Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы

УДК 519.2(075.8)
ББК 22.17я73
 
М33

Р е ц е н з е н т ы: кафедра теории вероятностей и математической статистики Белорусского государственного университета (заведующий кафедрой 
доктор физико-математических наук, профессор Н.Н. Труш), заведующий 
кафeдрой экономической кибернетики и теории вероятностей Гомельского 
государственного университета имени Франциска Скорины доктор физикоматематических наук, профессор Ю.В. Малинковский

Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или 
любой ее части не может быть осуществлено без разрешения издательства

Маталыцкий, М. А. 
М33 
Теория вероятностей, математическая статистика и
 
случайные процессы : учеб. пособие / М. А. Маталыцкий, 
 
Г. А. Хацкевич. – Минск : Выш. шк., 2012. – 720 с. ил.:
ISBN 978-985-06-2105-4.

Даны определения вероятности случайных событий и основные 
соотношения, связанные с условными вероятностями и схемой Бернулли. Рассмотрены различные типы случайных величин, их числовые и функциональные характеристики, а также вопросы, связанные 
со сходимостью случайных последовательностей – закон больших чисел и центральная предельная теорема.
Приведены сведения о марковских случайных процессах и цепях 
Маркова с дискретным и непрерывным временем, процессах с конечными моментами второго порядка, процессах с независимыми приращениями, стационарных и эргодических случайных процессах, стохастических интегралах и стохастических дифференциальных уравнениях. Рассмотрены вопросы применения случайных процессов при 
анализе математических моделей различных реальных объектов. 
Рассмотрены основные распределения, применяемые в статистике, методы нахождения оценок неизвестных параметров и свойства 
оценок, проверка простых и сложных гипотез, последовательный и 
дисперсионный анализ, линейные регрессионные модели.
Даны решения более 130 различных типовых примеров и более 
1100 задач для самостоятельного решения различной степени трудности. 
Для студентов учреждений высшего образования. Будет полезно 
магистрантам и аспирантам, преподавателям, а также научным и практическим работникам.
УДК 519.2(075.8)
ББК 22.17я73

ISBN 978-985-06-2105-4 
© Маталыцкий, М.А., Хацкевич, Г.А., 2012
 
© Оформление. РУП «Издательство 
 
“Вышэйшая школа”», 2012

ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅ

За последние десятилетия в высших учебных заведениях 
значительно увеличился объем преподавания дисциплин, использующих вероятностные и статистические методы. Для  студентов математических специальностей, таких, как «математика», «прикладная математика», «экономическая кибернетика», 
«актуарная математика», «математическая экономика», «компьютерная математика», «компьютерная безопасность», в университе читается годовой или трехсеместровый курс теории 
вероятностей и математической статистики.
Курс состоит из трех основных разделов: элементы теории 
вероятностей, элементы теории случайных процессов и элементы математической статистики.
Данное учебное пособие написано по этим разделам курса. 
Оно подготовлено на базе курса лекций и методических разработок по университетскому курсу теории вероятностей и математической статистики, читаемому авторами для студентов 
различных физико-математических специальностей.
Отличительной особенностью учебного пособия является 
то, что, кроме основательного изучения понятий и методов современной теории вероятностей,  случайных процессов и математической статистики, оно содержит большое число разнообразных теоретических примеров и задач различной степени 
трудности. Некоторые из них снабжены ответами. Это позволяет использовать учебник не только для чтения лекций, но и 
для проведения практических занятий.
Структура изложения курса такова, что он может одновременно играть роль учебника, задачника и справочника.
Много внимания уделено вопросам применения вероятностных методов в различных областях.
Основные теоремы приведены с полными доказательствами, 
которые могут быть использованы при доказательстве различных утверждений, сформулированных в задачах. В большинстве 
параграфов есть простые задачи, которые сводятся к прямому 
применению основных формул и приемов. С другой стороны, 
в них присутствуют достаточно сложные задачи, решения которых содержат важные идеи и связаны с тщательным проведением математических выкладок, а также с практическим применением. Такие задачи отмечены звездочкой: они могут служить началом курсовой работы.

В учебном пособии представлено значительное число задач 
прикладного характера, что позволит не только обучить студентов теоретическим основам, но и привить навыки вероятностностатистического моделирования реальных явлений.
При составлении задач был использован ряд отечественных 
и зарубежных учебников и задачников, приведенных в списке 
литературы; некоторые из задач составлены авторами.
Первые два раздела данного пособия написаны профессором 
М.А. Маталыцким. Третий раздел написан профессором 
Г.А. Хацкевичем.
Выражаем благодарность рецензентам, сделавшим ряд 
полезных замечаний.

Авторы

ÂÂÅÄÅÍÈÅ

Теорию вероятностей можно определить как науку, изучающую случайные события. Случайные события, как они понимаются в теории вероятностей, обладают рядом характерных особенностей – в частности, все они происходят в массовых явлениях.
Первые вероятностные задачи были связаны с азартными 
играми. В XVIII в. ими занимались Б. Паскаль, П. Ферма, а также Я. Бернулли, автор закона больших чисел. В XVIII в.
А. де Муавр сформулировал первое предельное утверждение, 
относящееся позже к центральной предельной теореме. В том 
же веке Т. Байес предложил свою знаменитую формулу, заложив 
тем самым фундамент развитой позднее теории оценивания. 
Дальнейшее развитие теории вероятностей во второй половине XVIII и первой половине XIX в. связано с именем П.  Лапласа. Его классический трактат «Theorie Analytique des Probabilities» содержит оригинальные результаты собственных исследований и его предшественников. К этому же периоду относятся труды К. Гаусса и С. Пуассона. Во второй половине 
XIX  в. большое значение для развития теории вероятностей 
имели труды П.Л. Чебышева.
Начало XX в. связано с наиболее значительным развитием 
теории вероятностей. Разработаны ее математические основы, 
определены связи с другими разделами математики и развит ее 
аналитический аппарат. Существенно расширилась область 
ее  применения в физике, технике и других областях.
Первое определение вероятности ввел П. Лаплас. Однако 
его определение требовало конкретных логических оговорок и 
область применения этого определения была довольно узкой. 
Введение Ж. Бюффоном геометрической вероятности было 
шагом вперед для обоснования основ теории вероятностей, но 
парадоксы Э. Бертрана свидетельствовали о существовании 
пробелов в ее понятиях.
Разработкой математических основ теории вероятностей занимались С.Н. Бернштейн, В.И. Гливенко, А.Н. Колмогоров, 
К.  Мизес, Г. Штейнгауз. В.И. Гливенко определил совместно 
события и их вероятности как нормированную булевскую алгебру. Г. Штейнгауз рассматривал вероятность как меру Лебега, 
определенную в борелевском поле измеримых подмножеств 
отрезка [0, 1]. А.Н. Колмогоровым введено определение вероят

ности как нормированной меры, определенной в минимальном 
борелевском поле подмножеств некоторого множества, называемого множеством элементарных событий.
Теоремы П. Леви о характеристических функциях и разработка теории безгранично делимых законов распределения позволили найти предельные распределения для сумм независимых случайных величин (Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров, 
В.  Феллер, А.Я.Хинчин).
Утверждения А.Я. Хинчина и А.Н. Колмогорова о законе 
повторного логарифма и усиленном законе больших чисел углубили результаты, касающиеся закона больших чисел.
Следует отметить, что теория вероятностей постоянно развивалась исходя из потребностей практики. В абстрактной форме она отражает закономерности, присущие случайным событиям массового характера. Эти закономерности играют исключительно важную роль в физике, технике, в частности компьютерной, экономике и других областях естествознания.
При изучении различных явлений действительности мы 
сталкиваемся с процессами, предсказать развитие которых заранее не можем. Случайные процессы – удобная математическая модель функций времени, значениями которых являются 
случайные величины. Например, число запросов, поступающих 
в единицу времени на центральный сервер информационнокомпьютерной сети, являясь случайной величиной, зависит от 
времени суток; расход электроэнергии в единицу времени также является функцией времени со случайными значениями; 
координата отдельной молекулы в газе, заключенном в сосуд, 
меняется со временем и принимает случайные значения. Таким 
образом, можно сказать, что случайный процесс – это семейство 
случайных величин, зависящих от времени.
Теория случайных процессов, возникшая в результате построения математических моделей реальных физических процессов, представляет собой наиболее содержательную и более 
всего используемую в приложениях часть теории вероятностей. 
Она находит многочисленные применения в физике, технике, 
экономике, биологии, медицине и других дисциплинах, а также 
в различных разделах математики.
Первое математическое описание случайного процесса, называемого в настоящее время винеровским или процессом броуновского движения, дал Л. Башелье в докладе, представленном 
им Парижской академии наук в 1900 г. [44]. Он предложил использовать этот процесс в качестве модели колебаний цены ак

тивов, стремясь получить аналитические выражения для стоимости различных типов опционов и сравнить их с наблюдаемыми рыночными ценами последних. Опцион является примером 
финансовой производной и дает его владельцу право купить 
указанное число долей акций по определенной цене в указанную дату или до нее.
Вообще понятие случайного процесса появилось в XX в. и 
связано с именами А.Н. Колмогорова, А.Я. Хинчина, Е.Е. Слуцкого, Н. Винера. То, что теория случайных процессов принадлежит к категории наиболее быстро развивающихся математических дисциплин, в значительной мере определяется ее глубокими связями с практикой [4, 6].
В 1905 г. двумя известными физиками, М. Смолуховским и 
А. Эйнштейном, была разработана теория броуновского движения, исходящая из теоретико-вероятностных предпосылок. 
Она  привела математику к началу создания теории случайных 
процессов. В исследованиях датского ученого А. Эрланга появилась новая важная область поисков, связанных с изучением загрузки телефонных сетей. Эти работы оказали значительное 
влияние не только на решение чисто телефонных задач, но и на 
формирование элементов теории случайных процессов, в частности процессов гибели и размножения. Такие процессы позднее применялись при исследовании динамики биологических 
популяций; именно от задач биологии и пошло наименование 
данного типа случайных процессов.
Изучение явления диффузии средствами теории вероятностей было предпринято в 1914 г. известными физиками М. Планком и А. Фоккером. Н. Винер, основатель кибернетики, в середине 20-х гг. XX в. при изучении броуновского движения ввел 
в рассмотрение процессы, названные винеровскими. Следует 
также отметить работы русского математика, профессора МГУ 
А.А. Маркова по изучению цепных зависимостей (цепи Маркова) и работы Е.Е. Слуцкого по теории случайных функций.
В 1931 г. была опубликована известная большая статья 
А.Н. Колмогорова «Об аналитических методах в теории вероятностей», заложившая основы теории марковских процессов: 
в  ней получены прямые и обратные дифференциальные уравнения, которые управляют вероятностями перехода случайных 
процессов без последействия. В этой же работе приводился 
набросок теории скачкообразных процессов без последействия, 
подробное развитие которой позднее (1936 г.) было дано В. Фелером, получившим интегродифференциальное уравнение для 

скачкообразных марковских процессов. В 1934 г. в работе 
А.Я. Хинчина осуществлено построение основ стационарных 
случайных процессов на базе физических задач. Он ввел понятие стационарного процесса в узком и широком смыслах. 
Вышеупомянутые работы следует считать началом построения 
общей теории случайных процессов. Они послужили основой 
для исследований Г. Крамера, Г. Вальда, А.Н. Колмогорова и 
многих других известных ученых. Более подробно история развития теории случайных процессов изложена в [6].
Охарактеризуем ряд основных задач теории случайных процессов, большинство из которых рассматривается в данном 
учебном пособии.
1. Одна из основных задач – построение математической модели, допускающее строгое или формальное определение случайного процесса, и исследование общих свойств этой модели.
2. Важной задачей является классификация случайных процессов. Существующая классификация в теории случайных 
процессов заключается в выделении из всей совокупности таких 
процессов некоторых классов, допускающих более или менее 
конструктивное описание [4]. Каждый класс характеризуется 
тем, что достаточно дополнительно задать лишь конечное число функциональных характеристик, чтобы выделить из всего 
класса отдельный случайный процесс. Иногда рассматривают 
классы процессов, допускающих единообразное решение определенного набора задач. Можно отметить следующие широкие 
классы: а) марковские процессы, включая, естественно, цепи 
Маркова; б) процессы с конечными моментами второго порядка (гильбертовы процессы); в) процессы с независимыми приращениями; г) стационарные в узком и широком смыслах случайные процессы, в частности гауссовский и винеровский процессы; д) эргодические процессы.
3. Задача отыскания для различных классов случайных процессов аналитического аппарата, дающего возможность находить 
вероятностные характеристики процессов, тесно связана с предыдущей. Для простейших вероятностных характеристик такой 
аппарат создан и использует, как правило, теорию обыкновенных 
дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными, а также интегродифференциальные и интегральные 
уравнения, разностные уравнения, преобразования Фурье.
4. Изучение различных преобразований случайных процессов также является важной задачей теории случайных процессов. Эти преобразования используются для того, чтобы с их 

помощью изучать сложные процессы путем сведения их к более 
простым. К такой задаче можно отнести и анализ стохастических дифференциальных и интегральных уравнений, в которые 
входят случайные процессы.
5. Задача определения значений некоторого функционала от 
процесса по значениям других функционалов от этого же процесса играет также важную роль в формировании ряда разделов 
теории случайных процессов. Примером такой задачи является 
задача предсказания, позволяющая определять значение процесса в некоторые будущие моменты времени, наблюдая процесс в течение определенного промежутка времени.
Опишем кратко некоторые основные области применения 
различных классов случайных процессов в настоящее время.
Марковские процессы широко используются при разработке 
математических моделей информационно-компьютерных систем и сетей, в математической, в частности финансовой, экономике, в математической биологии, в теории каскадов космических частиц. В этой же теории применяются процессы с независимыми приращениями. Стационарные в узком и широком 
смыслах случайные процессы имеют широкое применение в 
радиоэлектронике и теории информации, а гауссовские процессы – также в радиоэлектронике и молекулярной теории газов. Наряду со стандартными разделами курса (теория вероятностей, марковские процессы и цепи Маркова, стационарные 
процессы) в пособии присутствуют нетрадиционные разделы, 
посвященные стохастическому анализу, стохастическим интегралам и дифференциальным уравнениям, мартингалам. 
Следует отметить, что за последние полвека теория вероятностей и случайных процессов превратились в стройную математическую дисциплину с собственными проблемами и методами доказательств. Выяснилось, что наиболее существенные 
проблемы этой теории служат делу решения многочисленных 
прикладных задач. Вообще в последнее время методы теории 
вероятностей и случайных процессов находят все новые области 
применения и сейчас ни одна из естественных наук и многие 
гуманитарные науки не избежали влияния этой теории.
В данном учебном пособии III раздел посвящен математической статистике, так как статистика является наиболее 
практическим разделом среди дисциплин стохастического блока. Множество явлений и процессов в естествознании и обществе  может быть подвержено адекватному статистическому 
анализу методами математической статистики.

Математическая статистика является аксиоматически  обоснованной математической наукой, которая, придавая теоретическое обоснование результатам статистической отрасли, обеспечивает информационную поддержку органам управления 
социально-экономическим развитием любой страны. Однако 
следует заметить, что еще в начале ХХ в. этот признанный в 
современной научной классификации раздел математической 
науки относился к эмпирическому и экспериментальному направлению. Заслуга решительного поворота к признанию статистики математической наукой, принадлежит прежде всего английскому математику К. Пирсону. Трудно переоценить его 
вклад в  разработку математического аппарата статистики, содержащего, в частности, теорию корреляции и критерии согласия.
В дальнейшем развитии математической статистики необходимо упомянуть Р. Фишера (дисперсионный анализ), И. Фишера (теория статистических индексов), А.А. Чупрова, 
Н.С. Четверикова, Е.Е. Слуцкого (статистический анализ временных рядов).
В становление математической статистики большой вклад 
внесли также А.Н. Колмогоров, Л.Н. Большев, Н.В. Смирнов, 
Д.М. Чибисов.