Высшая математика: задачник

ÓÄÊ 
51(076.1)(075.8)
ÁÁÊ 22.1ÿ73
 
Â93
À â ò î ð û: Е. А. Ровба, А. С. Ляликов, Е. А. Сетько, К. А. Смотрицкий
Ð å ö å í ç å í ò û: êàôåäðà âûñøåé ìàòåìàòèêè Áåëîðóññêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî 
 
ýêîíîìè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà; çàâåäóþùèé êàôåäðîé òåîðèè ôóíêöèé Áåëîðóññêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîð В. Г. Кротов
Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или 
любой ее части не может быть осуществлено без разрешения издательства
Â93
 
 
Высшая ìàòåìàòèêà: çàäà÷íèê : ó÷åá. ïîñîáèå / Å. À. Ðîâáà 
[è äð.]. – Ìèíñê : Âûø. øê., 2012. – 319 ñ. : èë.
ISBN 978-985-06-2150-4.
 ïîñîáèå âêëþ÷åíî áîëüøîå êîëè÷åñòâî ðàçíîîáðàçíûõ çàäà÷ ïî âñåì 
ðàçäåëàì îáùåãî êóðñà âûñøåé ìàòåìàòèêè. Ïðèâåäåíû ïðèìåðû ðåøåíèÿ 
òèïîâûõ çàäà÷. Ðàññìàòðèâàþòñÿ ïðèëîæåíèÿ èçó÷àåìîãî ìàòåðèàëà â ýêîíîìèêå.
Äëÿ ñòóäåíòîâ ó÷ðåæäåíèé âûñøåãî îáðàçîâàíèÿ ïî ýêîíîìè÷åñêèì 
ñïåöèàëüíîñòÿì. Ìîæåò áûòü ïîëåçíî ìàãèñòðàíòàì è ïðåïîäàâàòåëÿì, ÷èòàþùèì îäíîèìåííûé êóðñ.
УДК 51(076.1)(075.8)
ББК 22.1я73
ISBN 978-985-06-2150-4 
© Îôîðìëåíèå ÓÏ «Èçäàòåëüñòâî
 
 
“Âûøýéøàÿ øêîëà”», 2012

Оглавление
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Глава 1. Линейная алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1. Матрицы и определители . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2. Системы линейных алгебраических уравнений
. . .
34
1.3. Векторная алгебра
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
Глава 2. Аналитическая геометрия . . . . . . . . . . . . . . .
80
2.1. Прямая на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
2.2. Кривые второго порядка
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
100
Глава 3. Предел последовательности и функции . . . . .
112
3.1. Числовая последовательность . . . . . . . . . . . . . . .
112
3.2. Функциональная зависимость . . . . . . . . . . . . . . .
122
3.3. Предел функции. Два замечательных предела
. . .
128
3.4. Непрерывные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
143
Глава 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
151
4.1. Производная функции
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
151
4.2. Дифференцируемость функции . . . . . . . . . . . . . .
164
4.3. Правило Лопиталя
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
165
4.4. Исследование функции с помощью производной
. .
166
Глава 5. Теория интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . . .
180
5.1. Неопределенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . .
180
5.2. Интегрирование некоторых классов функций
. . . .
188

Оглавление
5.3. Определенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
194
5.4. Приложения определенного интеграла . . . . . . . . .
202
5.5. Несобственные интегралы
. . . . . . . . . . . . . . . . .
208
Глава 6. Дифференцирование функций двух переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
212
6.1. Функция двух переменных. Дифференциал
. . . . .
212
6.2. Экстремум функции двух переменных . . . . . . . . .
223
Глава 7. Дифференциальные уравнения . . . . . . . . . . . .
234
7.1. Дифференциальные уравнения первого порядка . .
234
7.2. Решение уравнений первого порядка . . . . . . . . . .
236
7.3. Линейные уравнения второго порядка . . . . . . . . .
249
Глава 8. Ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
259
8.1. Числовые ряды
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
259
8.2. Функциональные ряды
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
266
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
273

Предисловие
Данный задачник является практической частью единого учебного комплекса по дисциплине «Высшая математика» для студентов
учреждений высшего образования по экономическим специальностям.
Комплекс включает также теоретическую часть, материалом которой
необходимо овладеть для успешного решения приводимых здесь задач.
Весь комплекс подготовлен одним и тем же коллективом авторов на
основе многолетнего опыта чтения лекций и проведения семинарских
занятий по высшей математике.
Содержание задачника соответствует теоретической части комплекса. В нем приведены задачи по следующим темам: линейная алгебра, аналитическая геометрия, предел последовательности и функции, дифференциальное исчисление функций одной переменной, теория интегрирования, дифференцирование функций двух переменных,
дифференциальные уравнения, ряды.
Квалифицированный специалист экономического профиля при
решении своих профессиональных задач может столкнуться с необходимостью построения математических моделей. В целях развития
этого полезного практического навыка в книге приводятся задачи с
экономическим содержанием, решение которых требует применения
математического аппарата.
Общая структура пособия позаимствована из теоретической части: здесь вы найдете те же главы и параграфы. Большинство задач
снабжено ответами, указаниями или решениями. Ответы и указания
приведены в конце книги. Каждый блок задач, объединенных общей
идеей, содержит решения типовых примеров.
В задачнике имеется довольно много отсылок к теоретической
части комплекса. В таких случаях при оформлении ссылки на нумерованный объект теоретической части применяется индекс «т» (первая
буква слова «теория») в верхнем индексе. Например, во фразе «Со

Предисловие
гласно формуле (1.1)т» подразумевается формула (1.1) теоретической
части.
Как показывает опыт авторов, приведенных в данном учебном
пособии задач с избытком хватит для закрепления материала соответствующих разделов курса. Преподаватель же сможет не только разнообразить выбор задач в пределах каждого раздела и подобрать задания для итоговых занятий и контрольных работ, но и организовать
факультативные занятия с наиболее успевающими студентами.
Авторы выражают искреннюю признательность рецензентам —
коллективу кафедры высшей математики Белорусского государственного экономического университета (особо заведующему кафедрой доктору физико-математических наук, профессору М.П. Дымкову) и заведующему кафедрой теории функций Белорусского государственного университета доктору физико-математических наук, профессору В.Г. Кротову, замечания и рекомендации которых способствовали
улучшению учебного пособия.
Все отзывы и предложения просьба направлять по адресу: издательство «Вышэйшая школа», пр. Победителей, 11, 220048, Минск.
Авторы

Глава 1
Линейная алгебра
1.1. Матрицы и определители
1. Найти значение матричного выражения:




1) 2A −4B,
A =

;


5
−3
4
−4
7
3

,
B =


−4
0
4
−2
−5
3




2) 2A −4B,
A =


2
3
4
−5
0
4
1
1
−1

,
B =


2
6
−2
4
2
0
1
−1
4

;
;
,
B =
3) −2A −4B,
A =
!
!
 
−4
−3
4
−5
−2
1
 
−1
3
−5
4
4
−1
4) 2A + 4B,
A =






2
6
4
−3
−5
0

,
B =


5
−3
4
4
4
0

;




5) −3A −5B,
A =


−1
3
4
4
3
−4
−2
1
−2

,
B =


−4
−3
−2
7
3
0
1
−3
−2

;




6) −2A + 4B,
A =


2
−3
−5
7
−2
−2
−5
1
2

,
B =


−1
−3
1
−2
−4
1
−2
1
7

;

Глава 1. Линейная алгебра




7) −2A −5B,
A =


2
3
7
1
0
0
−2
3
1

,
B =


2
0
4
7
−1
−3
−2
3
4

;




8) −3A + 3B,
A =


−7
6
1
4
−3
−4
1
−3
−2

;


2
0
1
−2
4
1
−2
−3
−4

,
B =




9) −2A + 4B,
A =


−1
3
1
−1
−5
−1

;


−4
−3
1
−1
1
−4

,
B =




10) −3A + 4B,
A =


5
−6
−5
−2
−2
1
4
−2
4

,
B =


−7
−3
7
−5
0
2
7
−4
1

;




11) −3A −5B,
A =


−1
−6
−5
−3
−5
−2

,
B =


−1
−3
1
0
7
−2

;
;
,
B =
12) −3A −4B,
A =
!
!
 
−4
0
7
−5
−2
4
 
−4
−3
−2
1
−3
−3




13) −3A + 4B,
A =


−1
6
4
−2
−2
4
7
2
3

,
B =


−1
−3
−5
−5
−4
−2
−5
2
−5

;
;
,
B =
14) −2A −5B,
A =
!
 
−7
6
4
1
3
1
!
 
−4
−3
1
−2
−1
−3
;
,
B =
15) 2A −5B,
A =
!
!
 
5
0
−2
4
−1
3
 
−7
6
4
−5
4
−3
;
,
B =
16) −3A + 4B,
A =
!
!
 
−7
6
−5
−2
0
2
 
5
−3
4
7
0
−1




17) −3A −4B,
A =


2
0
1
−5
−2
−4
1
4
3

,
B =


−7
6
−5
7
4
3
−2
−1
4

;

1.1. Матрицы и определители
9




18) −2A + 3B,
A =


2
3
−2
−5
−1
−4
1
−2
−3

,
B =


5
6
7
4
4
1
1
1
1

;
;
,
B =
19) 5A −5B,
A =
!
 
−7
−3
−2
1
3
3
!
 
−4
6
−2
−5
2
−1




20) −2A −4B,
A =


2
0
1
3
4
−3

;


−1
−6
1
1
−2
−2

,
B =


21) A −λE,
A =


2
−1
2
5
−3
3
−1
0
−2

.
Р е ш е н и е п. 1. По определению операций суммы матриц и произведения матрицы на число








2A −4B = 2


−4
0
4
−2
−5
3

−4


5
−3
4
−4
7
3

=


−8
0
8
−4
−10
6

−


20
−12
16
−16
28
12

=
=






−8 −20
0 + 12
8 −16
−4 + 16
−10 −28
6 −12

=


−28
12
−8
12
−38
−6

.
2. Найти произведение матриц AB:
1) A =






2
3
1
−2
−1
−2
0
3
−5

,
B =


0
3
3
5
−1
−2

;
2) A =






2
3
−4
−2
2
−3
−3
−4
−5

,
B =


0
3
4
3
5
−1
2
5
0

;
3) A =






0
3
3
5
−1
−3
0
3
−4

,
B =


−3
3
−2
1
5
−5
2
5
5

;

Глава 1. Линейная алгебра
4) A =
,
B =


!
 
2
4
3
5
2
−3


2
−5
−2
−5
1
−2
−2
2
2
5
4
−4

;
5) A =
,
B =


!
 
−3
−5
1
−2
2
−4


−3
4
4
−2
1
0
0
0
4
−2
−2
−4

;
6) A =
,
B =


!
 
−3
4
1
0
3
−4


−3
3
4
−2
−4
0
4
1
2
−4
0
5

;
7) A =
,
B =


!
 
2
4
−4
−2
4
1


2
−5
−5
5
1
−2
−5
0
3
−2
−2
−4

;
8) A =






0
−5
−4
0
2
−4

;


0
3
1
−2
−1
5
0
−2
−5

,
B =
9) A =






2
4
1
5
2
1
−1
4
−1

,
B =


2
3
1
5
3
−2

;
10) A =






2
4
−4
−2
2
1
−3
−4
5

,
B =


−3
−5
−4
−4
5
−3
4
1
0

;
11) A =






0
4
1
5
3
5
1
−2
1

,
B =


2
−5
−4
5
−1
−4

;
12) A =






−3
3
1
0
−1
−4
2
−2
1

,
B =


2
3
−4
−2
−1
5

;
13) A =
,
B =


!
 
0
4
3
0
4
−3


2
3
−5
4
1
−2
2
−1
3
1
5
5

;