции от t, a?i, гц, zi, ..., зд, UN-, ZN-
   ²) Часто и сами дифференциальные неинтегрируемые связи называются неголономными. Иногда дифференциальные интегрируемые связи называются полуголономными.