Геометрия и графика, 2014, № 1

Г Е О М Е Т Р И Я
И  Г Р А Ф И К А

Т О М  2  •  В Ы П У С К  1  •  2 014

G E O M E T R Y  &  G R A P H I C S

Н А У Ч Н О  М Е Т О Д И Ч Е С К И Й  
Ж У Р Н А Л  
 
 
 
 
 
W W W . N A U K A R U . R U

I S S N  2 3 0 8 - 4 8 9 8

Г Е О М Е Т Р И Я  И  Г РА Ф И К А

Свидетельство о регистрации 
средства массовой информации
от 4 июля 2012 г. ПИ № ФС77-50523

Издатель: 
ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127282, Москва, ул. Полярная, 
д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 380-05-40, 380-05-43 (доб. 501) 
Факс: (495) 363-92-12
E-mail: books@infra-m.ru
http://www.infra-m.ru

Главный редактор:
Сальков Н.А., канд. техн. наук, 
профессор МГАХИ им. В.И. Сурикова

Выпускающий редактор: 
Путкова А.В.

Отдел подписки: 
Назарова М.В.
Тел.: (495) 363-42-60, доб. 249
e-mail: podpiska@infra-m.ru

© ИНФРА-М, 2014

Подписано в печать 10.03.2014. 
Формат 60x90/8. Бумага офсетная.
Тираж 1000 экз. Заказ № 

САЙТ: www.naukaru.ru 
E-mail: mag4@naukaru.ru

СОДЕРЖАНИЕ

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ
Сальков Н.А.
Графо-аналитическое решение некоторых частных 
задач квадратичного программирования  . . . . . . . . . . . . .3

Короткий В.А. 
Двойное прикосновение в пучке поверхностей 
второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

МЕТОДИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ 
ПРЕПОДАВАНИЯ

Волошинов Д.В.
О перспективах развития геометрии 
и ее инструментария . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

Лепаров М.Н., Попов М.Х.
Состояние и тенденции геометро-графической 
подготовки как компоненты инженерного 
образования в Болгарии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

Столбова И.Д.
Актуальные проблемы графической подготовки 
студентов в технических вузах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

Парвулюсов Ю.Б.
Применение компьютерной графики 
при курсовом проектировании 
оптических приборов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

Тихонов-Бугров Д.Е.
О некоторых проблемах графической подготовки 
в технических вузах (взгляд из Санкт-Петербурга)  . . .46

2014. Том 2. Вып. 1
Научно-методический журнал

Выходит 4 раза в год

Издается при поддержке:
Московского государственного университета тонких химических технологий (МИТХТ)  
им. М.В. Ломоносова, Московского государственного академического художественного института (МГАХИ) им. В.И. Сурикова, Национального 
исследовательского университета «Московский 
государственный строительный университет» 
(НИУ МГСУ), Национального исследовательского технологического университета «МИСиС»

2014. Vol. 2. Issue 1
Scientific and methodological journal

Подписной индекс агентства «Роспечать» 25181

GEOMETRY & GRAPHICS

ISSN 2308-4898

DOI 10.12737/issn.2308-4898

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ 

Бородкин Николай Николаевич, д-р техн. наук, про
фессор.

 
Тульский государственный университет, Тула (Россия).

 
Tula State University, Tula (Russia).

Виноградов Виктор Никонович, д-р пед. наук, про
фессор.

 
Витебский государственный университет имени 
П.М. Машерова (Беларусь).

 
Vitebsk State University named after P.M. Masherov 
(Belarus).

Волков Владимир Яковлевич, д-р техн. наук, про
фессор.

 
Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия, Омск (Россия).

 
Siberian State Automobile and Highway Academy, 
Omsk (Russia).

Волошинов Денис Вячеславович, д-р техн. наук, 

профессор.

 
Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций, Санкт-Петербург (Россия).

 
Saint-Petersburg State University of Telecommunications, 
St. Petersburg (Russia).

Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. 

наук, доцент.

 
Московский государственный университет тонких 
химических технологий имени М.В. Ломоносова, 
Москва (Россия).

 
Moscow State University of Fine Chemical Technology 
named after M.V. Lomonosov, Moscow (Russia).

Дворецкий Александр Тимофеевич, д-р техн. наук, 

профессор.

 
Крымская академия природоохранного и курортного строительства, Симферополь (Россия).

 
Crimean Academy for Environmental and Resort 
Construction, Simferopol (Россия).

Иванов Геннадий Сергеевич, д-р техн. наук, профес
сор.

 
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана, Москва (Россия).

 
Moscow State Technical University named after 
N.E. Bauman, Moscow (Russia).

Лепаров Михаил Николаевич, канд. техн. наук, про
фессор.

 
Софийский технический университет, София 
(Болгария).

 
Technical University of Sofia, Sofia (Bulgaria).

Павлова Альбина Абрамовна, д-р пед. наук, профес
сор.

 
Московский государственный педагогический 
университет, Москва (Россия).

 
Moscow State Pedagogical University, Moscow (Russia).

Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, про
фессор.

 
Московский государственный университет геодезии и картографии, Москва (Россия).

 
Moscow State University of Geodesy and Cartography, 
Moscow (Russia).

Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, про
фессор.

 
Московский государственный академический художественный институт имени В.И. Сурикова, Москва 
(Россия).

 
Moscow State Academic Art Institute named after 
V.I. Surikov (Russia).

Скидан Иван Андреевич, д-р техн. наук, профессор.
 
Донецкий национальный технический университет, 
Донецк.

 
Donetsk National Technical University, Donetsk.

Присланные рукописи не возвращаются.

Точка зрения редакции может не совпадать с мнением авторов 
публикуемых материалов.

Редакция оставляет за собой право самостоятельно подбирать 
к авторским материалам иллюстрации, менять заголовки, 
сокращать тексты и вносить в рукописи необходимую 
стилистическую правку без согласования с авторами. 
Поступившие в редак цию материалы будут свидетельствовать 
о согласии авторов принять требования редакции.

Перепечатка материалов допускается с письменного разрешения 
редакции.

При цитировании ссылка на журнал «Геометрия и графика» 
обязательна.

Редакция не несет ответственности за содержание рекламных 
материалов.

Волкова М.Ю., Егорычева Е.В.
Графическая грамотность инженера как способ 
получения фундаментальных профессиональных 
знаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53

ИСТОРИЯ НАУКИ И ТЕХНИКИ. 
БИОГРАФИИ
Волошин А.Э., Вышнепольский В.И., 
Цуранов Н.М.
Ученый, изобретатель, заведующий кафедрой . . . . . . .58

Информация для авторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66

Столбова Ирина Дмитриевна, д-р техн. наук, доцент.
 
Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь (Россия).

 
Perm National Research Polytechnic University, Perm 
(Russia).

Щеглов Георгий Александрович, д-р техн. наук, 

профессор.

 
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана, Москва (Россия).

 
Moscow state technical University named after 
N.E. Bauman, Moscow (Russia).

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 

Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, про
фессор. Московский государственный академический художественный институт имени В.И. Сурикова, 
Москва (Россия), гл. редактор.

Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. 

наук, доцент. Московский государственный университет тонких химических технологий имени 
М.В. Ломоносова, Москва (Россия), зам. гл. редактора.

Кадыкова Нина Серафимовна, канд. техн. наук, до
цент. Московский государственный университет 
тонких химических технологий имени М.В. Ломоносова, Москва (Россия), ответственный секретарь.

Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн наук, про
фессор. Московский государственный педагогический университет, Москва (Россия).

GEOMETRY & GRAPHICS (2014). Vol. 2. Iss. 1. 3–8 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2014

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ

УДК 519.853.32:514.18                       DOI: 10.12737/3842

Н.А. Сальков
Канд. техн. наук, профессор,
Московский государственный академический 
художественный институт имени В.И. Сурикова,
Россия, 109004, г. Москва, Товарищеский переулок, д. 30

Графо-аналитическое решение 
некоторых частных задач 
квадратичного программирования

Аннотация. Задачи квадратичного программирования 

являются одним из случаев задач математического программирования. Решение задач математического программирования имеет большое значение, так как это — задачи на 
оптимизацию решения поставленных проблем из множества возможных. Различают линейное, нелинейное, динамическое и др. виды задач математического программирования. 
К рассмотрению предлагается графо-аналитическое решение 
частных задач квадратичного программирования, составляющих в своей совокупности собственно задачи квадратичного программирования для двух и трех независимых переменных. Всего рассмотрено восемь частных задач.

Ключевые слова: квадратичное программирование, мате
матическое программирование, аналитическая геометрия, 
квадратичные формы, матрицы, графо-аналитическое решение задач.

N.A. Salkov
Ph.D. of Engineering, Professor,
Moscow State Academic Art Institute named after V.I. Surikov,
30 Tovarischesky per., Moscow, 109004, Russia

Graph-analytic Solution of Some Special 
Problems of Quadratic Programming

Abstract. Quadratic programming problems are one of special 

cases of mathematical programming problems. Mathematical programming problems solution is of great importance, because these 
problems are those of optimizing of solution related to presented 
issues from multitude of possible ones. The mathematical programming problems are linear, nonlinear, dynamic and others. It is 
suggested to consider a graph-analytic solution of quadratic programming’s special problems, which, taken together, constitute the 
quadratic programming problems for two and three variables. A 
total of eight special problems have been considered.

Keywords: quadratic programming, mathematical programming, 

analytical geometry, quadratic forms, matrices, problems’ graphanalytic solution.

Исследование различных процессов начинается 

с составления их математических моделей: составляются уравнения и неравенства, которые связывают между собой постоянные и переменные показатели. Эта система математических зависимостей 
является системой ограничений, в которых, меняя 
переменные, можно получить экстремальные варианты решений. Среди математического программирования выделяются задачи линейного программи
рования, где все составляющие представляют собой 
линейные зависимости, и квадратичного программирования, в котором составляющие могут быть 
составлены из квадратичных целевых функций и 
линейных ограничений. Квадратичное программирование относится к нелинейному программированию.

Задача квадратичного программирования в ма
тричной записи формулируется следующим образом:

 
min{G(Х)|AХ ≤ b, x ≥ 0}, 
(1)

где А — прямоугольная m × n матрица коэффициентов при n независимых переменных;

 Х — матрица-столбец из n независимых перемен
ных;

 b — матрица-столбец из m постоянных величин;
 G(Х) — квадратичная целевая функция.
При графо-аналитическом решении задач ква
дратичного программирования возникает ряд частных 
геометрических задач, составляющих основную. Так, 
задачи с двумя независимыми переменными Х1 и Х2 
[6, 7] решаются при помощи трех частных задач:

1) определение точки пересечения N двух задан
ных прямых;

2) прохождение преобразованной в гомотетии 

коники через имеющуюся точку N с известными 
координатами Х1N, X2N;

3) касание преобразованной в гомотетии коники 

с заданной прямой.

Задачи с тремя независимыми переменными Х1, 

Х2, Х3 предполагают решение следующих частных 
задач:

4) определение точки пересечения N трех задан
ных плоскостей;

5) определение прямой LM — линии пересечения 

двух заданных плоскостей;

6) прохождение преобразованной в гомотетии 

квадрики через известную точку N с координатами 
Х1N, Х2N, Х3N;

7) касание преобразованной в гомотетии квадри
ки с имеющейся прямой LM;

8) касание преобразованной в гомотетии квадри
ки с заданной плоскостью.

Такие частные задачи возникают при решении 

задач квадратичного программирования традиционным путем, когда, в случае наличия двух независимых 
переменных, они представляют собой с геометрической точки зрения проекцию трехмерного пространства на плоскость, образованную осями Х1 и Х2 [7, 
с. 120, рис. 6], при этом преобразованная в гомотетии 
коника имеет центр гомотетии в центре первоначально заданной целевой функции. В случае наличия 
трех независимых переменных задачи квадратично

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2014 
GEOMETRY & GRAPHICS (2014). Vol. 2. Iss. 1. 3-8

го программирования представляют собой проекцию 
четырехмерного пространства на трехмерное с осями 
проекций Х1, Х2 и Х3.

Рассмотрим каждую из поставленных задач.

Задача 1. 
Решается элементарно [2]. Дано:

 
А1х1 + А2х2 + А3 = 0; 
(2)

 
В1х1 + В2х2 + В3 = 0, 
(3)

где (2), (3) — уравнения двух прямых на плоскости 
Х1ОХ2. 

В результате решения данной системы уравнений 

получим:

x

A
A
B
B

A
A
B
B

x

A
A
B
B

A
A
B
B

1

3
2

3
2

1
2

1
2

2

1
3

1
3

1
2

1
2

= −
= −
;
.
(4, 5)

Задача 2. 
Решается подстановкой известных координат 

точки N — X1N, X2N в целевую функцию G.

Задача 3.
Пусть задано:

G
X

a

X

b
=
+
1
2

2
2
2

2 ;
(6)

АХ1 + ВХ2 + С = 0, 
(7)

где (6) — целевая функция, представляющая собой 
эллиптический в данном случае параболоид трехмерного пространства с координатными осями Х1, 
Х2 и G, а при проецировании на плоскость Х1ОХ2 для 
каждого конкретного значения G — эллипс с центром 
гомотетии в точке О;

 (7) — линейное ограничение, в системе Х1ОХ2 — 

прямая линия.

Требуется найти точку касания К преобразован
ного в гомотетии эллипса (6) с прямой (7).

Для решения задачи (рис. 1) из центра гомотетии 

О проводим прямую ОL1L2, перпендикулярную заданной прямой (7). 

Лучи О1L1 и О2L2 дают точку М, являющуюся точ
кой эллипса (6) [8, 9], при этом прямая MN, проведенная параллельно ОL1L2, будет являться нормалью 
эллипса. Это очевидно, поскольку угол О1МО2 равен 
сумме углов L2L1М и L1L2М, которые равны между 
собой и одновременно равны углу NML2, а прямая 
MN, являясь биссектрисой угла О1МО2, одновременно является и нормалью к эллипсу (6) в точке М [5]. 
Точка М — ближайшая к прямой (7) точка эллипса 
(6), поэтому при гомотетическом преобразовании из 
центра О будем иметь точку К — точку касания преобразованного в гомотетии эллипса (6) с прямой (7), 
полученную как точку пересечения прямой ОМ с 
прямой (7).

Для аналитического определения координат точ
ки К добавим к уравнениям (6) и (7) следующие:
 
ВХ1 – АХ2 = 0; 
(8)

X
a
b
X
a
1
2
2 1 2

2
2
2
−
−
+
=
;
(9)

X
a
b
X
a
1
2
2 1 2

2
2
2
+
−
+
=
,
(10)

где (8) — прямая ОL1L2;

 (9) — окружность радиуса а с центром в точке О1;
 (10) — окружность радиуса а с центром в точке О2.
Решая систему уравнений (6)–(10), находя после
довательно точки L1, L2, М и К, получаем координаты точки касания К и величину целевой функции G:

X
CAa

A a
B b
1

2

2
2
2 2
= −

+

;
(11)

X
CBb

A a
B b
2

2

2
2
2 2
= −
+
;
(12)

G
C

A a
B b
=

+

2

2
2
2 2 .
(13)

Если целевая функция представляет собой гипер
болический параболоид:

G
X

a

X

b
=
−
1
2

2
2
2

2 ,
(14)

то, повторив все рассуждения, окончательно получим:

X
CAa

A a
B b
1

2

2
2
2 2
= −

−

;
(15)

X
CBb

A a
B b
2

2

2
2
2 2
= −

−

;
(16)

G
C

A a
B b
=

−

2

2
2
2 2 .
(17)

Наконец, если целевая функция содержит одну 

из независимых переменных в первой степени, например, Х2:

G
aX
bX
=
+
1
2
2,
(18)

Ax1 + Bx2 + C = 0

N

K

x1

M

O2
O
O1

L1

L2

x2

Рис. 1

то в результате будем иметь:

X
Ab
Ba
1
2
=
;
(19)

X
C
B
A b

B a
2

2

2
2
= −
+
;
(20)

G
Cb
B
A b

B a
= −
+
2 2

2
4
.
(21)

Когда Х1 и Х2 представлены в целевой функции 

только в первой степени, задача превращается в 
задачу линейного программирования, которое в настоящее время представляет стройную систему [6].

В приведенных примерах правые части целевой 

функции приведены к каноническому виду. Рассмотрим 
общий случай, когда заданная целевая функция является общим уравнением второй степени.

Дано:

G
a X
a X
a X X
a X
a X
a
=
+
+
+
+
+
+
=
11
1
2
22
2
2
12
1
2
13
1

23
2
33

2
2
2
0;
(22)

 
АХ1 + ВХ2 + С = 0. 
(7)

Составим уравнение прямой, касательной к (22) 

[1]:

(a11X01 + a12X02 + a13)X1 + (a12X01 + a22X02 + a23)X2 +

+ a13X01 + a23X02 + a33 = 0.   
(23)

Условие параллельности прямых (23) и (7):

a X
a X
a
A
a X
a X
a
B

11
01
12
02
13
12
01
22
02
23
+
+
=
+
+
.
(24)

Решая совместно систему уравнений (7) и (24), 

получим координаты точки касания К преобразованной в гомотетии коники (22) с заданной прямой 
(7):
 
X1 = А1/А3;  X2 = А2/А3; 
(25, 26)

G
a A
a A
a A
a A A

a A A
a A A
A

=
+
+
+
+
(

+
+
)

11
1
2
22
2
2
33
3
2
12
1
2

13
1
3
23
2
3
3
2
2

2
2
/
,

(27)

где А1 = АВа23 + ВСа12 – В2а13 – АСа22;                  (28)

А2 = АВа13 + АСа12 – А2а23 – ВСа11;                  (29)
А3 = А2а22 – 2АВа12 + В2а11.                               (30)

При выводе на графическую периферию компью
тера задача квадратичного программирования приобретает необходимую наглядность. Одним из алгоритмов решения может быть следующий.

1. Вычерчивается область допустимых решений — 

многоугольник и целевая функция при G = 1.

2. Визуально выбирается одна из сторон многоу
гольника, наиболее вероятная для касания с преобразованной в гомотетии целевой функцией.

3. Компьютеру дается команда определить и за
фиксировать на чертеже точку касания с выбранной 
прямой, а также с другими прямыми (если многоугольник выпуклый), или прохождение через вершину многоугольника (если многоугольник не выпуклый) и выбрать оптимальный вариант.

Для трехмерного случая при трех независимых 

переменных Х1, Х2 и Х3, содержащихся в целевой 
функции и в системе ограничений, формулы несколько усложняются, однако остаются простыми.

Задача 4. 
Решается элементарно [5]. Дано:

 
А1Х1 + А2Х2 + А3Х3 + А4 = 0; 
(31)

 
В1Х1 + В2Х2 + В3Х3 + В4 = 0; 
(32)

 
С1Х1 + С2Х2 + С3Х3 + С4 = 0. 
(33)

В результате решения получим:

X
X
X
X
X
X
1
2
3
1
2
3
=
=
=
∆
∆
∆
∆
∆
∆
;
;
, (34, 35, 36)

где 

∆
∆
=
=

−
−
−

A
A
A
B
B
B
C
C
C

A
A
A
B
B
B
C
C
C
X

1
2
3

1
2
3

1
2
3

4
2
3

4
2
3

4
2
3

1
;
; (37, 38)

∆
∆
X
X

A
A
A
B
B
B
C
C
C

A
A
A
B
B
B
C
C
C

2
3

1
4
3

1
4
3

1
4
3

1
2
4

1
2
4

1
2
4
= −
= −
;
. (39, 40)

Задача 5. 
Задана система из двух уравнений:

A X
A X
A X
A
B X
B X
B X
B
1
1
2
2
3
3
4

1
1
2
2
3
3
4

0
41

0
42
+
+
+
=
+
+
+
=
;
(
)

.
(
)

Решая ее, получаем два уравнения искомой прямой:

X

A
A
B
B X
A
A
B
B

A
A
B
B

2

1
3

1
3
1
4
3

4
3

2
3

2
3

=

−
+

;
(43)

X

A
A
B
B X
A
A
B
B

A
A
B
B

3

2
1

2
1
1
2
4

2
4

2
3

2
3

=

−
+

.
(44)

Задача 6. 
Решается подстановкой известных координат 

точки N (Х1N, X2N, X3N) в целевую функцию G.

Задача 7. 
Пусть задана целевая функция, приведенная к 

каноническому виду:

G
X

a

X

b

X

c
=
+
+
1
2

2
2
2

2
3
2

2 .
(45)

GEOMETRY & GRAPHICS (2014). Vol. 2. Iss. 1. 3–8 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2014

Уравнение плоскости, касательной к (45) [1, 3]:

X
X

a

X
X

b

X
X

c
G
01
1
2
02
2
2
03
3
2
+
+
=
.
(46)

Условие параллельности плоскости (46) и прямой 

(43), (44):

X

a

A
A
B
B
X

b

A
A
B
B
X

c

A
A
B
B

01
2
3

2
3

02
3
1

3
1

03
1
2

1
2
2
2
2
0
+
+
= . (47)

Решая совместно (43), (44) и (45), получим:

X

A
A
B
B
A
A
B
B a c
A
A
B
B
A
A
B
B a b

A
A
B
B
b c

1

4
3

4
3

1
3

1
3

2 2
2
4

2
4

2
1

2
1

2 2

2
3

2
3

2
2 2
=
+

+ A
A
B
B
a c
A
A
B
B
a b
1
3

1
3

2
2 2
2
1

2
1

2
2 2
+

.(48)

Формулы (48), (43), (44) и (45), заложенные в 

компьютерную программу, дадут искомые величины 
Х1, Х2, Х3 и G.

Если одна из независимых переменных в целевой 

функции содержит отрицательный знак:

G
X

a

X

b

X

c
=
+
−
1
2

2
2
2

2
3
2

2 ,
(49)

то Х1 определяется по формуле:

X

A
A
B
B
A
A
B
B a c
A
A
B
B
A
A
B
B a b

A
A
B
B
b c

1

4
3

4
3

1
3

1
3

2 2
2
4

2
4

2
1

2
1

2 2

2
3

2
3

2
2 2
=
−

+ A
A
B
B
a c
A
A
B
B
a b
1
3

1
3

2
2 2
2
1

2
1

2
2 2
−

. (50)

Искомые величины Х1, Х2, Х3 и G определяются 

по формулам (50), (43), (44) и (49).

При задании целевой функции с двумя отрица
тельными членами:

G
X

a

X

b

X

c
=
−
−
1
2

2
2
2

2
3
2

2 ,
(51)

Х1 определяется по формуле:

X

A
A
B
B
A
A
B
B a c
A
A
B
B
A
A
B
B a b

A
A
B
B
b c

1

4
3

4
3

1
3

1
3

2 2
2
4

2
4

2
1

2
1

2 2

2
3

2
3

2
2 2
=
−
−

−
−
A
A
B
B
a c
A
A
B
B
a b
1
3

1
3

2
2 2
2
1

2
1

2
2 2
.(52)

Искомые величины Х1, Х2, Х3 и G определяются 

по формулам (52), (43), (44) и (51).

Если целевая функция содержит одну из незави
симых переменных в первой степени:

G
X

a

X

b
cX
=
−
−
1
2

2
2
2

2
3 ,
(53)

Х1 определяется по формуле:

X

A
A
B
B
A
A
B
B a
A
A
B
B
A
A
B
B a b c

A
A
B
B
b
A
1

4
3

4
3

1
3

1
3

2
2
3

2
3

2
1

2
1

2 2

2
3

2
3

2
2

1
2
=
−

+
1
3

1
3

2
2
A
B
B
a

.(54)

При задании

G
X

a

X

b
cX
=
−
−
1
2

2
2
2

2
3
(55)

Х1 определяется по формуле:

X

A
A
B
B
A
A
B
B a
A
A
B
B
A
A
B
B a b c

A
A
B
B
b

1

4
3

4
3

1
3

1
3

2
2
3

2
3

2
1

2
1

2 2

2
3

2
3

2
2

1
2
=
−
−

− A
A
B
B
a
1
3

1
3

2
2
.(56)

Пусть целевая функция задана общим уравнени
ем второго порядка:

G
a X
a X
a X
a X X
a X X
a X X
a X
=
+
+
+
+
+

+
+
+
11
1
2
22
2
2
33
3
2
12
1
2
13
1
3

23
2
3
14
1

2
2
2
2
2
2
24
2
34
3
44
a X
a X
a
+
+
.

(57)

Плоскость, касательная (57):

a X
a X
a X
a
X
a X
a X
a X
a
X

11
01
12
02
13
03
14
1

12
01
22
02
23
03
24
2

+
+
+
(
)
+
+
+
+
+
(
)
+
+
+
+
+
(
)
+
+
+
+
+
=
a X
a X
a X
a
X
a X
a X
a X
a

13
01
23
02
33
03
34
3

14
01
24
02
34
03
44
0.

(58)

Условие параллельности плоскости (58) и прямой 

(43), (44):

a X
a X
a X
a
A
A
B
B

a X
a X
a X
a
A

11
1
12
2
13
3
14
2
3

2
3

12
1
22
2
23
3
24
3

+
+
+
(
)
+

+
+
+
+
(
)
A
B
B

a X
a X
a X
a
A
A
B
B

1

3
1

13
1
23
2
33
3
34
1
2

1
2
0

+

+
+
+
+
(
)
= .

(59)

Решая совместно (59), (43) и (44), получим:

X

A
A
B
B
a
A
A
B
B
a
A
A
B
B
a
A
A
B
B

A
A
B

1

2
3

2
3
12
3
4

3
4
13
2
4

2
4
14
2
3

2
3

2
3
=
−
−
−

2
3
11
2
3

2
3
12
3
1

3
1
13
1
2

1
2
B
a
A
A
B
B
a
A
A
B
B
a
A
A
B
B
+
+
+

−
−
−
−

+

A
A
B
B
a
A
A
B
B
a
A
A
B
B
a
A
A
B
B

A
A
B

3
1

3
1
22
3
4

3
4
23
2
4

2
4
24
2
3

2
3

3
1

3
B
a
A
A
B
B
a
A
A
B
B
a
A
A
B
B
1
21
2
3

2
3
22
3
1

3
1
23
1
2

1
2
+
+
+

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2014 
GEOMETRY & GRAPHICS (2014). Vol. 2. Iss. 1. 3-8

−
−
−
+

A
A
B
B
a
A
A
B
B
a
A
A
B
B
a
A
A
B
B

A
A
B
B

1
2

1
2
32
3
4

3
4
33
2
4

2
4
34

2
3

2
3

1
2

1
2
31
2
3

2
3
32
3
1

3
1
33

1
2

1
2

a
A
A
B
B
a
A
A
B
B
a
A
A
B
B
+
+
. (60)

Задача 8. 
Как и в предыдущем примере, рассмотрим после
довательно все случаи задания целевой функции.

Пусть дано:

G
X

a

X

b

X

c
=
+
+
1
2

2
2
2

2
3
2

2 .
(45)

 
АХ1 + ВХ2 + СХ3 + D = 0. 
(61)

Условие параллельности касательной к (45) пло
скости (46) и заданной плоскости (61):

X

Aa

X

Bb

X

Cc

01
2
02
2
03
2
=
=
.
(62)

Решая совместно (61), (62) и учитывая результаты 

в (45), получим:

X
DAa

A a
B b
C c
1

2

2
2
2 2
2 2
= −

+
+

;
(63)

X
DBb

A a
B b
C c
2

2

2
2
2 2
2 2
= −

+
+

;
(64)

X
DCc

A a
B b
C c
3

2

2
2
2 2
2 2
= −
+
+
;
(65)

G
D

A a
B b
C c
= −

+
+

2

2
2
2 2
2 2 .
(66)

Дано — одна из независимых переменных в це
левой функции содержит отрицательный знак:

G
X

a

X

b

X

c
=
+
−
1
2

2
2
2

2
3
2

2 ,
(49)

Повторяя рассуждения, приведенные выше, по
лучаем следующие результаты:

X
DAa

A a
B b
C c
1

2

2
2
2 2
2 2
= −

+
−

;
(67)

X
DBb

A a
B b
C c
2

2

2
2
2 2
2 2
= −

+
−

;
(68)

X
DCc

A a
B b
C c
3

2

2
2
2 2
2 2
= −

+
−

;
(69)

G
D

A a
B b
C c
= −
+
−

2

2
2
2 2
2 2 .
(70)

При наличии одного из независимых переменных 

в целевой функции в первой степени:

G
a X
a X
a X
=
+
+
1
1
2
2
2
2

3
3
2
(71)

получим:

X
Aa
Ca
X
Ba
Ca
1
3

1
2
3

1

=
=
;
;

(72, 73)

X
CDa a
A a a
B a a

C a a
3
1 2
2
2 3
2
1 3
2
1 2
= −
+
+
;
(74)

G
CDa a a
A a a
B a a

C a a
= −
+
+
2
1 2 3
2
2 3
2
2
1 3
2

2
1 2
.
(75)

Наконец, рассмотрим общий случай, когда за
данная целевая функция является общим уравнением второй степени.

Дано:

G
a X
a X
a X
a X X
a X X
a X X
a X
=
+
+
+
+
+

+
+
+
11
1
2
22
2
2
33
3
2
12
1
2
13
1
3

23
2
3
14
1

2
2
2
2
2
2
24
2
34
3
44
a X
a X
a
+
+
.

(57)

 
АХ1 + ВХ2 + СХ3 + D = 0. 
(61)

В результате решения системы уравнений (61) и 

(76) — условия параллельности плоскостей (58) и 
(61):

a X
a X
a X
a
A
a X
a X
a X
a
B
a X
a X

11
1
12
2
13
3
14

12
1
22
2
23
3
24

13
1
23

+
+
+
=

=
+
+
+
=

=
+
2
33
3
34
+
+
a X
a
C

(76)

получим:

X
ABC A a
A a
BCC
BA
CA
A A D

AA A
BA A
CA A
1
1 34
2 24
14
2
1
1
2

1
2
2
3
1
3
=
+
(
)+
+
(
)−

+
+
;(77)

X
A X
C Ba
Aa

A
2
3
1
14
24

1
=
+
−
(
);
(78)

X
A X
B Ca
Aa

A
3
3
1
14
34

2
=
+
−
(
),
(79)

где

А1 = – ВСа12 + АСа22 – АВа23; 
(80)

А2 = – ВСа13 + АСа23 – АВа33; 
(81)

А3 = ВСа11 + АСа12 – АВа13. 
(82)

Подставляя (77), (78) и (79) в (57), получим зна
чение целевой функции G.

Алгоритм составления программы в интерактив
ном режиме с выводом на экран компьютера для 
придания задаче квадратичного программирования 
наглядности может быть следующим.

GEOMETRY & GRAPHICS (2014). Vol. 2. Iss. 1. 3–8 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2014

1. В аксонометрической проекции или на ком
плексном чертеже вычерчивается многогранник — 
область допустимых решений — и целевая функция: 
квадрика G.

2. Визуально выбирается грань, наиболее вероят
ная для касания с преобразованной в гомотетии 
квадрикой, исходя из того соображения, что при 
выборе минимума целевая функция и область ограничений должны иметь только одну общую точку.

3. Дается команда определить и зафиксировать 

на чертеже точку касания квадрики с выбранной 
плоскостью.

4. В случае пересечения квадрики с другими гра
нями компьютер получает команду на перебор имеющихся граней и выбор ближайшей к квадрике.

5. В случае если многогранник не является выпу
клым, ставится задача на перебор точек касания 
целевой функции к ребрам многогранника.

В статье даны алгоритмы решения для миними
зации целевой функции. При максимизации следует составить двойственную задачу, однако можно 
обойтись и имеющимися выкладками.

С помощью компьютера и графических программ 

можно визуализировать оптимизационные задачи 
для трех независимых переменных.

Сравнивая результаты, полученные для плоскост
ного решения, например, (10), (11), (12) с результатами, полученными для трехмерных задач — (63)–(66), 
можно развить исследования и получить формулы 
для n-мерного пространства, однако наглядность 
таких задач несколько теряется при использовании 
традиционных способов геометрического решения. 
С развитием теории многомерной геометрии, 
в CAD’овских системах можно будет визуализировать 
четырехмерную модель квадратичного программирования. Однако чем более высокая мерность имеет 
место быть, тем сложнее ее визуализировать, поэтому пятимерные модели в графических системах 
компьютера могут окончательно потерять наглядность. 
Однако математические выкладки, приведенные в 
данной работе и соответствующим образом дополненные, могут быть применены в любой n-мерной 
модели квадратичного программирования.

Литература

1. Бюшгенс С.С. Дифференциальная геометрия. М.-Л.: 

Государственное издательство технико-теоретической 
литературы, 1948.

2. Делоне Б.Н., Райков Д.А. Аналитическая геометрия. 

Т. 1. М.-Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948. 

3. Делоне Б.Н., Райков Д.А. Аналитическая геометрия. 

Т. 2. М.-Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1949. 

4. Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы. М.: 

Физматгиз, 1963. 

5. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. 

М.: Наука, 1972.

6. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое 

программирование. М.: Высшая школа, 1980. 

7. Кюнци Г.П., Крелле В. Нелинейное программирование. 

М.: Советское радио, 1965. 

8. Сальков Н.А. Об одном графическом построении ги
перболы // Прикладная геометрия и инженерная графика. Киев: Будiвельник, 1982. Вып. 34. C. 95–95.

9. Сальков Н.А. Прибор для вычерчивания кривых второ
го порядка. — Кривой Рог, 1986. Деп в УкрНИИНТИ, 
№ 1162Ук-86.

10. Сальков Н.А. Об одном построении коник // Сборник 

трудов 3-й Международной научно-методической конференции по инженерной геометрии и компьютерной 
графике. М.: МИТХТ, 2010. С. 28–32.

11. Сальков Н.А. Эллипс: касательная и нормаль // Геометрия 

и графика: Научно-методический журнал. М.: ИНФРА-М, 
2013. Т. 1. Вып. 1. С. 35–37.

References

1. Byushgens S. Differentsial'naya geometriya [Differential 

geometry]. Moscow-Leningrad: State publishing house of 
technical and theoretical literature Publ., 1948.

2. Delone B.N., Raikov D.A. Analiticheskaja geometrija. T. 1

[Analytic geometry. Volume 1]. Moscow-Leningrad: State 
publishing house of technical and theoretical literature Publ., 
1948. 

3. Delone B.N., Raikov D.A. Analiticheskaja geometrija. T. 2 

[Analytic geometry. Volume 2]. Moscow-Leningrad: State 
publishing house of technical and theoretical literature Publ., 
1949.

4. Efimov N.V. Kvadratichnye formy i matricy [Quadratic forms, 

and the matrix]. Moscow: Fizmatgiz Publ., 1963.

5. Efimov N.V. Kratkij kurs analiticheskoj geometrii [Short
course of analytical geometry]. Moscow: Nauka Publ., 1972.

6. Kuznetsov YU.N., Kuzubov V.I., Voloschenko A.B. Matema
ticheskoe programmirovanie [Mathematical programming]. 
Moscow: Vysshaya SHKOLA Publ., 1980.

7. Kyuntsi G.P., Krelle V. Nelinejnoe programmirovanie [Century 

Nonlinear programming]. Moscow: Sovetskoe radio Publ., 
1965.

8. Salkov N.A. Ob odnom graficheskom postroenii giperboly

[About one graphical building hyperbola]. Prikladnaja 
geometrija i inzhenernaja grafika [Applied geometry and 
engineering graphics]. Kiev.: Budivel’nik Publ., 1982. Issue 
34. Р. 95. (in Russian)

9. Salkov N.A. Device to plot the curves of the second order. 

Krivoy Rog, 1986. Deputies in UkrNIINTI, № 1162Ук-86. 
(in Russian)

10. Salkov N.A. About the same build, Konik. Sbornik trudov 

3-oj Mezhdunarodnoj nauchno-metodicheskoj konferencii po 
inzhenernoj geometrii i komp'juternoj grafike [Proceedings of 
the 3rd International scientific and methodological conference 
on engineering geometry and computer graphics]. Moscow: 
MITHT Publ., 2010. Р. 28–32. (in Russian)

11. Salkov N.A. Ellipse: the tangent and normal. Geometrija i 

grafika: Nauchno-metodicheskij zhurnal [Geometry and 
graphics: Scientific and methodical magazine]. Moscow: 
INFRA-M Publ., 2013. Vol. 1. Issue 1. Р. 35–37. (in Russian)

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2014 
GEOMETRY & GRAPHICS (2014). Vol. 2. Iss. 1. 3-8

УДК 514.142.24                                     DOI: 10.12737/3843

В.А. Короткий
Канд. техн. наук, доцент,
Южно-Уральский государственный университет,
Россия, 454080, г. Челябинск, пр-т Ленина, д. 76

Двойное прикосновение в пучке 
поверхностей второго порядка

Аннотация. Рассматривается пучок поверхностей второго 

порядка, находящихся в действительном или мнимом двойном 
прикосновении. Выполнен анализ всех возможных случаев 
распадения биквадратной кривой на две плоские кривые второго порядка. Дано синтетическое доказательство обобщенной 
теоремы Данделена.

Ключевые слова: биквадратная кривая, пучок конических 

сечений, мнимое прикосновение, инволюция, обобщенная 
теорема Данделена.

V.A. Korotkiy
Ph.D. of Engineering, Associate Professor,
South Ural State University
76 Lenin Prospect, Chelyabinsk, 454080, Russia

Double-Tap in a Beam of Second Order 
Surfaces

Abstract. A beam of second order surfaces which are in a real 

or imaginary double-tap is considered. The analysis of all possible 
events related to bi-quadratic curve disintegration in two plane 
curves of second order has been performed. The synthetic proof of 
generalized Dandelin theorem has been presented.

Keywords: bi-quadratic curve, beam of conic sections, imaginary 

touch, involution, generalized Dandelin theorem.

Введение. Теорема о двойном прикосновении 

поверхностей второго порядка (ПВП, квадрик), которая формулируется как геометрическое утверждение, имеет алгебраическое основание, поскольку 
речь идет об инцидентности фигур, задаваемых алгебраическими уравнениями. Комплексные («мнимые») решения алгебраических уравнений, не име
ющие прямых аналогов в геометрии, тем не менее, 
переносятся в геометрическую формулировку теоремы о двойном прикосновении ПВП. Утверждается, 
что наряду с действительными фигурами имеются 
мнимые точки, линии, поверхности, соответствующие 
мнимым алгебраическим образам. Например, две 
непересекающиеся ПВП, вписанные в третью ПВП, 
пересекаются по мнимой пространственной кривой 
четвертого порядка, распавшейся на две мнимые 
плоские кривые второго порядка.

Действительные и мнимые элементы в пучке 
квадрик
Даны поверхности второго порядка Φ1, Φ2 с урав
нениями F1(x, y, z) = 0, F2 (x, y, z) = 0, пересекающиеся по биквадратной кривой f. Поверхность Φλ с 
уравнением λF1 + (1 – λ)F2 = 0 при любом значении 
параметра λ также проходит через f. Изменяя λ, получаем пучок (однопараметрическое множество) 
квадрик Ψ, включающий в себя исходные поверхности Φ1 (при λ = 1) и Φ2 (при λ = 0). Через любую 
точку пространства проходит единственная квадрика пучка Ψ.

Если две ПВП пучка Ψ соприкасаются в точках 

U, V, то и все остальные квадрики этого пучка также 
соприкасаются в тех же самых точках. При этом биквадратная кривая f распадается на две плоские кривые a, b. Возможны три случая распадения: обе коники a и b действительные; одна из коник a, b действительная, другая — мнимая; обе коники a, b — 
мнимые.

Случай 1. Кривые a и b — действительные (рис. 1). 

При этом точки соприкосновения U, V могут быть 
действительными различными (рис. 1, а), действительными совпавшими (рис. 1, б), мнимыми сопряженными (рис. 1, в). Поверхности Φ1, Φ2, … Φλ, проходящие через a, b, на рис. 1 условно не показаны.

Произвольная плоскость Σ, проходящая через l = 

UV, пересекает квадрики пучка Ψ по кривым второго порядка e, g, …, образующим пучок χ. Если U, V

Рис. 1

GEOMETRY & GRAPHICS (2014). Vol. 2. Iss. 1. 9-14 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2014