Дифференциальные уравнения. Практикум

 
ISBN 978-985-06-2111-5 
© Издательство «Вышэйшая школа», 2012 
лено без разрешения издательства. 
Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или любой ее части не может быть осуществверситета (заведующий кафедрой доктор физико-математических наук, доцент А.П. Старовойтов); заведующий кафедрой высшей математики Белорусского государственного экономического университета доктор физико-математических 
наук, профессор М.П. Дымков  
Р е ц е н з е н т ы: кафедра дифференциальных уравнений и теории функций Гомельского государственного униА в т о р ы:  Л.А. Альсевич, С.А. Мазаник, Г.А. Расолько, Л.П. Черенкова  
Д50 
ББК 22.161.6я73 
УДК 517.9(075.9) 

ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅ 
Пособие подготовлено в соответствии с программой курса дифференциальных уравнений для студентов, специализирующихся по прикладной математике. Оно будет полезно также студентам математических, физических, экономических факультетов университетов и технических вузов. Построено пособие так, чтобы выработать у учащихся практические навыки 
решения и исследования дифференциальных уравнений и систем, описывающих эволюционные процессы в различных областях естествознания. 
Расположение материала, операторный подход к изложению теории 
линейных стационарных дифференциальных уравнений и стационарных 
линейных векторных уравнений, методика изучения элементарных уравнений как уравнений, приводимых к уравнениям в полных дифференциалах, 
отличают данное пособие от традиционных. Изучение линейных уравнений 
со стационарным оператором позволяет уже в начале курса рассматривать 
приложения дифференциальных уравнений к теории колебаний, которая 
в свою очередь знакомит студентов с качественной теорией дифференциальных уравнений, развивает у них исследовательские навыки. В пособии 
представлены задания для контрольных и лабораторных работ, а также варианты тестовых заданий по отдельным темам курса. 
Наряду с широко известными методами интегрирования линейных стационарных систем дифференциальных уравнений (методы Коши, Лагранжа, Д’Аламбера, экспонентное представление решения) предлагается операторный метод сведения системы к системе независимых уравнений и ме- 
тод построения экспоненты матрицы, не требующий знания жордановой 
формы матрицы. 
Пособие составлено на основании опыта проведения практических 
и лабораторных занятий по курсу дифференциальных уравнений на факультете прикладной математики и информатики Белорусского государственного университета. По структуре и методике изложения материала оно связано с книгами Ю.С. Богданова, Ю.Б. Сыроида «Дифференциальные уравнения» (Минск: Вышэйшая школа, 1983) и Ю.С. Богданова, С.А. Мазаника, 
Ю.Б. Сыроида «Курс дифференциальных уравнений» (Мiнск: Унiверсiтэцкае, 1996). Настоящее издание является продолжением наших книг «Практикум по дифференциальным уравнениям» (Минск: Вышэйшая школа, 1990; 
Минск: БГУ, 2000), поэтому мы сохранили нумерацию задач, а для новых 
задач используется двойная нумерация. Наряду с задачами, составленными 
авторами, в практикуме приведены стандартные задачи из известных сборников задач по дифференциальным уравнениям. 
В практикум включен ряд примеров решения задач с использованием 
пакета компьютерной математики MathCad. Это дополнение вызвано тем, 
что рассматриваемые методы интегрирования и их применение основаны 
на четких и понятных алгоритмах, однако практическое их использование 
часто требует от студентов выполнения большого объема вычислений 
и аналитических преобразований. Широкие возможности, которыми обладают в этом плане современные системы компьютерной математики, позволяют в определенной мере решить эту проблему. Применение пакетов 
 
3 

компьютерной математики в процессе обучения не является самоцелью 
и никоим образом не может полностью заменить традиционные методы 
обучения. Тем не менее использование таких пакетов на практических занятиях по дифференциальным уравнениям позволяет не только находить 
аналитические или численные решения дифференциальных уравнений, но 
и осуществить визуализацию полученных результатов, что облегчает восприятие студентами материала, дает возможность на занятиях рассмотреть 
гораздо больше примеров, больше времени уделить качественному анализу 
получаемых результатов. Отметим, что в силу специфики пакета MathCad 
многие символьные вычисления занимают в строке документа несколько 
рядом расположенных страниц и при их внедрении в книгу некоторые части вычислений не видны. Однако при работе на компьютере по приведенному в тексте листингу информация восстанавливается в полном объеме. 
Авторы выражают глубокую признательность член-корреспонденту На- 
циональной академии наук Беларуси профессору Ф.М. Кирилловой, профессорам А.Ф. Андрееву, М.П. Дымкову, Г.А. Медведеву, В.И. Мироненко 
и доценту Н.Т. Стельмашуку за рецензии, советы и замечания, способствовавшие улучшению наших книг. 
Все отзывы и пожелания просим присылать по адресу: 220050, Минск, 
проспект Ф. Скорины, 4, кафедра высшей математики, факультет прикладной 
математики и информатики, Белорусский государственный университет. 
Авторы 
 
4 

функция x  является решением уравнения. 
в данное уравнение убеждаемся, что оно обращается в тождество на 
(
/ 4,
/ 4)
I = −π
π
. Следовательно, заданная 
 
2
cos2 lncos2
2 sin
1/ cos2
= −
−
+
D x
t
t
t
t
t  
 
1/ 4cos2 lncos2
/ 2sin2 ,
=
+
x
t
t
t
t     
cos2
1/ 2sin2 lncos2 ,
=
−
Dx
t
t
t
t  
Непосредственной подстановкой  
Р е ш е н и е. а) Функция 
( )
1/ cos2
f t
t
=
 определена и непрерывна на заданном интервале 
(
/ 4,
/ 4).
I = −π
π
 
д) 
cos2
sin2 ,
(7 / 4, 9 / 4).
=
+
=
π
π
x
t
t
I
 
г) 
1/ 4cos2 lncos2
/ 2sin2 ,
(
/ 4,
/ 4)
(7 / 4, 9 / 4);
=
+
= −π
π
π
π
∪
x
t
t
t
t
I
 
в) 
1/ 4cos2 ln cos2
/ 2sin2 ,
(0,
/ 2);
=
+
=
π
x
t
t
t
t
I
 
б) 
1/ 4cos2 ln | cos2 |
/ 2sin2 ,
( / 4, 3
/ 4);
x
t
t
t
t
I
=
+
= π
π
 
а) 
1/ 4cos2 lncos2
/ 2sin2 ,
(
/ 4,
/ 4);
x
t
t
t
t
I
=
+
= −π
π
 
ниями уравнения 
2  
 4  
 1/ cos2 :
+
=
D x
x
t  
Задача 1.1. Определить, какие из приведенных функций x являются на соответствующем множестве I  реше(здесь под | ,
|
a b  понимается один из промежутков: [ , ],
a b  [ , ),
a b  ( , ],
a b  ( , ),
a b  −∞≤
<
≤+∞
a
b
). 
 
2
( , ( ),
( ),
( ),
,
( ))
0   
n
F t x t
Dx t
D x t
D x t
t
I
≡
∀∈
…
 
(1.4) 
ет все производные до порядка n  включительно и обращает на промежутке I  уравнение в тождество  
Решением уравнения называют функцию 
( ),
=
x
x t
 которая задана на промежутке 
,
,
=
⊂
I
a b
 имециалов искомой функции, входящих в уравнение. 
Порядком уравнения называют порядок старшей из производных или старшего из дифференгде 
−
H
заданная функция своих аргументов. 
 
2
( , ,
,
,
,
)
0,
=
…
n
H t x dx d x
d x
 
(1.3) 
множестве (промежутке). Рассматриваемое уравнение называют обыкновенным. Обыкновенное 
дифференциальное уравнение может быть записано также с помощью дифференциалов искомой 
функции и независимой переменной 
Искомая функция 
( )
=
x
x t  зависит от одного аргумента t  и считается заданной на связном 
k
k
+
=
=
=
=
=
∈
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
 
1
,   
,   
(
)
,   
.
  
(1.2) 
k
k
0
1
dx
d
d x
d
x
D x
x
Dx
D
x
D D x
k
dt
dt
dt
dt
+
⎛
⎞
k
k
1
+
действующий по следующим правилам: 
где 
−
F
заданная функция своих аргументов; 
−
D
оператор дифференцирования по t, т.е. оператор, 
 
2
( , ,
,
,
,
)
0,
=
…
n
F t x Dx D x
D x
 
(1.1) 
Дифференциальное уравнение для определения функции 
( )
=
x
x t  имеет вид 
1. Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå. Ïîðÿäîê óðàâíåíèÿ. Ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ 
I. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß ÒÅÎÐÈÈ ÎÁÛÊÍÎÂÅÍÍÛÕ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ 
ÂÂÅÄÅÍÈÅ 
 

а) 
sinln
cos( 2 ln ),   
(
, 0);
=
+
= −∞
x
t
t
I
 
6. 2
2
2
2cosln
sinln :
+
+
=
+
t D x
t D x
x
t
t  
б) 
sin ,   
[0,
/ 2);
=
=
π
x
t
t
I
 
г) 
sin ,   
[0,
/ 2).
=
=
π
x
t
I
 
а) 
sin ,   
[0,
/ 2);
=
=
π
x
t
I
 
в) 
sin ,   
[0, + );
=
=
∞
x
t
t
I
 
5. 
2
arctg
arctg
cos
+
+
=
t
D x
Dx
x
t
t
: 
б) 
3/2 ,   
(
,0);
=
= −∞
x
t
I
 
г) 
3/2,   
[0,+ ).
= −
=
∞
x
t
I
 
а) 
3/2,   
[0,+ );
=
=
∞
x
t
I
 
в) 
3/2
1
,   
[0,+ );
= +
=
∞
x
t
I
 
′ =
+
x
t
x  
4. 
3
1
:
2
 
г) 
,   
.
x
t
I
=
=   
б) 
2 ,   
;
t
x
e
I
=
=   
1
2
,
−
C C
постоянные; 
1
2
,   
, 
t
x
C t
C e
I
−
=
+
= 
 
а) 
2 ,   
( 2, 1)
(1,2);
t
x
t
e
I
−
= +
= −
−
∪
 
в) 
2
3. (
)
2
1
4
4
0:
′′
′
+
+
−
=
t
x
tx
x
 
б) 
ln ,   
(0,
);
=
=
+∞
t
x
t e
t
I
 
г) 
( ln | |
),   
(
,0).
=
+
= −∞
t
x
e t
t
t
I
 
а) 
ln ,   
(0,
);
=
=
+∞
t
x
e
t
I
 
в) 
ln ,   
(
,0)
(0,
);
=
= −∞
+∞
∪
t
x
t e
t
I
 
2. 
2
2
:
−
+
=
t
e
D x
Dx
x
t
 
б) 
lnln ,   
(1,+ );
= −
=
∞
x
t
t
I
 
г) 
ln ,   
(0,+ ).
=
=
∞
x
t
I
 
а) 
lnln ,   
(0,+ );
= −
=
∞
x
t
t
I
 
в) 
lnln ,   
[1,+ );
= −
=
∞
x
t
t
I
 
1. 
/
+
=
x t
x
t Dx t e
: 
данном множестве: 
Определить, какие из приведенных функций являются решениями указанного уравнения на забудем иметь 0
1/ cos2  .
=
t  Это означает, что функция x не является решением данного уравнения. 
2
cos2
sin2 ,   
2sin2
2cos2 ,   
4cos2
4sin2 ,
x
t
t
Dx
t
t
D x
t
t
=
+
= −
+
= −
−
 
в исходное уравнение  
д) Функция 
( )
1/ cos2
f t
t
=
 определена и непрерывна на заданном интервале 
(7 / 4, 9 / 4).
=
π
π
I
 Подставив 
жутком, т.е. не является связным. 
(
/ 4,
/ 4)
(7 / 4, 9 / 4),
= −π
π
π
π
∪
I
 не является решением, так как в данном случае множество I  не является промег) Согласно определению решения дифференциального уравнения, функция, заданная на множестве 
ференцируема на I  и правая часть уравнения 
( )
1/ cos2
f t
t
=
 разрывна на .
I  
в) Считать функцию x решением заданного уравнения на промежутке 
(0,
/ 2)
=
π
I
 нельзя, так как она не дифявляется решением уравнения. 
в данное уравнение убеждаемся, что оно обращается в тождество на 
( / 4, 3
/ 4)
I = π
π
. Следовательно, функция x  
 
2
cos2 ln( cos2 )
2 sin
1/ cos2
= −
−
−
+
D x
t
t
t
t
t  
 
1/ 4cos2 ln( cos2 )
/ 2sin2 ,
=
−
+
x
t
t
t
t    
1/ 2sin2 ln( cos2 )
cos2 ,
= −
−
+
Dx
t
t
t
t  
дифференцируема на I . Непосредственной подстановкой 
в виде 
1/ 4cos2 ln( cos2 )
/ 2sin2 .
x
t
t
t
t
=
−
+
 Функция 1/ cos2t  определена и непрерывна на ,
I  функция x  дважды 
б) Поскольку cos2t  на интервале 
( / 4, 3
/ 4)
I = π
π
 отрицателен и | cos2 |
cos2 ,
= −
t
t  то функцию x  запишем 
 

23. 
(
)
2
2
3
9
4
0,
0,
.
−
=
−
=
∈
x
at
D x
at
a
 
0
22. 
(
)
( )
ln
0,
1
ln
2
.
τ
′′
′
−−
τ =
+
+
=
∫
2
2
2
t
t
x
x
t
e d
x
x x
x
t xe
 
21. 
(
)
2
2
3
2
,
3
0.
=
+
−
=
t
x
x
D xD x
D x
 
20. 
(
)
(
)
2
arctg
,
1.
=
+
+
+
=
x
x
t
C
x
t
Dx
 
уравнений: 
Показать, что функции 
( ),
=
x
x t
 заданные неявно, являются решениями соответствующих 
удовлетворяют уравнениям 
2
2
2
(1
)
0,   
.
−
−
+
=
∈
t
D x
tDx
m x
m
 
m
T
t
m
t
m
−
=
∈  
 
( )
(
)
1
cos
arccos
2
,   
,
m
19. Доказать, что многочлены Чебышева первого рода 
18. 
4
1
2
3
4
cos
sin ,
0.
−
=
+
+
+
−
=
t
t
x
С e
C e
C
t
C
t
D x
x
 
17. 
1
1
2,
(
) .
2
=
+
+
=
+
t
x
C
C t
C
Dx
t D x
D x
 
2
2
2
2
2
1
2
ch
sh ,
0.
=
+
−
=
x
C
t
C
t
D x
x
 
16. 
2
15. 
1
1
ln
,
ln
.
′
′
=
+
=
+
x
C t
C
x
tx
x  
14. 
1
1
sin
,
sin
.
=
+
=
+
x
C t
C
x
tDx
Dx  
13. 
(
)
1
1 ,
.
=
+
=
+
x
C t
C
x
tDx
Dx
 
2
2
12. 
1
2,
2
0.
′′
′
=
+
+
=
x
C t
C
tx
x
 
11. 
3
2
3
1
2
cos3
sin3
,
9
18
.
=
+
+
+
=
t
t
x
C
t
C
t
e
D x
x
e
 
1
2
cos3
sin3
,
9
.
9
=
+
+
+
=
t
x
C
t
C
t
D x
x
t  
10. 
2
1
2
cos3
sin3 ,
9
0.
=
+
+
=
x
C
t
C
t
D x
x
 
9. 
2
1
,
.
=
=
C t
x
C e
xD x
Dx
 
8. 
(
)
2
2
2
являются решениями соответствующих уравнений. Указать максимальный промежуток существования решения: 
Показать, что функции 
( ),
=
x
x t
 зависящие от произвольных постоянных 
1
2
3
4
,
,
,
∈
C C
C
C
, 
в) 
1
cos lncos
(
tg )sin
,
cos
=
+
−
+
x
t
t
t
t
t
t    
(
/ 2,
/ 2)
(3
/ 2, 5
/ 2).
= −π
π
π
π
∪
I
 
б) 
1
cos
sin ,   
(
/ 2,
/ 2);
= +
+
= −π
π
x
t
t
I
 
а) 
1/ cos
cos lncos
(
tg )sin ,   
(
/ 2,
/ 2);
=
+
+
−
= −π
π
x
t
t
t
t
t
t
I
 
7. 
3
2
sin
cos
:
+
=
D x
Dx
t
t  
г) 
1/ 2cosln
sinln
2sin( 2 ln ),   
(0, + ).
=
+
+
=
∞
x
t
t
t
I
 
в) 
1/ 2cosln
sinln
cos( 2 ln ),   
(0, + );
=
+
+
=
∞
x
t
t
t
I
 
б) 
1/ 2cosln
sinln ,   
(0, + );
=
+
=
∞
x
t
t
I
 
 

3
,
16
3
D x
p
p
x
4
3
2
37. 
 
 
2
= −
+
+
+ +
D x
t
t
x
D x
D x
t
(
)
1 (
)
.
12
2
4
(
)
3
2
=
−
∈
⎪
⎪
⎨
⎪=
−
⎪
⎩
,   
,
4
2
⎧

p
p
t
p
3
2
x
e
2
sin 2
/ 4,   
,
(
)
=
+
ϕ
ϕ∈
⎪
⎩

−ϕ
36. 
  
2
2
2
(
) .
=
+
+
x
t
t D x
D x
 
t
e
⎧=
ϕ
⎪
⎨
−ϕ
2 cos ,
x
e
(
)
1
2
2
4,   
,
−ϕ
2
2
 
( )
35. 
2
2
4
.
′
=
+
x
x
t
 
t
e
1
,
(
)
⎧=
+ ϕ
⎪
⎨=
+ ϕ + ϕ
ϕ∈
⎪
⎩

−ϕ
x
e
1
sin 2
4,   
,
=
+
ϕ
ϕ∈
⎪
⎩

−ϕ
(
)
2
−
34. 
 
2
4
(
) .
=
+
x
D x
t
 
t
e
cos ,
⎧=
ϕ
⎪
⎨
−ϕ
−
2
1
,   
,
=
−
+
+
∈
⎪
⎩

x
p
e
p
p
p
(
)
2
−
 
2
(1
)
(
) .
=
+
+
x
D x t
D x
 
2 1
,
33. 
(
)
⎧=
−
+
⎪
⎨
t
p
e
p
−
x
= τ
+
τ
τ >
⎪
⎩
1
2ln
,   
0,
(
)
1
32. 
 
(
)
t
2
2
1
0.
−
−=
x Dx
t Dx
 
ln ,
⎧= τ
τ
⎪
⎨
2
x
p
p
p
2
,   
0,
3
 
( )
31. 
2
1
0.
′
′
+
−=
t x
x x
 
3
p
p
2
t
⎧=
+
⎪
⎪
⎨
⎪=
−
>
⎪
⎩
1
1 ,
3
x
3 ,   
0,
4
4
30. 
 
2
2
2
(
)
2
3
0.
−
+
=
D x
D x D x
 
2
t
τ
⎧=
+
⎪
⎪
τ
⎨
τ
⎪=
+
τ >
⎪
τ
⎩
ln
3 ,
2
4
вующих уравнений: 
Показать, что функции 
( ),
=
x
x t
 заданные параметрически, являются решениями соответст29. 
(
)
2
2
2
2,
1
,
.
+
=
=
−
+
∈
t
x
a
x
tDx
a
Dx
a
 
28. 
(
)
2
4
2 2
2
2
4
,
0,
.
=
−
=
∈
x
a t
x
Dx
a
a
 
27. 2
2
2
ln
,
0, (2
)
(
)
0.
+
+
−
=
>
−
+
+ +
=
t
t
x
x
C
x
t x
x
x
t
x D x
x
 
26. 
3
2
3
3
7
6
0,
(
)
7
6
0.
−
+
=
−
+
=
x
t x
t
D x
Dx
 
2
 
25. (
)
( )
3
2
1 (
1)
0,
0.
′
′
+
−
=
+
+
=
x
x
tx
t x
x
x
t
t
2
2
2
24. 
2
2
2
2
2
(
)(
1)
0,
(
)
(
)
0.
−
−
+
=
−
+
+
=
x
t x
t
tx D x
t
x
Dx
tx
 
 

с началом координат, а осью симметрии является ось абсцисс. 
53. Составить дифференциальное уравнение семейства парабол, вершины которых совпадают 
лельны оси ординат, а вершины расположены на оси абсцисс. 
52. Составить дифференциальное уравнение семейства парабол, оси симметрии которых парал50. 
1
2
ln
0.
+ +
+
=
x
x
t
C x
C
 
51. 
(
)
1
1
2
2
1.
=
+
+
C x
C t
C
 
2
1
2
3
3
4(
)
.
=
+
+
+
x
t
C
C t
C  
1
2
3
3
(
)
.
=
+
+
+
x
t
t
C
C
 
49. 
3/2
48. 
3
2
sin .
ln
46. 
2
1
0.
2
−
−
−
=
C
x
C
C t
t
 
x
t
d
C
t  
47. 
2
2
1
⎛
⎞
τ
=
τ +
+
⎜
⎟
⎜
⎟
τ
⎝
⎠
∫
t
=
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
∫
44. 
1
.
t
x
t
dt
t
t
 
⎛
⎞
t
e
x
t
dt
t
 
45. 
2
sin
5 .
=
+
∫
42. 
2/3
2/3
2/3.
+
=
x
t
C
 
43. 
2
1
.
=
+
+
x
Ct
C
C
 
40. 2
2
2 .
+
−
=
t
Ct x
x
t  
41. 
cos ,
sin .
=
=
x
C
t
y
C
t  
38. 
1
.
= +
x
t
C  
39. 
1
2
sin .
−
=
+
+
t
t
x
C e
C e
t  
заданные функции: 
Построить дифференциальные уравнения наименьших порядков, решением которых являются 
n
D
t x C
C
1
(
)
, ,
,...,
0.
n
………………………
 
(1.5) 
 
n
D
t x C
C
1
(
)
, ,
,...,
0,
⎪Φ
=
⎪
⎨
⎪
⎪
Φ
=
⎩
n
t x C
C
1
⎧Φ
=
, ,
,...,
0,
(
)
ных 
1,
,
…
n
C
C  из системы  
Дифференциальное уравнение, связывающее t  и ( ),
x t
 получается путем исключения постояннию 
1
( ,
,
,
),
=
…
n
x
x t C
C
 заданному соотношением 
1
( , ,
,
,
)
0.
Φ
=
…
n
t x C
C
 
Рассмотрим обратную задачу: построить дифференциальное уравнение по известному решемулой, содержащей произвольные постоянные. 
Каждое дифференциальное уравнение имеет, вообще говоря, семейство решений, задаваемое форch
2
x

1
,   
,
37.3. 
 
2
2
0.
+
=
D x
x Dx
 
t
sh
,
⎧=
τ
⎪
⎨=
τ∈
⎪
τ
⎩
2
x
1
,   
,
cos
2
2
37.2. 
 
2
2
5
2
.
−
=
D x
t x Dx
x
 
t
=
τ
⎧
⎪
π
π
⎨=
−
< τ <
⎪
τ
⎩
sin ,
=
< τ <
⎪
τ
⎩
x
,
1
0
1,
37.1. 
 
2
2
5
2
.
−
=
D x
t x Dx
x
 
t
⎧=
−τ
⎪
⎨
2
1
,
 

66. 
2
,   
(0, + ).
=
=
∞
t
D x
e t
I
  
 
64. 
2
cos2 ,   
.
=
= 
D x
t
I
 
65. 
(sin )
,   
(0, + ).
′′
=
∞
x =
t / t
I
 
62. 
3
sin
,   
.
′ =
= 
x
t
I
 
63. 
cos ,   
.
=
= 
t
Dx
e
t
I
 
60. 
tg ,   
(
/ 2,
/ 2).
=
= −π
π
Dx
t
I
 
61. 
2
3/2
(1
)
,   
( 1,1).
−
=
−
= −
Dx
t
I
 
58. 
3
3,   
(0, + ).
−
=
=
∞
D x
t
I
 
59. 
2
cos
,   
.
′ =
= 
x
t
I
 
Найти общие решения уравнений на заданном промежутке: 
56. 
sin ,   
.
=
∈
Dx
t
t
I
 
57. 
,   
.
=
= 
n
D x
t
I
 
=
k
s
0
!
1 !
k
(
)
( )
−
−
 
( )
(
)
(
)
t
s
t
x t
f
d
k
n
. 
(2.5) 
−
−τ
=
ξ
+
τ
τ
−
∑
∫
k
n
t
n
1
1
Решение начальной задачи для простейшего уравнения определяется по формуле 
t s
k
D x
f t
t
I
D x
k
n
 
(2.4) 
 
( ),
,
,
0,
1.
=
=
∈
= ξ
=
−
n
k
Начальная задача (задача Коши) для простейшего уравнения порядка n имеет вид 
зывают частным решением. Для выделения частного решения из общего используют начальные, 
граничные и другие дополнительные условия. Условия, относящиеся к одному значению аргумента, называют начальными, а относящиеся к различным значениям аргумента – граничными. 
Решение, получающееся из общего при конкретных значениях постоянных 
, 
0,
1,
=
−
k
C
k
n
 на=
k
s
0
(
)
k
k
( )
,   
,   
0,
1.
1 !
−τ
=
+
τ
τ ∀∈
∈
=
−
−
∑
∫

−
−
 
( )
(
)
t
x t
C t
f
d
s
I
C
k
n
n
 
(2.3) 
n
t
n
k
1
1
или формулой  
k
s
s
s
0
=
k
n
n
2
1
=
+
τ
τ
τ
τ
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
∑
∫∫
∫
…
…
( )
 
(
)
x t
C t
f
d
d
d
 
(2.2) 
⎛
⎞
n
t
n
k
1
1
1
−
τ
τ
−
Общее решение простейшего уравнения задается формулой 
произвольных постоянных, задает его общее решение. 
Формула, определяющая совокупность решений рассматриваемого уравнения и содержащая n 
где функция 
( )
f t  непрерывна на промежутке .
I  
 
( ),
,
=
∈
n
D x
f t
t
I  
(2.1) 
Простейшим дифференциальным уравнением порядка n  является уравнение  
Íà÷àëüíàÿ è ãðàíè÷íàÿ çàäà÷è. Ôóíêöèÿ Ãðèíà 
2. Ïðîñòåéøèå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. Îáùåå è ÷àñòíîå ðåøåíèÿ.  
II. ÏÐÎÑÒÅÉØÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß 
с началом координат, а оси симметрии – с осями координат. 
55. Составить дифференциальное уравнение семейства эллипсов, центры которых совпадают 
единичного радиуса, центры которых лежат на прямой 
1.
=
y
 
54. Составить дифференциальное уравнение однопараметрического семейства окружностей