Курс лекций по уравнениям математической физики с примерами и задачами

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Федеральное государственное образовательное учреждение 

высшего профессионального образования

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

А.И. Сухинов, В.Н. Зуев, В.В. Семенистый

КУРС  ЛЕКЦИЙ

ПО УРАВНЕНИЯМ 

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

с примерами и задачами

Допущено учебно-методическим советом

по прикладной математике и информатике

учебно-методического объединения

по классическому университетскому образованию
в качестве учебного пособия для студентов вузов,

обучающихся по специальности

010200 «Прикладная математика и информатика»

и по направлению

510200 «Прикладная математика и информатика» 

Ростов-на-Дону

Издательство Южного федерального университета

2009

УДК 517/519(075)
ББК 22. 161

С91

Рецензенты:

доктор физико-математических наук, профессор Илюхин А. А.,

кандидат физико-математических наук, профессор Ерусалимский В. М. 

Учебное пособие подготовлено и издано в рамках 

национального проекта «Образование» 

по «Программе развития федерального государственного образовательного 

учреждения «Южный федеральный университет» на 2007–2010 гг.»

С91

Сухинов А. И., Зуев В. Н., Семенистый В. В. 

Курс лекций по уравнениям математической физики с 

примерами и задачами: учеб. пособие / А. И. Сухинов, 
В. Н. Зуев, В. В. Семенистый. – Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ, 2009. 
– 307 с.: ил. 27.

ISBN 978-5-9275-0669-9

Книга представляет собой учебное пособие по уравнениям математи
ческой физики. В первых шести главах рассматриваются основные типы 
уравнений с частными производными, их классификация, постановка краевых задач и методы их решения: характеристик (Даламбера), Римана, Фурье. В гл. 7–10 развивается подход, основанный на концепции обобщённого 
решения: строятся фундаментальные решения для операторов теплопроводности, Лапласа, волнового оператора и оператора Гельмгольца, а затем 
рассматриваются обобщённые задачи Коши для уравнения теплопроводности и волнового уравнения. Для решения краевых задач для уравнений эллиптического типа излагается метод потенциалов и метод функций Грина. 
В тексте разобрано большое количество примеров решения типовых задач, 
что позволяет изучать уравнения математической физики самостоятельно. 

Для студентов вузов, обучающихся по специальности 010200 «При
кладная математика и информатика» и по направлению 510200 «Прикладная математика и информатика»

ISBN 978-5-9275-0669-9
УДК 517/519(075)
ББК 22.161

© ТТИ ЮФУ, 2009
© А.И. Сухинов, В.Н. Зуев, 

В.В. Семенистый, 2009

© Южный федеральный

университет, 2009

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ...........................................................................................................................................................5

ГЛАВА 1. КЛАССИФИКАЦИЯ  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ  С  ЧАСТНЫМИ  
ПРОИЗВОДНЫМИ..............................................................................................................................................8

§ 1.1. ОСНОВНЫЕ  ПРИНЦИПЫ  КЛАССИФИКАЦИИ ....................................................................................................... 8
§ 1.2. КЛАССИФИКАЦИЯ  КВАЗИЛИНЕЙНЫХ  УРАВНЕНИЙ  ВТОРОГО ПОРЯДКА............................................................. 10
§ 1.3. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ (ХАРАКТЕРИСТИКИ) КВАЗИЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 13
§ 1.4. ПРИВЕДЕНИЕ КВАЗИЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ ............................. 15

ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ  ФИЗИКИ.   ПОСТАНОВКА  КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
............................................................................................................................................................................22

§ 2.1. УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ ................................................................................................................................ 22
§ 2.2. УРАВНЕНИЕ ДИФФУЗИИ.................................................................................................................................. 26
§ 2.3. СТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ........................................................................................................................... 28
§ 2.4. УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ........................................................................................................................ 29
§ 2.5. УРАВНЕНИЕ МАКСВЕЛЛА................................................................................................................................ 30
§ 2.6. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА.............................................................................................................................. 31
§ 2.7. КЛАССИФИКАЦИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ................................................................................................................. 33
§ 2.8. ЗАДАЧИ.......................................................................................................................................................... 41

ГЛАВА   3. МЕТОД   ХАРАКТЕРИСТИК ..........................................................................................................43

§ 3.1. МЕТОД РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ВОЛН ............................................................................................................ 43
§ 3.2. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ РЕШЕНИЯ ОДНОРОДНОГО ОДНОМЕРНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ.................................. 46
§ 3.3. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОДНОРОДНОГО ОДНОМЕРНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ .................................................... 46
§ 3.4. ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ..................................................................................................................................... 50
§ 3.5. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ ТРЕУГОЛЬНИК............................................................................................................ 51
§ 3.6. ЗАДАЧИ.......................................................................................................................................................... 56

ГЛАВА  4. МЕТОД    РИМАНА ..........................................................................................................................59

§ 4.1. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ............................................................................................... 59
§ 4.2. ОБЩАЯ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ.......................................................................... 62
§ 4.3. ЗАДАЧА ГУРСА................................................................................................................................................ 64
§ 4.4. ФОРМУЛА РИМАНА......................................................................................................................................... 65
§ 4.5. ЗАДАЧИ.......................................................................................................................................................... 75

Г Л А В А   5. МЕТОД ФУРЬЕ ............................................................................................................................77

§ 5.1. СУЩНОСТЬ МЕТОДА ФУРЬЕ............................................................................................................................. 77
§ 5.2. СМЕШАННАЯ  ЗАДАЧА  ДЛЯ  ОДНОРОДНОГО    УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ.............................................................. 80
§ 5.3. СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ  НЕОДНОРОДНОГО  УРАВНЕНИЯ            КОЛЕБАНИЙ..................................................... 94
§ 5.4. СМЕШАННАЯ  ЗАДАЧА  ДЛЯ УРАВНЕНИЯ  ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ....................................................................... 102
§ 5.5.  КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО СТАЦИОНАРНОГО  УРАВНЕНИЯ......................................................... 113
§ 5.6. ЗАДАЧИ........................................................................................................................................................ 120

ГЛАВА  6 . ОБОБЩЁННЫЕ   ФУНКЦИИ..............................................................................................................124

§ 6.2. ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЁННЫХ ФУНКЦИЙ........................................................................................ 126
§ 6.3. ДЕЙСТВИЯ  С  ОБОБЩЁННЫМИ ФУНКЦИЯМИ.................................................................................................. 135
§ 6.4. СВЁРТКА ОБОБЩЁННЫХ ФУНКЦИЙ................................................................................................................ 144
§ 6.5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ОБОБЩЁННЫХ ФУНКЦИЙ....................................................................................... 146
§ 6.6. ЗАДАЧИ......................................................................................................................................................... 153

ГЛАВА 7. МЕТОД   ОБОБЩЁННЫХ   ФУНКЦИЙ.........................................................................................154

§ 7.1. ОБОБЩЁННОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ  УРАВНЕНИЙ  С    ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ..... 154
§ 7.2. ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ  РЕШЕНИЕ  ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО  ОПЕРАТОРА  С ПОСТОЯННЫМИ  
КОЭФФИЦИЕНТАМИ ............................................................................................................................................... 155
§ 7.3. МЕТОД  СПУСКА............................................................................................................................................ 158

§ 7.4. ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ   РЕШЕНИЕ  ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО  ОПЕРАТОРА  С  ОБЫКНОВЕННЫМИ 
ПРОИЗВОДНЫМИ.................................................................................................................................................... 160
§ 7.5. ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ОПЕРАТОРА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ.................................................................. 163
§ 7.6. ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО ОПЕРАТОРА................................................................................ 166
§ 7.7. ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА ................................................................................... 169
§ 7.8. ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ОПЕРАТОРА ГЕЛЬМГОЛЬЦА ........................................................................... 171
§ 7.9. ПОТЕНЦИАЛЫ .............................................................................................................................................. 174
§ 7.10. ОБОБЩЁННАЯ  ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ........................... 187
§ 7.11.  ОБОБЩЁННАЯ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ  ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ......................................................... 190
§ 7.12. ОБОБЩЁННАЯ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ......................................................................... 195
§ 7.13. ЗАДАЧИ ..................................................................................................................................................... 200

ГЛАВА 8. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ  ДЛЯ УРАВНЕНИЙ  
ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА ...........................205

§ 8.1. ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ........................................................................................................... 205
§ 8.2. ЗАДАЧА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ....................................................................................................................... 209
§ 8.3. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.......................................................................................................................... 220
§ 8.4. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА............................................................................ 222
§ 8.5. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ  ГЕЛЬМГОЛЬЦА ....................................................................................... 235
§ 8.6. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ  УРАВНЕНИЯ........................................................................................................................ 241
§ 8.7. МЕТОД  ПОТЕНЦИАЛОВ................................................................................................................................. 244
§ 8.8. ЗАДАЧИ........................................................................................................................................................ 253

ГЛАВА  9.  МЕТОД  ФУНКЦИЙ  ГРИНА........................................................................................................257

§ 9.1. ОБЩИЕ  СВОЙСТВА  РЕШЕНИЙ  ГИПОЭЛЛИПТИЧЕСКИХ  УРАВНЕНИЙ................................................................ 257
§ 9.2. ФУНКЦИЯ ГРИНА ......................................................................................................................................... 258
§ 9.3. ФУНКЦИЯ  ГРИНА  ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ  В  ПРОСТРАНСТВЕ ................................................................................ 260
§ 9.4. ФУНКЦИЯ  ГРИНА  ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ НА  ПЛОСКОСТИ.................................................................................... 275
§ 9.5. ЗАДАЧИ........................................................................................................................................................ 280

ГЛАВА   10. ВАРИАЦИОННЫЕ  МЕТОДЫ ...................................................................................................282

§ 10.1. УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА................................................................................................................................... 282
§ 10.2. СУЩНОСТЬ ВАРИАЦИОННЫХ МЕТОДОВ........................................................................................................ 290
§10.3. МЕТОД РИТЦА ............................................................................................................................................ 291
§10.4. МЕТОД КАНТОРОВИЧА................................................................................................................................ 298
§10.5. ЗАДАЧИ...................................................................................................................................................... 303

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК...............................................................................................................306

ВВЕДЕНИЕ

Математическая физика представляет собой раздел математики, предме
том которого является составление и исследование математических моделей 

физических явлений. Задачи математической физики, как правило, сводятся к 

решению краевых задач для дифференциальных уравнений с частными про
изводными, к решению систем дифференциальных уравнений с частными  

производными  или  к   решению  интегральных  уравнений.

Традиционная (классическая) математическая физика исследует задачи 

механики, гидродинамики, акустики, диффузии, теплопередачи, электроди
намики, оптики и другие, в то время как современная математическая  физи
ка  рассматривает  задачи  квантовой  теории поля, задачи,  использующие 

понятие дробных производных и другие  задачи.

В данном курсе будут рассматриваться краевые задачи для дифференци
альных  уравнений  классической  математической  физики.  Наряду с тради
ционным способом изложения, основанном на классической схеме,  будет  

использоваться  также  аппарат  обобщённых  функций.

Под дифференциальным уравнением с частными производными по
нимаем выражение вида

( ,
)
0,
0
.
F x д u
m


  

Здесь 
1
2
( ,
,...,
)
,
n
x
x x
x
G G



n
 ,
( )
u
u x

– неизвестная, искомая функция, 

то есть решение уравнения,  
1
2
(
,
,...,
)
n
   

– вектор с целочисленными, 

неотрицательными координатами (мультииндекс), 
1
2
...
,
n
m
     
  

m – порядок    уравнения.  Условимся обозначать:

1
2

1
2 ...
n

n
д
д
д
д


 
,  где 
,
1,2,...,
j

j

д
д
j
n
дx


,  
0
( )
д u
u x

.

Тогда

1

1
2

1
2

1

1
2

( ,
,...,
)
( )
...
( )
...

n

n
n

n

n

u x x
x
u x
u x
x
x
x













 

 



.

При  
2
m 
,  то есть в   случае  уравнения   не   выше  второго  порядка, 

будем употреблять  также  обозначения:  

ix

i

дu
u
дx

и   

2

i
j
x x

i
j

д u
u
дx дx

,  а для  

одной независимой  переменной (
1),
( ):
n
u
u x



2

2
,
du
d u
u
u
dx
dx





и  

так  далее.

Основной задачей теории дифференциальных уравнений с частными 

производными является нахождение решения уравнения  
( ,
)
0
F x д u


. В на
стоящее время различают два различных вида решения этого уравнения: 

классическое  и  обобщённое.

Под классическим (традиционным) решением уравнения 
( ,
)
0
F x д u



будем понимать функцию ( )
( )
m
u x
C
G

, которая  при подстановке её в это 

уравнение обращает его в тождество.  Второй вид решения – это обобщённое 

решение. Под обобщённым решением уравнения 
( ,
)
0
F x д u


будем пони
мать такое решение, которое принадлежит классу обобщённых функций. 

Обобщённой функцией называют любой линейный непрерывный функцио
нал 
( , )
L
f

 , определённый на множестве бесконечно дифференцируемых  

финитных функций 
0
( )
(
)
x
C


n

. Здесь 
( )
f x – некоторая функция, порож
дающая 
данную 
обобщённую 
функцию, 
то 
есть 
функционал 

( , )
( )
L
f
f

 
 . Если  функция 
( )
f x , порождающая  обобщённую функ
цию 
( )
f  , локально интегрируема в 
n

(то есть интегрируема на любом ог

раниченном измеримом множестве из 
n
 ), то обобщённая функция  называ
ется  регулярной, в  противном  случае – сингулярной. Примером сингуляр
ной обобщённой функции является  - функция Дирака, определяемая функ
ционалом вида ( , )
(0)
   
.

ГЛАВА 1. КЛАССИФИКАЦИЯ  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ  
УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

§ 1.1. Основные  принципы  классификации

Уравнения математической физики в зависимости от тех физико
математических моделей, которые они описывают, и как следствие общих 

методов  решения  этих  моделей разделяют  на  различные классы.

Классификация  дифференциальных  уравнений  с частными производ
ными  важна  потому, что для каждого класса  уравнений существует своя 

общая теория и общие методы решения. Классификацию выполняют  на ос
нове следующих  основных  признаков: 

1) порядка  дифференциального  уравнения,

2) количества  независимых  переменных,

3) линейности  уравнения,

4) однородности  уравнения,

5) вида  коэффициентов  дифференциального  уравнения,

6) типа  дифференциального  уравнения.

Классы уравнений в соответствии с указанными выше признаками представ
лены в табл. 1.1.  

Наиболее простой вид имеют дифференциальные уравнения с двумя не
зависимыми  переменными.

П р и м е р 1.1. Установить,  какие  из  приведенных  ниже  равенств яв
ляются дифференциальными  уравнениями   с  частными производными:

а)  

2
2
2
2

2
2
2

2
2
2
2
ch
sh
2
0
u
u
u
u
u
x
y
x
y




























,

б) 

2
2
2
2
2

2
2
3
0
u
u
u
u

y
y
x
x

































.

Р е ш е н и е . а) Если  учесть,  что  
2
2
ch
sh
1
 
  ,  то  равенство

2
2
2
2

2
2
2

2
2
2
2
ch
sh
2
0
u
u
u
u
u
x
y
x
y




























преобразуется  к  виду

2
2
0
u



.

Полученное  выражение  не  является  дифференциальным уравнением  с ча
стными производными.  Это  алгебраическое уравнение.

Таблица 1.1

Признаки дифференциального урав
нения

Классы дифференциальных 

уравнений

Порядок  уравнения

Уравнения первого по
рядка,
1
m 

Уравнения старших по
рядков,
2
m 

Количество переменных

Одна переменная (
1)
n 

Обыкновенное диффе
ренциальное уравнение

Несколько переменных

Уравнения в частных 

производных

Линейность 

уравнения

Линейные
Квазилинейные
Нелинейные

Однородность

уравнения

Однородные
Неоднородные

Вид коэффициентов 

уравнения

Уравнения с постоян
ными коэффициентами

Уравнения с перемен
ными коэффициентами

Тип уравнения

Уравнения эл
липтического ти
па

Уравнения ги
перболического

типа

Уравнения пара
болического типа

б) С  помощью  формулы  
2
2
2
(
)
2
a
b
a
ab
b




равенство приводится  

к  виду

2

2
2
3
0
u
u

y
x

 



 

.

Это  выражение  является  дифференциальным  уравнением  с частными про
изводными.  Порядок  уравнения  равен  двум.

§ 1.2. Классификация  квазилинейных  уравнений  второго порядка

Уравнение 

( ,
)
0,
0
F x д u
m


  

называется квазилинейным, если функция F линейна относительно старших 

производных, а коэффициенты уравнения при старших производных зависят 

только  от  переменной  x

1
( )
( ,
)
0, 0
1.

m

a
x д u
F x д u
m





 



  



В частном, самом простом случае, уравнение  может быть линейным, если 

функция  F линейна  относительно  функции ( )
u x
и  её производных, а ко
эффициенты  уравнения  зависят  только  от переменной  x

0

( )
( )

m

a
x д u
f x




  



.

Здесь 
( )
f x
– правая часть уравнения. При 
( )
0
f x 
уравнение называется 

однородным по  правой  части  и  принимает  следующий вид:

0

( )
0

m

a
x д u




  



.

В противном   случае   уравнение  называется  неоднородным. Если в ука
занных уравнениях  коэффициенты  
( )
const
a
x
a




, то они называются 

уравнениями с постоянными коэффициентами. Последующая классифи
кация относится к квазилинейным уравнениям второго порядка, которые 

можно представить в виде

1

2

1

,
1

( )
( , ,
,...,
)
0

n

n

ij
x
x

i j
i
j

д u
a
x
F x u u
u
дx дx





.