Линеаризация обратной связью для адаптивного управления нелинейно параметризованными моделями

Линеаризация обратной связью для адаптивного управления 

нелинейно параметризованными моделями 

Борисевич А.В., к.т.н., доцент 

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет 

 

Рассматривается применение линеаризации обратной связью для 

реализации схемы адаптивной идентификации неизвестного векторного 

параметра аффинной нелинейной системы управления. Адаптивный алгоритм 

состоит из двух петель обратной связи для стабилизации системы и для 

адаптивного оценивания неизвестных параметров. 

Адаптивное управление, линеаризация обратной связью, аффинные 

нелинейные системы управления, нелинейно параметризованные 

неопределенности. 

 

Объект управления и линеаризация по обратной связи 

Рассматривается многомерный объект управления в виде: 

 

=1
=
( , )
( )
,
= ( ),
n

i
i
i

x
f x
g x u
y
h x
 

 
(1) 

с начальными условиями 
0
(0) =
x
x
, где 
n
x
X
R


, 
n
y
Y
R


, 

n
u
U
R


, функции 
:
n
n
f
R
R

, 
:
n
n
ig
R
R

, 
:
n
n
h R
R

 являются 

гладкими векторными полями 
, ,
f g h
C

, ограниченными на X . Параметр 

q
R

 является квази-постоянным неизвестным параметром, который должен 

быть идентифицирован в процессе адаптации. Состояние x  считаем доступным 

для измерения или наблюдения. 

Далее полагаем, что число неизвестных параметров совпадает с числом 

выходов и состояний: 
=
q
n . Если 
<
q
n , то всегда можно выбрать n
q

 

фиктивных параметров 
1
{
,
,...
}= 0
q
q
n




, от которых будет зависеть функция 

( , )
f x  . 

Целью управления является асимптотическое обнуление выхода 
( )
0
y t 
. 

Считаем, что система имеет единичную относительную степень 
=1
jr
 по 

каждому выходу 
j
y , т.е. в области фазового пространства 
n
 
S
 по крайне 

мере для одной функции 
ig  верно 

 
0
g
j
i
L h 
 
(2) 

где 
=1
( )
( )
=
( ) =
( )
n
f
i
i
i

x
x
L
f x
f x
x
x







 – производная Ли функции  по 

полю f . 

Это означает, что по крайне мере один вход 
k
u  влияет на выход 
j
y  после 

одного дифференцирования. 

Если матрица 

 

1
1
1

1

( )
( )

( ) =
( )
( )

g
gm

g
n
g
n
n

L h x
L
h x

A x
L h
x
L
h
x





















 
(3) 

полноранговая, то исходная динамическая система (1) в области S 

эквивалентна системе: 

 

=1
=
=
( , )
( )
n

j
f
j
g
j
i
j
j
i
i

y
L h
L h
u
B
x
A
x
u


 



. 
(4) 

Нелинейная обратная связь 

 
1
=
( ) [
( , )]
u
A x
v
B x


  
(5) 

переводит в области S исходную нелинейную динамическую систему (1) 

в линейную: 

 
=
y
v

. 
(6) 

Управление линейной системой (6) тривиально и может быть реализовано 

в 
виде 
векторного 
пропорционального 
=
v
ky

 или 

пропорционально-интегрального 
регулятора. 
Такова 
сущность 
метода 

управления нелинейными аффинными системами, известного как линеаризация 

обратной связью [1]. 

 

Адаптация для нелинейно параметризованных неопределенностей 

 

В действительности, поскольку значение параметра   неизвестно, то 

линеаризация обратной связью может быть выполнена лишь приближенно с 

использованием некоторой текущей оценки ˆ . В таком случае, имеем 

следующее управление 

 
1
ˆ
=
( ) [
( , )]
u
A x
v
B x


 , 
(7) 

и динамику выхода с учетом пропорциональной обратной связи по выходу 

=
v
ky

 

 
ˆ
=
( , )
( , )
y
B x
B x
ky
 
 

. 
(8) 

Задача состоит в синтезе такой схемы адаптации для параметра ˆ , чтобы 

ˆ( )
limt
t

  вместе с основной целью управления 
( )
0
limt
y t


. 

Классической [2] является схема адаптации, в которой используется 

следующая динамика для ˆ( )t

 

 
ˆ =
(
)T
D B
y


 


, 
(9) 

где 
n n


 – положительно определенная матрица коэффициентов 

адаптации, 
n n
D B

 
 – матрица якобиана вектор-функции 
( , )
B x 
 по 

параметру  . 

Для упрощения дальнейшего анализа необходимо сделать несколько 

технических допущений: 

1. Для управляемой области фазового пространства 
n
x
 
S
 разность 

ˆ
( , )
( , )
B x
B x
 
  и управление 
ky

 таково, что система (8) асимптотически 

устойчива. 

2. Если число неизвестных параметров меньше выходов и состояний 
<
q
n

, то всегда можно выбрать n
q

 фиктивных параметров {
,...
}= 0
q
n


, от 

которых будет зависеть функция 
( , )
f x   так, чтобы 
=
rankD B
n

. 

 

Линеаризация по обратной связи для адаптации параметров 

 

На основе предположений 1 и 2 можно применить идею метода 

линеаризации обратной связью для получения динамики ˆ( )t

. 

Выполним еще одно дифференцирование выхода y  в форме (8) по 

времени: 

 
ˆ
ˆ
ˆ
= (
( , )
( , ))
( , )

ˆ
ˆ
ˆ
=
( , , )
( , )

x
x
y
D B x
D B x
x
D B x
ky

x
D B x
k y





 
 

  

  
  









 
(10) 

Далее выполним подстановку 

 
1
ˆ
ˆ
= (
( , ))
D B x
k
y








, 
(11) 

которая приводит динамику (10) к виду 

 
ˆ
=
( , , )
y
x
k
y
k y

  






. 
(12) 

Поскольку известны верхняя и нижняя границы 
ˆ
( , , )
min
max
x

  



, то 

коэффициенты k  и k  могут быть подобраны так, чтобы обеспечить 

устойчивость и заданные характеристики переходных процессов адаптации 

параметра  . Слагаемое 
ˆ
( , , )
x  

 в (12) можно рассматривать как внешнее 

возмущение в линейной системе. Обозначив 
ˆ
=
( , , )
x

 

 и 
=
z
y , получим 

 

1
=
=
1
0
0

=

z
k z
k
y
k
k
z
y
z
y

z
z
P
Q
y
y



 


 









 









 







 






















 
(13) 

О линейной системе (13) можно сказать, что она всегда устойчивая для 

> 0
k
 и 
> 0
k
, поскольку собственные числа матрицы P равны 

 

2
4
( ) =
2
2
k
k
k
P





, 
(14) 

из чего следует, что для апериодичности переходных процессов 

необходимо выбирать 

 
2 > 4
k
k. 
(15) 

Установившиеся значения получаются при 
= 0
y
 и 
= 0
z
: 

 
( ) = 0, ( ) =
z
y
k




, 
(16) 

поскольку 
0
   при ˆ  , то 
( )
0
y  
. 

Таким образом, алгоритм адаптации вида (11) асимптотически решает 

задачу идентификации вектора неизвестных параметров   для обнуления 

выхода y . 

 

Пример применения метода 

Рассмотрим пример применения изложенного метода для системы с тремя 

состояниями и двумя неопределенными параметрами: 

 

1
1 1
2
2
1
1
1
2
2
1
1
1 2 2
2
2
2

3
1
2
3
3
3
3

= sin(
)
(
1)
=
( , )

= (
)
exp(
)
=
( , )
=
=
( , )

=

x
x
x
u
f x
u

x
x
x x
u
f
x
u
x
x
x
x
u
f
x
u

y
x




 
 

 



 



 





 
(17) 

где вектор параметров 
= (1,2)T

 неизвестен для регулятора. 

Для простоты и без потери общности был выбран пример с 
=
y
x , 
3
=
A
I  и 

=
B
f , поскольку приведение системы к виду (4) с помощью линеаризующей 

обратной связи (5) является аспектом метода линеаризации обратной связи, а не 

адаптивного управления. 

Поскольку число состояний системы не совпадает с числом параметром, то 

необходимо ввести еще один фиктивный параметр 
3 = 0

, модифицировав 

уравнение состояния для 
3x : 

 
3
1
2
3
3
3
3
3
=
=
( , )
x
x
x
x
u
f
x
u


  
 

. 
(18) 

Применение преобразования координат (7) дает 

 

1
1 1
2
2
1 1
2
2
1 1
2
2
2
1
1
1 2 2
1
1
1 2 2
2 2

3
3
3
3 2

ˆ
ˆ
= sin(
)
(
1)
sin(
)
(
1)
ˆ
ˆ
= (
)
exp(
)
(
)
exp(
)
ˆ
=

y
x
x
x
x
k y

y
x
x x
x
x x
k y

y
k y




 



 

 



 




   







 
(19) 

После еще одного дифференцирования (19) для приведения к виду (10) 

получаем: 

1 1
1
2
1

2
1
1
1 2
1 2 2

3

ˆ
cos(
)
1
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
( , , )
2(
)
exp(
)
0
0
0
1

ˆ
ˆ
ˆ
=
( , , )
( , )

x x
x
y

y
x
x
x x
x x
k y
y

x
D f x
k y












  
 

 
















  
  














 (20) 

Финальным шагом является задание закона адаптации (11) для системы 

(20) 

 
1
ˆ
ˆ
= (
( , ))
D f x
k
y








. 
(21) 

В качестве коэффициентов k  и k по критерию (15) выбраны 
=
= 5
k
k
. 

Начальное значение вектора ˆ(0) = (0,0,0)T

. 

На рисунке 1 изображена динамика выходов 
( )
y t  для управления без 

адаптации с ˆ(0) = (0,0,0)T

. Очевидно, что задача обнуления выхода 
0
y 
 

остается нерешенной ( 1
0.5
y 
). На рисунке 2 изображена динамика выходов 

( )
y t  для управления с адаптацией. Из результатов следует, что задача обнуления 

выходов y  решается за счет правильной идентификации параметров  . На 

рисунке 3 показана динамика параметров ˆ( )t

. Интересно заметить, что 

параметр 
1ˆ  принимает значение, отличное от искомого 
1 =1

. С точки зрения 

адаптивного управления такая ситуация приемлема, поскольку задача 

идентификации параметров часто является некорректно поставленной и 

допускает множество решений. 

 

Рисунок 1. Динамика выходов 
( )
y t  без адаптации параметров.  

 

 

 
 

Рисунок 2. Динамика выходов 
( )
y t  с адаптацией параметров.  

 

 

 
 

Рисунок 3. Динамика изменения параметров ˆ( )t

 во время адаптации.  

 

 

Заключение 

В работе рассмотрен новый алгоритм адаптивного управления аффинными 

нелинейными системами. Он отличается от известных тем, что динамика выхода 

замкнутой системы подчиняется линейной модели с возмущениями и может 

быть модифицирована для придания желаемых характеристик настройкой 

линейного регулятора для системы второго порядка. 

Также предложенный подход концептуально объединяет управление 

линеаризацией по обратной связи с адаптивным управлением и показывает, что 

оба типа регулирования можно рассматривать как разновидности инверсии 

системы по входу. 

Дальнейшая работа будет сосредоточена на обобщении предложенного 

подхода для систем с относительной степенью выходов, большей единицы. 

Также предполагается применение методов продолжения по параметру [3] для 

регуляризации возможной сингулярности линеаризующего преобразования. 

 

Список литературы 

1. Alberto Isidori. Nonlinear Control Systems, – NY: Springer, 1995, – 564 pp.  

2. Тюкин И.Ю., Терехов В.А. Адаптация в нелинейных динамических 

системах, – М.: URSS, 2008 – 384 с.  

3. A. Borisevich, M. Krupskaya, 'Some aspects of numerical continuation 

methods in control of nonlinear affine systems', Proc. Int. Symp. Applied Natural 

Sciences 2011, Trnava, 2011, pp. 111-115.