01.00.00 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Научный журнал КубГАУ, №100(06), 2014 года 

http://ej.kubagro.ru/2014/06/pdf/02.pdf 

1

УДК 519.2:303.732.4 
UDC 519.2:303.732.4 
 
 
ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКИЕ 
МЕТОДЫ В РАБОТАХ Б.В. ГНЕДЕНКО 
PROBABILISTIC-STATISTICAL METHODS 
IN GNEDENKO’S RESEARCHES 
 
 
Орлов Александр Иванович 
д.э.н., д.т.н., к.ф.-м.н., профессор 
Orlov Alexander Ivanovich 
Dr.Sci.Econ., Dr.Sci.Tech., Cand.Phys-Math.Sci., 
professor 
Московский государственный технический 
университет им. Н.Э. Баумана, Россия, 105005, 
Москва, 2-я Бауманская ул., 5, prof-orlov@mail.ru

Bauman Moscow State Technical University, 
Moscow, Russia  

 
 
Анализируются актуальные для XXI в. 
вероятностно-статистические методы в работах 
академика АН УССР Бориса Владимировича 
Гнеденко. Основное внимание уделено предельным 
теоремам теории вероятностей, математической 
статистике, теории надежности, статистическим 
методам управления качеством продукции и теории 
массового обслуживания. Рассмотрены основные 
этапы научного пути Б.В. Гнеденко, его взгляды на 
историю математики и преподавание 

We analyze the probabilistic-statistical methods in 
the researches of Boris Vladimirovich Gnedenko – 
the academician of Ukrainian Academy of Science, 
which are very important for the XXI century. We 
have also discussed the limit theorems of probability 
theory, mathematical statistics, reliability theory, 
statistical methods of quality control and queuing 
theory. We give some information about the main 
stages of scientific career of B.V. Gnedenko, his 
views on the history of mathematics and teaching 
 
 
Ключевые слова: СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 
ИСТОРИЯ СТАТИСТИКИ, Б.В. ГНЕДЕНКО, 
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ 
СТАТИСТИКА, ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ, 
ТЕОРИЯ НАДЕЖНОСТИ, СТАТИСТИЧЕСКИЕ 
МЕТОДЫ УПРАВЛЕНИЯ КАЧЕСТВОМ, ТЕОРИЯ 
МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ 

Keywords: STATISTICAL METHODS, HISTORY 
OF STATISTICS, B.V. GNEDENKO, 
PROBABILITY THEORY, MATHEMATICAL 
STATISTICS, LIMIT THEOREMS, RELIABILITY 
THEORY, STATISTICAL METHODS OF 
QUALITY CONTROL, QUEUING THEORY  

 

 
1. Введение 

 
При обсуждении основных этапов становления статистических 

методов [1] была выделена гигантская фигура А.Н. Колмогорова, 

заложившего 
основы 
современной 
научной 
дисциплины 
«теория 

вероятностей 
и 
математическая 
статистика» 
и 
решившего 
ряд 

фундаментальных научных задач. Многие работы А.Н. Колмогорова 

актуальны и в настоящее время [2], как и работы его ученика и сотрудника 

Бориса Владимировича Гнеденко. Настоящая статья, третья в цикле 

публикаций по истории статистических методов в нашей стране 

(следующая за статьями [1] и [2]), посвящена основным научным 

результатам, полученным Б.В. Гнеденко. 

 
При анализе актуальных для XXI в. работ академика АН УССР Б.В. 

Гнеденко (1912 – 1995) основное внимание уделим предельным теоремам 

теории вероятностей, математической статистике, теории надежности, 

Научный журнал КубГАУ, №100(06), 2014 года 

http://ej.kubagro.ru/2014/06/pdf/02.pdf 

2

статистическим методам управления качеством и теории массового 

обслуживания. Одна из основных научных заслуг Б.В. Гнеденко – 

обоснование необходимости развития статистических методов как 

самостоятельного научного направления, подробное рассмотрение ряда 

проблем, относящихся к этому направлению.  

 
В XXI веке наиболее ценным для нас является удивительное умение 

Б.В. Гнеденко (далее для краткости – Б.В.) объединить в своем творчестве 

глубокие теоретические изыскания и практические разработки. В 

настоящее 
время 
всё 
глубже 
становится 
разрыв 
между 

внутриматематическими изысканиями, от которых в обозримом будущем 

нельзя ждать практической пользы, и попытками решения прикладных 

задач методами, устаревшими на полвека. Уникальность Б.В. и состоит в 

том, что он своей личностью устранял этот пагубный разрыв. Он был 

одновременно великим теоретиком и великим прикладником. Чем больше 

проходит времени с того печального для отечественной науки момента, 

когда Б.В. завершил свои земные труды, тем яснее становится 

основополагающая роль его идей, его методологического подхода в нашей 

нынешней 
работе. 
Научный 
путь 
Б.В. 
заслуживает 
подробного 

осмысления. 

 
Из теоретических исследований Б.В. больше всего известны работы 

по предельным теоремам теории вероятностей, в том числе классическая 

монография о суммах независимых случайных величин 1949 г., 

написанная совместно с А.Н. Колмогоровым, статьи по предельным 

распределениям крайних членов вариационного ряда. Основополагающие 

результаты получены им в математической статистике, например, в задаче 

проверки однородности двух выборок. Для прикладников Б.В. - лидер в 

области теории надежности, массового обслуживания, статистических 

методов управления качеством продукции. По его «Курсу теории 

вероятностей» учились многие поколения специалистов. Большое значение 

Научный журнал КубГАУ, №100(06), 2014 года 

http://ej.kubagro.ru/2014/06/pdf/02.pdf 

3

имеют работы по истории науки и по другим направлениям, среди которых 

особенно выделяется методология научных исследований. 

 

 
2. От практики – к теории, от теории – к практике (четыре этапа 

научного пути) 

 
Научный путь Б.В. можно разбить на четыре этапа [3]. Первый (1930 

– 1934) прошел на кафедре математики текстильного института в г. 

Иваново, куда он был направлен в 1930 г. после окончания Саратовского 

университета. Именно там Б.В. пришел к глубокому убеждению, что 

полноценная 
творческая 
жизнь 
математика 
связана 
с 
широким 

использованием математических методов в решении задач практики и 

одновременном развитии самих математических методов, без чего 

невозможно глубокое изучение и удовлетворение потребностей практики. 

В ивановский период он увлекся теорией вероятностей.  

 
Второй этап (1934 – 1945) - исследовательская работа в Москве. В 

1934 г. Б.В. поступил в аспирантуру Московского государственного 

университета им. М.В. Ломоносова. Его научными руководителями стали 

А.Я. Хинчин и А.Н. Колмогоров. Еженедельно собирался общегородской 

семинар по теории вероятностей, где с новыми результатами выступали 

известные ученые А.Н. Колмогоров, Е.Е. Слуцкий, Н.В. Смирнов, А.Я. 

Хинчин, а также аспиранты, молодые физики, биологи и инженеры. Б.В. 

увлекся предельными теоремами для сумм независимых случайных 

величин. В июне 1937 г. он защитил кандидатскую диссертацию «О 

некоторых результатах по теории безгранично-делимых распределений», а 

в начале июня 1941 г. - докторскую диссертацию, состоящую из двух 

частей: теории суммирования независимых случайных величин и теории 

распределения максимального члена вариационного ряда. В годы Великой 

Отечественной войны Б.В. Гнеденко принимал активное участие в 

решении многочисленных задач, связанных с обороной страны. 

Научный журнал КубГАУ, №100(06), 2014 года 

http://ej.kubagro.ru/2014/06/pdf/02.pdf 

4

 
Третий этап научного пути Б.В. – украинский (1945 – 1960). В 1945 г. 

Академия наук Украинской ССР избрала Б.В. Гнеденко своим членом
корреспондентом и направила во Львов, где он восстанавливал после 

войны Львовский университет и организовывал учреждения Академии 

наук УССР. Во Львове Б.В. Гнеденко читал разнообразные курсы: 

математический анализ, вариационное исчисление, теорию аналитических 

функций, теорию вероятностей, математическую статистику и др. Его 

научная работа в этот период также была весьма разнообразна. Ему 

удалось доказать в окончательной формулировке локальную предельную 

теорему для независимых, одинаково распределенных решетчатых 

слагаемых (1948 г.). Здесь начались исследования по непараметрическим 

методам статистики. Но, по нашему мнению, основное значение имела 

работа Б. В. Гнеденко над учебником «Курс теории вероятностей» [4] 

(первое издание - 1949 г.) и монографией «Предельные распределения для 

сумм независимых случайных величин» [5], подготовленной совместно с 

А.Н. Колмогоровым.  

 
В 1950 г. Президиум АН УССР перевел Б.В. в Киев, где в Институте 

математики АН УССР был организован отдел теории вероятностей и 

математической статистики. Одновременно Б.В. заведовал кафедрой 

математического анализа в Киевском университете. 

 
Естественно, что очень скоро вокруг него образовалась группа 

молодых 
ученых, 
увлекшаяся 
теорией 
вероятностей 
и 
задачами 

математической статистики. Первыми киевскими учениками Б.В. были 

В.С. Королюк и В.С. Михалевич, впоследствии известные ученые. 

Характерно для Б.В., что в Киеве он организовал городской семинар по 

истории математики при Институте математики АН УССР. Этот семинар 

объединил многих ученых, работающих в области истории науки.   

 
В 1953 – 1954 гг. Б.В. работал в ГДР, а по возвращении Президиум 

АН 
УССР 
поручил 
ему 
возглавить 
работу 
по 
организации 

Научный журнал КубГАУ, №100(06), 2014 года 

http://ej.kubagro.ru/2014/06/pdf/02.pdf 

5

Вычислительного центра. Ядром группы ученых были сотрудники 

академика С.А. Лебедева, разработчика первой в Европе ЭВМ, 

получившей название МЭСМ (малая электронная счетная машина). 

Одновременно 
Б.В. 
возглавил 
работу 
по 
созданию 
курса 

программирования для ЭВМ, который начал читать студентам Киевского 

университета – будущим сотрудникам Вычислительного центра. Этот курс 

[6] - первая в СССР книга по программированию. Начались работы по 

проектированию универсальной машины «Киев» и специализированной 

машины для решения систем линейных алгебраических уравнений. В этот 

период Президиум АН УССР возложил на Б.В. обязанности директора 

Института математики АН УССР и председателя бюро физико
математического отделения. 

 
Широкая организационная деятельность не ослабила научной и 

педагогической деятельности Б.В. Именно к этому периоду относится 

начало разработки им двух новых направлений прикладных научных 

исследований - теории массового обслуживания и вопросов использования 

математических методов в современной медицине.  

 
Четвертый этап научного пути (1960 – 1995) – снова Москва. В 1960 

г. Б.В. переехал в Москву и возобновил работу в Московском 

государственном университете им. М.В. Ломоносова (МГУ). Сразу же Б.В. 

организовал московский семинар по математической теории надежности и 

теории 
массового 
обслуживания, 
привлекший 
многочисленных 

участников. Большое внимание Б.В. уделял разработке основ теории 

надежности, решению задач теории резервирования с восстановлением, 

оптимальной профилактики, управлению качеством промышленной 

продукции в процессе производства.  

 
В 1965 г. А.Н. Колмогоров передает Б.В. руководство кафедрой 

теории вероятностей механико-математического факультета МГУ, которой 

Б.В. заведовал до своих последних дней.  

Научный журнал КубГАУ, №100(06), 2014 года 

http://ej.kubagro.ru/2014/06/pdf/02.pdf 

6

 
Методологическими проблемами математики Б.В. систематически 

интересовался с конца 1950-х годов. Он – член научного совета при 

Президиуме АН СССР по философским проблемам естествознания. С 

первых дней Общества по распространению научных и политических 

знаний (общество «Знание») он принимает активное участие в его работе. 

Жизненному и научному пути Б.В. посвящены статьи [3], [7] и другие 

публикации. 

 
Общее количество опубликованных научных трудов Б.В. – около 

тысячи. Рассмотрим подробнее основные направления его научной 

деятельности. 

 

 
3. Суммирование независимых случайных величин 

 
В 30-е годы внимание Б.В. привлекли задачи, связанные с 

суммированием независимых случайных величин (с.в.). Интерес к таким 

задачам появился в математике еще в XVII в. Невозможность прямых 

вычислений 
распределений 
сумм 
независимых 
с.в. 
приводит 
к 

необходимости получения и изучения асимптотических формул для них, 

т.е. таких формул, которые позволяют находить с нужной точностью 

требующиеся нам вероятности, связанные с суммами с.в. Эти формулы 

даются предельными теоремами теории вероятностей. Таким образом, 

аппроксимация 
многократных 
сверток 
распределений 
потребовала 

развития глубокой математической теории, которая называется теорией 

предельных теорем для сумм независимых с.в. или теорией суммирования. 

 
Начало развития этой теории связано с работами Я. Бернулли и А. 

Муавра начала XVIII в., в которых были доказаны закон больших чисел 

(ЗБЧ) и центральная предельная теорема (ЦПТ) для независимых с.в., 

принимающих два значения. Эти исследования были продолжены в XIX в. 

П. Лапласом, С. Пуассоном, К. Гауссом и другими учеными, но вплоть до 

1860-х гг. рассматривались лишь с.в., принимающие два значения. Лишь в 

Научный журнал КубГАУ, №100(06), 2014 года 

http://ej.kubagro.ru/2014/06/pdf/02.pdf 

7

1867 г. П.Л. Чебышев получил ЗБЧ в общем виде, а достаточно общая 

форма ЦПТ была найдена лишь в работах А.М. Ляпунова и А.А. Маркова 

на рубеже XIX и XX вв. Наиболее бурное развитие теории суммирования 

пришлось на 20 - 40 гг. XX в. и связано с именами А.Н. Колмогорова, Б.В. 

Гнеденко, А.Я. Хинчина, П. Леви, В. Феллера и Дж. Линдеберга. 

 
Класс возможных предельных распределений для сумм независимых 

случайных величин, как показали А.Я. Хинчин и Г.М. Бавли, совпадает с 

классом безгранично-делимых распределений. Оставалось выяснить 

условия существования предельных распределений и условия сходимости 

к каждому возможному предельному распределению. Заслуга постановки 

этих задач и их решения принадлежит Б.В. Он в 1937 г. предложил 

оригинальный метод, получивший название метода сопровождающих 

безгранично-делимых законов. Единым приемом удалось получить все 

ранее найденные в этой области результаты, а также и ряд новых.  

 
В теории суммирования доказывались как интегральные предельные 

теоремы, то есть теоремы о сходимости функций распределения, так и 

локальные теоремы, то есть теоремы о сходимости плотностей (для 

гладких распределений) и об асимптотическом поведении вероятностей 

отдельных значений для решетчатых распределений. В 20 – 40 гг. ХХ в. 

были получены исчерпывающие результаты о ЗБЧ в классической 

формулировке. Отметим, что законы больших чисел в пространствах 

нечисловой 
природы, 
найденные 
в 
последней 
четверти 
XX 
в., 

формулировались и доказывались исходя из совсем иных подходов - не на 

основе суммирования, а на основе решений оптимизационных задач (см., 

например, [8 – 10]). 

 
Во 
всех 
разделах 
теории 
суммирования 
Б.В. 
получил 

фундаментальные результаты, пролившие свет на существо дела. Итогом 

развития классической теории суммирования явилась публикация в 1949 г. 

монографии Б.В. Гнеденко и А.Н. Колмогорова [5], которую можно 

Научный журнал КубГАУ, №100(06), 2014 года 

http://ej.kubagro.ru/2014/06/pdf/02.pdf 

8

назвать монументом создателям этой теории. Методы и результаты теории 

суммирования применяются в различных разделах теории вероятностей, 

статистических методов и их применений, а книга [5] остается источником 

новых идей для многих исследователей. Эта книга - одно из наиболее 

замечательных достижений математики ХХ века.  

 

 
4. Предельные теоремы для крайних порядковых и разделимых 

статистик 

 
Работы по предельным теоремам для крайних порядковых статистик 

публикуются уже в течение почти сотни лет, начиная с двадцатых годов 

ХХ в. Среди авторов таких публикаций: Додж, фон Мизес, Фреше, Фишер, 

Типпет, Б. де Финетти, Гумбель, В.Б. Невзоров и другие. Здесь наиболее 

полные и глубокие результаты в этой области получены Б.В. [11]. 

 
Пусть x1,..., xn - независимые одинаково распределенные с функцией 

распределения F случайные величины; тогда величины 
k
n
x
x
min
)1(
=
 и 

k
n
x
n
x
max
)
(
=
 называются крайними (или экстремальными) порядковыми 

статистиками, 
а 
также 
крайними 
членами 
вариационного 
ряда. 

Предположим, 
что 
для 
функции 
распределения 
F 
найдутся 

последовательности констант 
}
{
},
0
{
n
n
b
a >
, для которых существуют 

невырожденные предельные (с ростом n) функции распределения G 

крайних членов преобразованной выборки 
n
k
b
x
a
n
k
n
,...,
2,1
)},
(
{
1
=
−
−
. Тогда 

согласно общей теории, построенной Б.В., функция G имеет один из трех 

типов. Среди них широко используемое на практике распределение 

Вейбулла – Гнеденко [12] (в устаревшей литературе именуется 

распределением Вейбулла). Б.В. нашел необходимые и достаточные 

условия, относящиеся к F, позволяющие получить тот или иной тип G.  

 
Являясь выдающимся специалистом по теории суммирования 

независимых случайных величин, Б.В. решил результаты этой теории 

Научный журнал КубГАУ, №100(06), 2014 года 

http://ej.kubagro.ru/2014/06/pdf/02.pdf 

9

применить к суммированию зависимых случайных величин. Поэтому он 

проявил интерес [13] к таким случайным величинам 
N
w
w ,...,
1
, совместное 

распределение 
которых 
совпадает 
с 
условным 
совместным 

распределением некоторых независимых случайных величин 
N
θ
θ ,...,
1
 при 

условии фиксации суммы последних в некоторой точке. Отправляясь от 

величин 
N
w
w ,...,
1
, можно построить [13] класс сумм зависимых случайных 

величин, 
называемых 
в 
отечественной 
литературе 
разделимыми 

статистиками. Распределения последних известным образом выражаются 

через распределения сумм соответствующих независимых случайных 

величин (векторов). Тем самым, для получения предельных (с ростом 

числа слагаемых) теорем для разделимых статистик надо воспользоваться 

результатами суммирования независимых величин или их многомерными 

аналогами –– в случае векторов. 

 

 
5. Теория массового обслуживания 

 
Большим и весьма практически важным разделом современных 

статистических методов, в становление и развитие которого Б.В. внес 

неоценимый вклад, является теория массового обслуживания (ТМО). 

Первый цикл работ в этом направлении он выполнил на первом этапе 

своего научного пути –– на кафедре математики текстильного института в 

г. Иваново. В частности, он занимался изучением связи неровноты пряжи 

по номеру и весу, выяснением эффективности перехода от обслуживания 

одного станка к обслуживанию нескольких станков, оценкой длины 

среднего перехода между станками, который выполняет ткачиха в 

процессе обслуживания ткацких станков, выявлением особенностей 

метода станкообходов для нормирования рабочего времени станка и 

рабочего. Этой тематике посвящена первая книга Б.В. [14]. 

Научный журнал КубГАУ, №100(06), 2014 года 

http://ej.kubagro.ru/2014/06/pdf/02.pdf 

10

 
В опубликованной перед самой войной работе [15] Б.В. решает 

задачу определения среднего числа зарегистрированных счетчиком 

Гейгера-Мюллера частиц (известно, что в силу наличия «мертвой зоны» 

счетчик Гейгера-Мюллера регистрирует не все попадающие в него 

частицы). В терминах ТМО рассматриваемая модель может быть описана 

как однолинейная система массового обслуживания (СМО) с потерями, 

нестационарным пуассоновским входящим потоком и постоянным 

временем обслуживания. Заметим, что и к настоящему времени СМО с 

нестационарным входящим потоком исследованы крайне мало.  

 
К задачам ТМО Б.В. возвращается в 50-е годы, хотя, по 

собственному признанию, уже во время войны он не раз размышлял над 

ними. И до последних дней жизни это направление, наряду с теорией 

суммирования и математической теорией надежности, становится одним 

из основных в его научной деятельности. Б.В. обобщает формулы Эрланга 

на системы с ненадежными восстанавливаемыми приборами, рассматривая 

как случай с потерей требования при отказе прибора, так и случай 

перехода недообслуженного требования на другой свободный прибор, и 

т.д.  

 
В 1956 г. Б.В. прочитал первый в СССР спецкурс по ТМО. В 1958 г. 

цикл его лекций по теории массового обслуживания был опубликован, а 

затем послужил основой для широко известной монографии [16], 

выпущенной в 1966 г. Эта книга и до сих пор остается одной из 

основополагающих при подготовке специалистов по ТМО не только в 

нашей стране, но и за рубежом. Отметим еще две его монографии ([17, 

18]), оказавших значительное влияние на развитие ТМО.  

 
В последующие годы Б.В. опубликовал еще более 30 статей, 

относящихся к ТМО. В этих статьях, наряду с решением отдельных задач 

по ТМО, он дает детальные обзоры существующих методов исследования, 

формулирует новые проблемные направления. Важнейшей задачей Б.В.