О РЕШЕНИЯХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА КОНЕЧНЫХ ИНТЕРВАЛАХ

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
МАТЕМАТИКА
2008. Вып. 2
УДК 517.929.2
c
⃝Ä. Í. Ñïè÷êèí
О РЕШЕНИЯХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО
ПОРЯДКА НА КОНЕЧНЫХ ИНТЕРВАЛАХ
Приведены решения линейного m-разностного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, заданного на конечном интервале.
Ключевые слова: функции ВиленкинаКрестенсона, m-разностные уравнения.
Пусть x = (x1, . . . , xn), p = (p1, . . . , pn)  n-разрядные m-ичные представления неотрицательных целых чисел. Под операцией x ⊖
m p понимаем
поразрядную разность по модулю m. Решениями m-разностного уравнения второго порядка
y(x ⊖
m 2) + k1y(x ⊖
m 1) + k2y(x) = 0,
x ∈[0, mn) ∩N0
(1)
являются функции ВиленкинаКрестенсона (ВКФ) [1]:
Pal(p, x) = exp
m


j=1
pn+1−jxj
n
X
i2π
,
(2)
где x  аргумент, p  некоторый параметр, причем обе величины заданы
n-разрядным m-ичным представлением. Известно [1], что при решении таких уравнений часть разрядов параметра p фиксируется, а часть остается
произвольной.
Теорема 1. Пусть в уравнении (1) коэффициенты ki, i = 1, 2  постоянные и вещественные и пусть k2 ⩽k2
1
4 . Тогда только в трех случаях
существует решение вида (2):
а) при k1 = 0, k2 = −1 существует 2 линейно независимых решения
при p1 = 0 или p1 = m
2 ;
б) при k1 = −2, k2 = 1 существует только одно значение параметра
p1 = 0, дающее решение уравнения (1);
в) при k1 = 2, k2 = 1 существует только одно значение параметра
p1 = m
2 , дающее решение уравнения (1).