О стабилизации систем с последействием

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
МАТЕМАТИКА
2008. Вып. 2
УДК 517.917
c
⃝С. И. Солодушкин
О СТАБИЛИЗАЦИИ СИСТЕМ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ 1
Для линейной управляемой системы с запаздыванием в координатах и в управлении предложен метод построения стабилизирующего управления.
Ключевые слова: линейные системы с последействием, стабилизация, управление
системами с последействием.
Введение
Рассмотрим систему вида
˙
x(t) =
Ax(t) + Aτx(t −τ) +
Z 0
−τ
A(s)x(t + s) ds+
Bu(t) + B∆u(t −∆) +
Z 0
−∆
B(ζ)u(t + ζ) dζ.
(1)
Здесь τ и ∆ положительные константы, A, Aτ  постоянные n × n -
матрицы, B, B∆ постоянные n × r -матрицы, A(·)  n × n -матрица с
непрерывными на [−τ; 0] элементами, B(·)  n × r -матрица с непрерывными на [−∆; 0] элементами, x ∈Rn  фазовый вектор (траектория движения), u ∈Rr  управление.
Далее для краткости будем использовать обозначения
y(s) = x(t + s), s ∈[−τ; 0);
w(s) = u(t + s), s ∈[−∆, 0).
Управление для системы (1) ищется в классе линейных отображений
u[x, y(·), w(·)] = Ex +
Z 0
−∆
L∆(ζ)w(ζ) dζ.
(2)
−τ
Lτ(s)y(s) ds +
Z 0
Здесь E  постоянная r × n -матрица, Lτ(·) и L∆(·)  n × n и n × r -
матрицы с кусочно-непрерывными элементами, имеющие кусочно-непрерывные
производные на [−τ; 0] и [−∆; 0] соответственно.
Требуется стабилизировать систему, то есть найти такое управление,
чтобы тривиальное решение было асимптотически устойчивым.
1Работа выполнена при поддержке Программы Президиума РАН ¾Процессы управления¿ УралоСибирский междисциплинарный проект и РФФИ (грант 050100732а).