Методы спектрального оценивания случайных процессов

Б.И. Шахтарин, В.А. Ковригин







МЕТОДЫ СПЕКТРАЛЬНОГО ОЦЕНИВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ




2-е изд., исправленное



Рекомендовано учебно-методическим объединением вузов по университетскому политехническому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений














«Горячая линия—Телеком»
Москва
2011

УДК 621.37:621.391
ББК 32.849
      Ш32




      Рецензенты:
      д.т.н., проф. Н.Н. Удалов;
      д.ф-м.н., проф. А.И. Козлов

Ш32 Шахтарин Б.1/1., Ковригин В.А. Методы спектрального оценивания случайных процессов: Учеб, пособие. 2-е изд, исправ. — М.: Горячая линия—Телеком, 2011. — 256 с.: ил.
          ISBN 978-5-9912-0168-1
          Излагаются основы спектрального анализа случайных процессов. Рассматриваются свойства параметрических и непараметрических методов оценки энергетического спектра, а также алгоритмы их реализации. Приводятся методы спектрального оценивания путем экстраполяции автокорреляционной последовательности и алгоритмы оценивания частоты, основанные на анализе собственных значений. Оцениваются потенциальные возможности спектральных методов по разрешающей способности и вычислительной эффективности. Книга содержит машинные программы на языке MATLAB и примеры с результатами численного моделирования, поясняющие применение спектральных методов для решения практических задач.
          Для студентов вузов. Может быть полезна аспирантам и преподавателям, а также специалистам-практикам, занимающимся обработкой сигналов.
ББК 32.849























ISBN 978-5-9912-0168-1

© Б.И. Шахтарин, В.А. Ковригин, 2011

Предисловие ко второму изданию

    Предлагаемая книга является переработанной версией первого издания учебного пособия, выпущенного издательством «Гелиос АРВ» в 2005 г. В новом издании исправлены опечатки и описки, вкравшиеся в первое издание, а также внесены изменения, улучшающие изложение отдельных вопросов. В частности, в главе 10 более последовательно изложены основы декомпозиционных, или подпространственных, методов, получивших широкое признание в последние годы. В главе 11 рассмотрен популярный метод ESPRIT, нашедший практическое применение не только при спектральном анализе случайных процессов, но и при обработке пространственно-временных сигналов в антенных решетках. В главе 12 эффект улучшения авторегрессионной оценки спектральной плотности мощности при использовании аппроксимации главных компонентов для большей наглядности описывается в рамках задачи линейного предсказания. Изменен состав приложений.

Предисловие к первому изданию

    Эта книга по теории и практике спектрального анализа стационарных случайных процессов предназначена для тех, кто начинает изучать теорию спектральной обработки случайных сигналов. Для понимания книги требуется знание основ теории случайных величин, их свойств и числовых характеристик, а также основ теории комплексного переменного и теории линейных непрерывных и дискретных систем.
    Мощный начальный импульс в развитие теории цифровой обработки сигналов по праву необходимо отнести к моменту появления (в 1965 г.) статьи Кули и Тьюки о быстром методе вычисления дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Позднее метод был развит и стал широко известен как быстрое преобразование Фурье (БПФ). Его практическая ценность определяется, прежде всего, существенным сокращением (на один-два порядка) вычислительных затрат, необходимых для реализации ДПФ сигналов в большинстве практических приложений. Фундаментальное значение метода БПФ состояло в том, что он наглядно продемонстрировал значительное преимущество цифровых методов спектрального оценивания по сравнению с аналоговыми. Метод БПФ в значительной мере способствовал интенсификации исследований в области цифровой фильтрации. В настоящее время цифровые методы в их программном и аппаратном виде широко используются для спектрального анализа самых разнообразных сигналов, начиная с низкочастотных

Предисловие

колебаний в сейсмологии, гидролокации и заканчивая видеосигналами в радиолокации. Научно-технический прогресс дает много примеров применения оценки спектра для решения задач медицинской диагностики, распознавания речи и изображений, анализа нефтеносных слоев, прогнозирования финансовых временных рядов и т.п.
    Развитие этих исследований привело к тому, что в настоящее время во многих вузах в студенческие и аспирантские учебные программы электро- и радиотехнических специальностей включены курсы цифровой обработки сигналов.
    Классические методы оценки энергетических спектров дискретизованных детерминированных и случайных процессов обычно основаны на применении процедур, использующих БПФ. Обстоятельному изложению этих методов посвящены различные учебные руководства, к числу наилучших из которых следует отнести книги Блэкмана и Тьюки, а также Дженкинса и Баттса. Классический подход к спектральному анализу эффективен в вычислительном отношении и обеспечивает получение асимптотически достоверных оценок для весьма обширного класса сигналов, удовлетворяющих гипотезе стационарности, эргодичности и ограничению выборки большого объема. Указанные допущения являются, к сожалению, не типичными для большинства практических приложений. Поэтому неудивительно, что подходу, основанному исключительно на вычислении ДПФ, присущ ряд принципиальных ограничений. Наиболее важное из них — ограничение частотного разрешения, т.е. способности различать спектральные пики двух и более сигналов. Второе существенное ограничение обусловлено наличием экспериментальной реализации сигнала, как правило, малой длины. Это обстоятельство неизбежно приводит исследователя к необходимости грубого пренебрежения фундаментальной операцией усреднения по ансамблю реализаций (в силу отсутствия такового) в классическом определении спектральной плотности мощности процесса иб как следствие этого факта, к получению несостоятельных спектральных оценок для конечных объемов выборки. Далее, применение операции усреднения единственной реализации по времени с неизбежностью ставит вопрос о достоверности гипотезы эргодичности анализируемых данных. Наконец, их конечный объем приводит к наличию весовой функции при вычислении ДПФ. Неявное умножение данных на прямоугольную функцию окна (операция взвешивания) в исходном пространстве приводит в частотном пространстве к свертке (операции сглаживания) истинного спектра плотности мощности (СПМ) с Фурье-образом окна данных (функцией Дирихле). Иными словами, квадрат модуля ДПФ процесса, т.е. выборочный спектр (или периодограмма) является не только не состоятельной, но и смещенной спектральной оценкой. Дополнительный нежелательный эффект наличия прямоугольного окна проявляется в виде «просачивания» в частотной области энергии главного лепестка функции Дирихле через ее боковые лепестки. В результате это приводит к наложению и искажению спек

Предисловие

5

тральных линий других присутствующих гармонических сигналов. Правильный выбор функции окна, значения которого спадают по краям, позволяют ослабить утечку в боковые лепестки, однако лишь за счет снижения разрешающей способности.
    Указанные ограничения классических спектральных оценок особенно сильно проявляются при анализе коротких записей данных. Однако именно такая ситуация является типичной для большинства практических приложений, поскольку многие измеряемые процессы обладают малой длительностью или же быстро изменяющимися во времени спектрами. В радиолокации, например, по каждому отраженному сигналу можно получить лишь ограниченное множество отсчетов. В гидролокации движение объекта приводит к плавному изменению во времени спектра принимаемого эхо-сигнала за счет эффекта Доплера.
    Закономерно поэтому, что в течение последних двух десятилетий стал расти интерес к альтернативным методам спектрального оценивания, обладающих лучшими характеристиками по частотному разрешению и критерию среднего квадрата ошибки (суммы квадрата смещения и дисперсии оценки) при анализе последовательностей данных малой длины. В данном учебном пособии основное внимание уделяется достаточно полному и методически последовательному изложению именно таких или современных методов цифрового спектрального анализа стационарных случайных процессов. Пособие охватывает практически весь традиционный круг проблем одномерного анализа данных. В определенном смысле пособие органично дополняет серию руководств по классическим методам и опирается на цифровую форму представления конечной выборки экспериментальных данных, наиболее распространенную в настоящее время на практике.
    Пособие условно можно условно разбить на две части. В первой представлено теоретическое обоснование и описаны потенциальные характеристики классических периодограммных и коррелограммных непараметрических методов спектрального оценивания. К достоинствам этих методов следует отнести прежде всего отсутствие каких бы то ни было априорных гипотез относительно модельных представлений анализируемых процессов. На наглядных числовых примерах проиллюстрированы значение и физическое содержание различных вариантов процедур «псевдоусреднения» временных рядов, обеспечивающих разумный баланс между частотным разрешением и средним квадратом ошибок непараметрических спектральных оценок. К разряду недостатков следует отнести все еще достаточно жесткие ограничения относительно объема выборочных данных.
    Вторая часть пособия в значительной степени отражает те существенные преобразования, которые произошли в области цифрового спектрального анализа за последние два десятилетия благодаря применению новых подходов, связанных с широким использованием модельных представлений об анализируемых процессах. Применение моделей авторегрессии, скользящего среднего и их комбинаций в значительной мере

б

Предисловие

способствует преодолению эффекта «окна» и, как следствие, кардинальному улучшению характеристик спектральных оценок сверхкоротких записей данных. Методически последовательно рассмотрены теоретические свойства и рекомендации по практическому применению обширного арсенала параметрических спектральных оценок. Приводятся методы спектрального оценивания путем экстраполяции автокорреляционной последовательности и алгоритмы оценивания частоты, основанные на анализе собственных значений. Необходимо отметить, что в классе параметрических методов акцент сделан на спектральном оценивании блоков накопленных данных фиксированного объема. Их замечательной особенностью является рекурсивный характер оценки параметров по порядку модели дискретного случайного процесса, обеспечивающий возможность применения весьма эффективной в вычислительном отношении процедуры Левинсона-Дурбина.
    Цель каждой главы — обеспечить читателю понимание тех допущений, которые положены в основу того или иного метода. В пособие помещены исходные коды программ, наглядно иллюстрирующих реализацию рассмотренных методов спектрального оценивания в интегрированной среде пакета MATLAB. Для лучшего усвоения материала читателю следовало бы, вероятно, опробовать некоторые из них по серии практических задач, также включенных в текст.
    Пособие не претендует на сколько-нибудь исчерпывающее изложение всех проблем спектрального оценивания данных. За рамками рассмотрения остались фундаментальные результаты последних лет, в частности, адаптивные методы спектрального анализа, параметрические модели нестационарных случайных процессов семейства авторегрессионной условной неоднородности, а также вопросы анализа многомерных данных. Не нашли своего отражения бурно развивающиеся в последние годы методы вейвлет-преобразования и анализа фрактальных временных рядов. Однако авторы надеются, что данное пособие в методическом и практическом плане будет весьма полезным введением в современные методы спектрального анализа и органично дополнит серию руководств по цифровым методам обработки сигналов.

   ГЛАВА!.


    Математические основы анализа

    энергетического спектра стационарных случайных

    процессов





1.1. Периодограмма реализации непрерывного случайного процесса


     Случайный процесс (СП) X(t) = {x(t)} в непрерывном времени можно интерпретировать как ансамбль вещественных или комплексных реализаций x(t) [1], каждую из которых можно было бы получить в результате проведения некоторого стохастического эксперимента, причем t — (—ГО, <х).
     Замечания.
     1.     Случайные процессы в непрерывном времени играют важную роль при аналоговых измерениях в различных прикладных областях [2, 3], а также в задачах приема локационных сигналов различных диапазонов длин волн [4].
     2.     Действительный аргумент t в общем случае представляет собой временную или пространственную переменную. В данной работе для определенности под t будем понимать в основном временную переменную. Однако выводы получаемых выражений можно аналогичным образом провести для пространственных, а также для пространственно-временных сигналов.
     На практике реализация СП x(t) обычно задана лишь на конечном интервале [—Tᵣ/2, Tᵣ/2]. Введем функцию

x(t) при t - [-Tᵣ/2,Tᵣ/2], О при t — [—Tᵣ/2, Tᵣ/2].


хт (t) = I

    Рассмотрим спектральное разложение стационарного СП в предположении, что временная функция хт(t), порожденная реализацией x(t), имеет преобразование Фурье Хт(iw), так что

Zoc

  -О

                тТг/2
хт (t) е⁻lwtdt = /    x(t)e
                7-Т//2


-‘ tdw.     (1.1)

и обратно

xt(t) = F Х{Хт(iw)}

_ 1   Г°
²п J-oo

XT{ iw) elwtdw.

Глава 1

    Энергия сигнала xT(t) определяется как


                     Zoo                   тГ//^
                          xᵣ(t)xT(t) dt = J      |x(t) |²dt,


где звездочка (*) обозначает комплексное сопряжение.
    Согласно равенству Парсеваля [1], энергия может быть также получена с помощью преобразования Фурье сигнала (1.1), т.е.


              ZT//2             -|   ло>
T   |x(t) |² (t)dt= — - IXT (щ) |² du.


Разделив обе части этого равенства на длину интервала финитности Tᵣ, получим

     р —     ¹ Л/²  I ыГ ¹ Г       |Xt(М |²,
     p = xT = т⁻ J T |x(t)| dt ⁼ 2nj —T—d~''    ^'²'

где P = E/Tᵣ — средняя на интервале [—Tᵣ/2, Tᵣ/2] мощность усеченной реализации; xT — среднее во в ремени значение xT.
    Назовем подынтегральную функцию в выражении (1.2)


Sx( w,Tr) = |Xt( М |²/Tr

(1.3)

периодограммой усеченной реализации xt(t). Тогда формула (1.2) примет вид


Р=^- [ Sx(w,Tr) dw.
²п 7-o


Согласно этому выражению, площадь под кривой функции Sₓ(w,Tᵣ) характеризует среднюю на интервале обработки мощность. Таким образом, периодограмма описывает распределение средней мощности усеченной реализации xT(t) по частоте и поэтому называется также выборочной спектральной плотностью мощности (СПМ) реализации случайного процесса.


1.2.   Первое определение СПМ непрерывного случайного процесса

    Среднее значение периодограммы Sₓ(w,Tᵣ)

St M = E{|Xt( M |²/Tr}

характеризует среднее распределение (по всем возможным реализациям СП длины Tᵣ) мощности по частотам. Здесь и далее символом E{...} обозначается оператор статистического усреднения (математическое ожидание). При увеличении длины Tᵣ математическое ожидание ST(щ) эргодического по корреляционной функции СП стремится к вели-

Математические основы анализа энергетического спектра

9

чине [1]

Sₓ(и) =TIim^ St(u),


описывающей распределение средней мощности по частоте и называемой СПМ случайного процесса, или его энергетическим спектром. СПМ можно представить в виде

Sₓ(и) = TIim E

'Tr /2

-Tr/2

x(t)e lwt dt

(1-4)

     Таким образом, допущение об эргодичности СП позволяет ввести первое определение СПМ — посредством статистического усреднения квадрата модуля преобразования Фурье реализации СП, поделенного на длину реализации Tᵣ, при условии увеличения длины Tᵣ до бесконечности.
     Если в формуле (1.4) не учитывать операцию вычисления математического ожидания, то получим величину
2
,               (1.5)


       i  rTr/2
 lim —         x(t)е-dt
Tr•'*- Tr J-Tᵣ/2

которая называется периодограммой, или выборочной спектральной плотностью мощности, СП. Эта величина, основанная на вычислении квадрата модуля преобразования Фурье реализации бесконечной длины, представляет собой оценку неизвестной СПМ Sₓ(и). При конечной длине реализации Tᵣ получаем периодограммную оценку СПМ Sₓ(и, Tᵣ), определяемую формулой (1.3). Поэтому статистику Sₓ(и, Tᵣ) в дальнейшем будем обозначать Sₓ(и).
     Заметим, что СПМ Sₓ(и) неотрицательна. Это свойство следует из очевидного неравенства ST (и) = E{|XT( iu) |²} > 0 для любой частоты и и предельного перехода Tᵣ ^ ж.
     Замечание. В случае непрерывных детерминированных сигналов распределение мощности в частотной области описывается СПМ Sₓ(w,Tᵣ), вычисляемой по формуле (1-4). СПМ детерминированных непрерывных сигналов определяется выражением (1.5) [5]. Существенное отличие в анализе Фурье детерминированных и случайных сигналов состоит в том, что для случайных воздействий периодограмма Sₓ(w,Tᵣ) не становится более устойчивой при увеличении длины реализации. Это обусловлено тем, что, как будет показано ниже, функция Sx(w,Tᵣ) не сходится в каком-либо статистическом смысле к предельному значению при Tr ^ ж.


1.3.   Соотношение между СПМ и АКФ непрерывного случайного процесса. Второе определение СПМ
    Пусть X(t) — стационарный в широком смысле СП [1]. По определению автокорреляционной функции (АКФ) в два различных момента

Глава 1

времени ti = t и ts = t + т

         rx (tl,t₂) = Гх (tl - t₂) = E{X(ti)X * (t₂)} = rx (t). (1.6)

АКФ СП является мерой зависимости между значениями СП в различные моменты момент времени. В этом смысле АКФ описывает изменения СП во времени.
    Стационарный СП X(t) называется эргодическим по корреляционной функции [1], если с вероятностью, равной единице, выполняется равенство
             ТГГ/₂
    lim — I      x(t)x*(t + т) dt = E{X(t)X*(t + т)} = rₓ(т). (1.7)
   T/ 'TO Tr J-Tᵣ/₂

т.е. если среднее по времени значение произведения одной реализации СП в два момента времени, разделенных временным сдвигом т (временная АКФ), совпадает со статистическим средним по ансамблю произведения СП X(t)X*(t + т).
    Можно показать [2], что предел в (1.7) равен истинному значению АКФ rₓ(т) тогда и только тогда, когда дисперсия временного среднего в левой части этого соотношения стремится к нулю.
    При т = 0 из (1.7) следует соотношение
ТГ//₂
rx(0)= lim — I        |x(t)|² dt,           (1.8)
1/.'x_ Tr J-Tᵣ/₂

т.е. корреляционная функция эргодического СП при нулевом сдвиге характеризует среднюю мощность СП.
    Следующая теорема устанавливает связь между характеристиками стационарного СП во временной и частотной областях.
    Теорема Винера-Хинчина. СПМ (1.4) и АКФ (1.6) связаны между собой парой преобразований Фурье:

Sx (w)

ZTO

   -то

rx (т)е   ; dr;

rx(т) = F {{Sₓ(w)} =

TO Г Sx(w)е’ т dw.
²п J-то

(1.9)

(1.Ю)

Уравнения (1.9) и (1.10) называются соотношениями Винера-Хинчина.
    Доказательство формулы (1.9). Доказательство проведем при допущении нулевого среднего значения СП mₓ = 0. Пусть, как и выше, реализация СП задана на конечном интервале [—Tᵣ/2, Tᵣ/2], а преобразование Фурье XT(iw) определяется формулой (1.1). Тогда среднее значение периодограммы запишем в виде

St< Ч-Е^

t^E{Xt( iw)XT( iw)} = Tᵣ