Руководство по методам вычислений и приложения MATHCAD

Ракитин В.И.

Руководство по

методам вычислений

и приложения

MATHCAD

МОСКВА

ФИЗМАТЛИТ ®

УДК 519.6
ББК 22.19
Р 19

Ра к и т и н В. И. Руководство по методам вычислений и приложения
MATHCAD. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 264 с. — ISBN 5-9221-0636-8.

Пособие содержит материал, предусмотренный программой для высших
технических учебных заведений по дисциплине «Численные методы». В каждой главе даются необходимые теоретические сведения, примеры, иллюстрирующие применение различных численных методов, упражнения для самостоятельного решения и решения примеров с помощью прикладной математической
программы MATHCAD.
Для студентов втузов. Может быть также полезно аспирантам, преподавателям, инженерам и научным работникам.

ISBN 5-9221-0636-8

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2005

c⃝ В. И. Ракитин, 2005

 
УДК 519.6 
ББК 22.19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ракитин В.И. Руководство по методам вычислений и приложения MATHCAD: 
Учеб. пособие. –   М: ФИЗМАТЛИТ, 2005. -  264 с., 54 ил. – ISBN 
Пособие содержит материал, предусмотренный программой для высших технических учебных 
заведений по дисциплине «Численные методы». В каждой главе даются необходимые теоретические сведения, примеры, иллюстрирующие применение различных  численных  методов, 
упражнения для самостоятельного решения и решения примеров с помощью прикладной математической программы MATHCAD.  
Для студентов втузов. Может быть также полезно аспирантам, преподавателям, инженерам и 
научным работникам.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
                                                    
 
       ©   В.И.Ракитин,  2005 
       ©   ФИЗМАТЛИТ, 2005 
 

 
ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
Данное пособие написано в соответствии с программой по дисциплине «Численные 
методы», изучаемой студентами технических вузов. Значительная часть материала 
пособия была использована автором при чтении курсов и подготовке методических 
пособий по численным методам в Московском государственном университете инженерной экологии, Московском государственном геологоразведочном университете, 
Московском государственном университете пищевых производств. 

Книга состоит из тринадцати глав и приложений. Главы охватывают следующие разделы программы: понятие линейного нормированного пространства; методы численного решения систем линейных уравнений; методы численного решения нелинейных 
уравнений и систем; среднеквадратичное приближение функций; интерполирование 
функций; численное дифференцирование и интегрирование; численное решение 
обыкновенных дифференциальных уравнений; численные методы поиска экстремума 
функций одной и нескольких переменных; задачи линейного программирования.  

В каждой главе приводятся необходимые теоретические сведения (основные теоремы, 
определения, формулы, различные вычислительные методы и т.д.), а также примеры, 
иллюстрирующие применение описанных методов.  

Основная цель пособия – помочь развитию у читателя практических навыков в применении численных методов. Каждая тема содержит: вычислительный алгоритм; теоретические обоснования его применения; условия окончания вычислительного процесса; примеры, полностью или частично выполненные «вручную». 

В приложениях приводятся решения примеров с помощью прикладной математической программы MATHCAD на следующие темы: решение систем линейных уравнений, решение нелинейных уравнений и систем, численное дифференцирование и интегрирование, сглаживание экспериментальных данных, решение обыкновенных 
дифференциальных уравнений и систем, решение дифференциальных уравнений и 
систем в частных производных, поиск экстремума функций одной и нескольких переменных, задачи линейного программирования.  

Для многих рассмотренных в книге примеров найденные численные решения сравниваются с известными аналитическими решениями.  

Настоящее пособие предназначено для студентов высших технических учебных заведений. Оно может также оказаться полезным для аспирантов, преподавателей, инженеров и научных работников, использующих в своей деятельности вычислительные 
методы.  

 

 Автор 

ГЛАВА 1. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ ВЫЧИСЛЕНИЙ 

 

4 
 
ГЛАВА 1. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ ВЫЧИСЛЕНИЙ 

Понятие погрешности. Обозначим через x и *
x  соответственно точное и при
ближенное значения некоторой величины. Различают два вида погрешностей − 

абсолютную и относительную. Погрешностью, или  абсолютной погрешно
стью  некоторой величины называют разность ∆х между точным и приближен
ным  значениями: 

∆х = х − *
x . 

Относительная погрешность 
x
δ
 − это отношение абсолютной погрешности к 

приближенному значению величины: 

*
x
x
x
∆
δ
=
. 

Предельной погрешностью (предельной абсолютной погрешностью) 
x
∆ назы
вают наименьшую положительную величину, которую не превышают абсолют
ные величины погрешностей:   

|
|
x
x
∆
∆
≤
. 

Предельной относительной погрешностью называют величину 
,x
δ
 равную от
ношению предельной погрешности к абсолютной величине *:
x

| *|

x
x
x
∆
δ
=
. 

В дальнейшем предполагается, что относительная погрешность мала:
1
x
δ
, и 

если известны значения *
x  и
x
∆ , то точное значение х находится в промежутке 

*
x − 
x
∆  ≤ x ≤ *
x  +
x
∆ . 
Говорят, что величина x определена с заданной точностью ε > 0, если предель
ная погрешность 
x
∆  не превосходит величины ε (
x
∆
ε
≤
). Тогда, естественно, х 

находится в интервале 

*
x − ε ≤ x ≤ *
x  + ε. 

Источники погрешностей. Пусть, начиная с некоторой заданной точной вели
чины x, определяется  по определенному алгоритму значение y. Обозначим эту 

процедуру нахождения y как  

y = A(x), 

где A будем называть алгоритмом (оператором) вычислений.    

ГЛАВА 1. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ ВЫЧИСЛЕНИЙ 

 

5

В процессе вычислений могут возникать следующие погрешности. 

1. Погрешность начальных данных: вместо точного начального значения x за
дается приближенное значение *
x  с погрешностью ∆х  (x = *
x  + ∆х). 

2. Погрешность дискретизации – погрешность метода вычислений, связанная с 

использованием «усеченного оператора вычислений» Aвместо оператора A: 

оператор A может содержать бесконечный процесс вычислений, а усечен
ный оператор A содержит ограниченное число вычислений. 

3. Погрешность округления: арифметические операции при вычислении со
вершаются над числами, содержащими конечное число знаков. Вместо усе
ченного оператора A действует оператор
о
A , производящий округления в 

процессе вычислений по усеченному алгоритму. 

Таким образом, результатом вычислений будет приближенное значение *
y , оп
ределяемое как
о
*
A ( *)
y
x
=
. 

Погрешность расчета  – разность между точным и приближенным значениями: 

о
*
A( )
A ( *)
y
y
y
x
x
∆
=
−
=
−
, 

(
) (
) (
)
о
A( )
A( )
A( )
A( *)
A( *)
A ( *)
y
x
x
x
x
x
x
∆
=
−
+
−
+
−
, 

м
нд
о
y
y
y
y
∆
∆
∆
∆
=
+
+
, 

где
м
y
∆
– погрешность метода дискретизации,
нд
y
∆
– погрешность от неточно
сти в начальных данных,
о
y
∆
– погрешность округления. Естественно, оценка 

погрешностей должна быть произведена для конкретного алгоритма вычисле
ний. 

Пример 1. Оценить величину погрешности при вычислении значения функции 

( , , )
u
f x y z
=
 по известным погрешностям начальных данных.    

Решение. Обозначим через *,
*,
*,
*
( *, *, *)
x
y
z
u
f x
y
z
=
 приближенные значе
ния аргументов и функции соответственно. Точные значения аргументов и 

функции для известных погрешностей 
,
,
x
y
z
∆
∆
∆  будут 
*
,
x
x
x
∆
=
+
 

*
,
*
,
y
y
y
z
z
z
∆
∆
=
+
=
+
  
( *
,
*
,
*
)
u
f x
x y
y z
z
z
∆
∆
∆
=
+
+
=
+
. Будем считать, что 

функция 
( , , )
u
f x y z
=
 имеет частные производные до второго порядка, а по

ГЛАВА 1. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ ВЫЧИСЛЕНИЙ 

 

4 
 
ГЛАВА 1. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ ВЫЧИСЛЕНИЙ 

Понятие погрешности. Обозначим через x и *
x  соответственно точное и при
ближенное значения некоторой величины. Различают два вида погрешностей − 

абсолютную и относительную. Погрешностью, или  абсолютной погрешно
стью  некоторой величины называют разность ∆х между точным и приближен
ным  значениями: 

∆х = х − *
x . 

Относительная погрешность 
x
δ
 − это отношение абсолютной погрешности к 

приближенному значению величины: 

*
x
x
x
∆
δ
=
. 

Предельной погрешностью (предельной абсолютной погрешностью) 
x
∆ назы
вают наименьшую положительную величину, которую не превышают абсолют
ные величины погрешностей:   

|
|
x
x
∆
∆
≤
. 

Предельной относительной погрешностью называют величину 
,x
δ
 равную от
ношению предельной погрешности к абсолютной величине *:
x

| *|

x
x
x
∆
δ
=
. 

В дальнейшем предполагается, что относительная погрешность мала:
1
x
δ
, и 

если известны значения *
x  и
x
∆ , то точное значение х находится в промежутке 

*
x − 
x
∆  ≤ x ≤ *
x  +
x
∆ . 
Говорят, что величина x определена с заданной точностью ε > 0, если предель
ная погрешность 
x
∆  не превосходит величины ε (
x
∆
ε
≤
). Тогда, естественно, х 

находится в интервале 

*
x − ε ≤ x ≤ *
x  + ε. 

Источники погрешностей. Пусть, начиная с некоторой заданной точной вели
чины x, определяется  по определенному алгоритму значение y. Обозначим эту 

процедуру нахождения y как  

y = A(x), 

где A будем называть алгоритмом (оператором) вычислений.    

ГЛАВА 1. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ ВЫЧИСЛЕНИЙ 

 

5

В процессе вычислений могут возникать следующие погрешности. 

1. Погрешность начальных данных: вместо точного начального значения x за
дается приближенное значение *
x  с погрешностью ∆х  (x = *
x  + ∆х). 

2. Погрешность дискретизации – погрешность метода вычислений, связанная с 

использованием «усеченного оператора вычислений» Aвместо оператора A: 

оператор A может содержать бесконечный процесс вычислений, а усечен
ный оператор A содержит ограниченное число вычислений. 

3. Погрешность округления: арифметические операции при вычислении со
вершаются над числами, содержащими конечное число знаков. Вместо усе
ченного оператора A действует оператор
о
A , производящий округления в 

процессе вычислений по усеченному алгоритму. 

Таким образом, результатом вычислений будет приближенное значение *
y , оп
ределяемое как
о
*
A ( *)
y
x
=
. 

Погрешность расчета  – разность между точным и приближенным значениями: 

о
*
A( )
A ( *)
y
y
y
x
x
∆
=
−
=
−
, 

(
) (
) (
)
о
A( )
A( )
A( )
A( *)
A( *)
A ( *)
y
x
x
x
x
x
x
∆
=
−
+
−
+
−
, 

м
нд
о
y
y
y
y
∆
∆
∆
∆
=
+
+
, 

где
м
y
∆
– погрешность метода дискретизации,
нд
y
∆
– погрешность от неточно
сти в начальных данных,
о
y
∆
– погрешность округления. Естественно, оценка 

погрешностей должна быть произведена для конкретного алгоритма вычисле
ний. 

Пример 1. Оценить величину погрешности при вычислении значения функции 

( , , )
u
f x y z
=
 по известным погрешностям начальных данных.    

Решение. Обозначим через *,
*,
*,
*
( *, *, *)
x
y
z
u
f x
y
z
=
 приближенные значе
ния аргументов и функции соответственно. Точные значения аргументов и 

функции для известных погрешностей 
,
,
x
y
z
∆
∆
∆  будут 
*
,
x
x
x
∆
=
+
 

*
,
*
,
y
y
y
z
z
z
∆
∆
=
+
=
+
  
( *
,
*
,
*
)
u
f x
x y
y z
z
z
∆
∆
∆
=
+
+
=
+
. Будем считать, что 

функция 
( , , )
u
f x y z
=
 имеет частные производные до второго порядка, а по

ГЛАВА 1. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ ВЫЧИСЛЕНИЙ 

 

6 
 
грешности 
,x
∆
 
,y
z
∆
∆  настолько малы, что в формуле Тейлора можно пренеб
речь выражениями, содержащими  их квадраты: 

*
*
*
( , , )
( *, *, *)
f
f
f
u
f x y z
f x
y
z
x
y
z
x
y
z
∆
∆
∆
∂
∂
∂
=
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
∂
∂
∂
. 

Погрешность вычисления функции будет 

*
*
*
*
x
y
z
u
u
u
f
x
f
y
f
z
∆
∆
∆
∆
=
−
=
⋅
+
⋅
+
⋅
. 

Соответствующая предельная погрешность вычисляется по формуле 

*
*
*
x
y
z
u
f
x
f
y
f
z
∆
∆
∆
∆
=
⋅
+
⋅
+
⋅
 
(1)

В частности, если в каких-либо опытах или технологических процессах изме
рения величин производятся с известными погрешностями, то погрешность ве
личины, зависимой функционально от измеряемых величин, может быть опре
делена по формуле (1). 

Оценки погрешностей в арифметических операциях, получаемые с помощью 

формулы (1), приведены в таблице. 

Арифметические 
операции 
Предельные 
погрешности 

Предельные 
относительные  
погрешности 

z
x
y
=
±
 
z
x
y
∆
∆
∆
=
+
 
 

z
x y
=
⋅
 
*
*
z
y
x
x
y
∆
∆
∆
=
⋅
+
⋅
 
* *
z
z
x
y
x
y
∆
δ
δ
δ
=
=
+
⋅
 

,
0
x
z
y
y
=
≠
 

(
)2
*
1
*
*

x
z
x
y
y
y
∆
∆
∆
=
⋅
+
⋅
 
*
*

z
z
x
y
x
y

∆
δ
δ
δ
=
=
+
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠

 

Пример 2. Оценить величину погрешности при вычислении значения функ
ции 
sin
y
x
=
 при точном значении x. 

Решение.  Известно разложение данной функции в ряд Тейлора по степеням x: 

2
1
3
5
7
2
1

0
sin
( 1)
( 1)
(2
1)!
3!
5!
7!
(2
1)!

k
k
k
k

k

x
x
x
x
x
y
x
x
k
k

∞
+
+

=
=
=
−
=
−
+
−
+
+ −
+
+
+
∑
. 

ГЛАВА 1. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ ВЫЧИСЛЕНИЙ 

 

7

Приближенное значение функции можно вычислить, ограничиваясь конечным 

числом слагаемых,  

2
1
3
5
7
2
1

0
*
(sin )*
( 1)
( 1)
(2
1)!
3!
5!
7!
(2
1)!

n
k
n
k
n

k

x
x
x
x
x
y
x
x
k
n

+
+

=
=
=
−
=
−
+
−
+
+ −
+
+
∑
. 

Погрешность 
*
y
y
y
∆
=
−
 для сходящегося знакочередующегося ряда по абсо
лютной величине не превосходит абсолютной величины первого члена остатка 

ряда, т.е. 

2
3
*
(2
3)!

n
x
y
y
n

+
−
≤
+
и предельная погрешность равна

2
3

(2
3)!

n
x
y
n
∆

+

=
+
. 

Важным фактором при численном решении различных задач является исполь
зование вычислительной техники, а компьютеры имеют дело с конечным чис
лом цифр и других символов. Арифметические операции, выполняемые ЭВМ, 

ограничены конечным числом разрядов, в то время как численное представле
ние большинства вещественных чисел требует бесконечного числа разрядов. 

Даже если исходные данные допускают точное численное представление в 

ЭВМ, в результате выполнения арифметических операций могут возникать не
которые погрешности. При выполнении большого числа арифметических опе
раций возможно накопление ошибок округления, которое может повлиять на 

точность вычисленного решения. Другая возможность связана с возникновени
ем так называемых катастрофических ошибок округления. 

Пример 3. Предположим, что в нашем распоряжении имеется компьютер, вы
полняющий операции над десятичными числами с четырьмя верны
ми знаками, и эти числа представляются в форме0,**** 10p
⋅
. Найти 

решение на данном компьютере следующей системы уравнений:  

 
5
10
1,
2
0.
x
y
x
y

−
⎧−
⋅
+
=
⎪⎨
+
=
⎪⎩
 

Решение. Точным решением этой системы будет:
100000
0,4999975
200001
x = −
≈ −
,  

200000
0,999995.
200001
y =
≈
 
Выражая 
x 
через 
y 
из 
первого 
уравнения: 

5
5
10
10
x
y
=
−
и 
подставляя 
во 
второе, 
получим 
5
5
(2 10
1)
2 10 ,
y
⋅
+
⋅
=
⋅
 

ГЛАВА 1. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ ВЫЧИСЛЕНИЙ 

 

6 
 
грешности 
,x
∆
 
,y
z
∆
∆  настолько малы, что в формуле Тейлора можно пренеб
речь выражениями, содержащими  их квадраты: 

*
*
*
( , , )
( *, *, *)
f
f
f
u
f x y z
f x
y
z
x
y
z
x
y
z
∆
∆
∆
∂
∂
∂
=
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
∂
∂
∂
. 

Погрешность вычисления функции будет 

*
*
*
*
x
y
z
u
u
u
f
x
f
y
f
z
∆
∆
∆
∆
=
−
=
⋅
+
⋅
+
⋅
. 

Соответствующая предельная погрешность вычисляется по формуле 

*
*
*
x
y
z
u
f
x
f
y
f
z
∆
∆
∆
∆
=
⋅
+
⋅
+
⋅
 
(1)

В частности, если в каких-либо опытах или технологических процессах изме
рения величин производятся с известными погрешностями, то погрешность ве
личины, зависимой функционально от измеряемых величин, может быть опре
делена по формуле (1). 

Оценки погрешностей в арифметических операциях, получаемые с помощью 

формулы (1), приведены в таблице. 

Арифметические 
операции 
Предельные 
погрешности 

Предельные 
относительные  
погрешности 

z
x
y
=
±
 
z
x
y
∆
∆
∆
=
+
 
 

z
x y
=
⋅
 
*
*
z
y
x
x
y
∆
∆
∆
=
⋅
+
⋅
 
* *
z
z
x
y
x
y
∆
δ
δ
δ
=
=
+
⋅
 

,
0
x
z
y
y
=
≠
 

(
)2
*
1
*
*

x
z
x
y
y
y
∆
∆
∆
=
⋅
+
⋅
 
*
*

z
z
x
y
x
y

∆
δ
δ
δ
=
=
+
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠

 

Пример 2. Оценить величину погрешности при вычислении значения функ
ции 
sin
y
x
=
 при точном значении x. 

Решение.  Известно разложение данной функции в ряд Тейлора по степеням x: 

2
1
3
5
7
2
1

0
sin
( 1)
( 1)
(2
1)!
3!
5!
7!
(2
1)!

k
k
k
k

k

x
x
x
x
x
y
x
x
k
k

∞
+
+

=
=
=
−
=
−
+
−
+
+ −
+
+
+
∑
. 

ГЛАВА 1. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ ВЫЧИСЛЕНИЙ 

 

7

Приближенное значение функции можно вычислить, ограничиваясь конечным 

числом слагаемых,  

2
1
3
5
7
2
1

0
*
(sin )*
( 1)
( 1)
(2
1)!
3!
5!
7!
(2
1)!

n
k
n
k
n

k

x
x
x
x
x
y
x
x
k
n

+
+

=
=
=
−
=
−
+
−
+
+ −
+
+
∑
. 

Погрешность 
*
y
y
y
∆
=
−
 для сходящегося знакочередующегося ряда по абсо
лютной величине не превосходит абсолютной величины первого члена остатка 

ряда, т.е. 

2
3
*
(2
3)!

n
x
y
y
n

+
−
≤
+
и предельная погрешность равна

2
3

(2
3)!

n
x
y
n
∆

+

=
+
. 

Важным фактором при численном решении различных задач является исполь
зование вычислительной техники, а компьютеры имеют дело с конечным чис
лом цифр и других символов. Арифметические операции, выполняемые ЭВМ, 

ограничены конечным числом разрядов, в то время как численное представле
ние большинства вещественных чисел требует бесконечного числа разрядов. 

Даже если исходные данные допускают точное численное представление в 

ЭВМ, в результате выполнения арифметических операций могут возникать не
которые погрешности. При выполнении большого числа арифметических опе
раций возможно накопление ошибок округления, которое может повлиять на 

точность вычисленного решения. Другая возможность связана с возникновени
ем так называемых катастрофических ошибок округления. 

Пример 3. Предположим, что в нашем распоряжении имеется компьютер, вы
полняющий операции над десятичными числами с четырьмя верны
ми знаками, и эти числа представляются в форме0,**** 10p
⋅
. Найти 

решение на данном компьютере следующей системы уравнений:  

 
5
10
1,
2
0.
x
y
x
y

−
⎧−
⋅
+
=
⎪⎨
+
=
⎪⎩
 

Решение. Точным решением этой системы будет:
100000
0,4999975
200001
x = −
≈ −
,  

200000
0,999995.
200001
y =
≈
 
Выражая 
x 
через 
y 
из 
первого 
уравнения: 

5
5
10
10
x
y
=
−
и 
подставляя 
во 
второе, 
получим 
5
5
(2 10
1)
2 10 ,
y
⋅
+
⋅
=
⋅
 

ГЛАВА 1. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ ВЫЧИСЛЕНИЙ 

 

8 
 
или
6
6
0,200001 10
0,2 10
y
⋅
⋅
=
⋅
. Коэффициент при y должен быть представлен в 

виде
6
0,2000 10
⋅
, так как в компьютере помещаются только четыре цифры после 

запятой. Это ошибка округления, возникшая в ходе вычисления. В результате 

получим 
1
5
5
0,1 10
1,
10
1 10
0.
y
x
=
⋅
=
=
⋅ −
=
 

Если алгоритм приводит к катастрофическим ошибкам, то такой алгоритм на
зывают численно неустойчивым и его нельзя использовать в качестве универ
сального метода.  

Далее в основном рассматриваются численные методы вместе с ошибками дис
кретизации этих методов.  

ГЛАВА 2. ПОНЯТИЕ ЛИНЕЙНОГО НОРМИРОВАННОГО  
ПРОСТРАНСТВА 

§1.  ОСНОВНЫЕ  ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ 
НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВ 

Определение. Множество L, состоящее из элементов  x, y, z,..., называется ли
нейным пространством, если на этом множестве определены две операции – 

сложение элементов и умножение элемента на число,  удовлетворяющие сле
дующим условиям (аксиомам): 

1) x + y = y + x 
∀x, y ∈ L; 

2) x + (y + z) = (x + y) + z 
∀x, y, z ∈ L; 

3) существует нулевой элемент  0 ∈ L такой, что 

     x + 0 = x                                    ∀x ∈ L; 

4) ∀x ∈ L существует противоположный элемент  – x  такой, что  

       x + (–x) = 0; 

5) λ(µx) = (λµ)x                              ∀x ∈ L,  λ, µ ∈ R; 

6) 1⋅x = x                                          ∀x ∈ L; 

7) (λ +µ) x = λx + µx                        ∀x ∈ L,  λ, µ ∈ R; 

8) λ(x + y) = λx + λy                        ∀x, y ∈ L,   λ ∈ R. 

Разность элементов x – y определяется соотношением 

x – y = x + (–y). 

§1. ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ  НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВ 

 

9

Определение. Линейное пространство L называется нормированным, если ка
ждому элементу x ∈ L поставлено в соответствие действительное число, назы
ваемое нормой элемента и обозначаемое ||x||, причем удовлетворены следующие 

условия (аксиомы нормы): 

1)  ||x|| ≥ 0;                        условие  ||x|| = 0  эквивалентно условию x = 0; 

2)  ||λx|| = |λ| ||x|| ,             λ ∈ R; 

3)  ||x + y||  ≤  ||x|| + ||y||      ∀ x, y ∈  L. 

Определение. Расстояние d(x, y) между элементами x и  y  линейного норми
рованного пространства определяется как норма разности этих элементов, т.е. 

d(x,y) = ||x – y||.                        

ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВ 

1. Множество действительных чисел R является линейным  нормированным 

пространством, где норма – это абсолютная величина числа, а расстояние 

d(x, y) = ||x – y||  = |x – y|   (x, y ∈ R). 

2. Нормированные пространства n-мерных векторов        

Упорядоченная совокупность n действительных чисел  x1, x2, ... , xn  называется 

n-мерным вектором  x ∈ Rn, а числа x1, x2, ... , xn –  его координатами.  

Суммой двух n-мерных векторов x и y называется n-мерный вектор x + y, коор
динаты 
которого 
равны 
суммам 
соответствующих 
координат 
xk + yk 

(k = 1, 2, ..., n) векторов x и y.  

Произведением n-мерного вектора  x  на число λ называется n-мерный вектор 

λx, координаты которого получаются умножением координат вектора x на чис
ло λ. 

Будем записывать вектор x в виде   

1

2

n

x

x

x

⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
= ⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠

x
.                           

ГЛАВА 1. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ ВЫЧИСЛЕНИЙ 

 

8 
 
или
6
6
0,200001 10
0,2 10
y
⋅
⋅
=
⋅
. Коэффициент при y должен быть представлен в 

виде
6
0,2000 10
⋅
, так как в компьютере помещаются только четыре цифры после 

запятой. Это ошибка округления, возникшая в ходе вычисления. В результате 

получим 
1
5
5
0,1 10
1,
10
1 10
0.
y
x
=
⋅
=
=
⋅ −
=
 

Если алгоритм приводит к катастрофическим ошибкам, то такой алгоритм на
зывают численно неустойчивым и его нельзя использовать в качестве универ
сального метода.  

Далее в основном рассматриваются численные методы вместе с ошибками дис
кретизации этих методов.  

ГЛАВА 2. ПОНЯТИЕ ЛИНЕЙНОГО НОРМИРОВАННОГО  
ПРОСТРАНСТВА 

§1.  ОСНОВНЫЕ  ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ 
НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВ 

Определение. Множество L, состоящее из элементов  x, y, z,..., называется ли
нейным пространством, если на этом множестве определены две операции – 

сложение элементов и умножение элемента на число,  удовлетворяющие сле
дующим условиям (аксиомам): 

1) x + y = y + x 
∀x, y ∈ L; 

2) x + (y + z) = (x + y) + z 
∀x, y, z ∈ L; 

3) существует нулевой элемент  0 ∈ L такой, что 

     x + 0 = x                                    ∀x ∈ L; 

4) ∀x ∈ L существует противоположный элемент  – x  такой, что  

       x + (–x) = 0; 

5) λ(µx) = (λµ)x                              ∀x ∈ L,  λ, µ ∈ R; 

6) 1⋅x = x                                          ∀x ∈ L; 

7) (λ +µ) x = λx + µx                        ∀x ∈ L,  λ, µ ∈ R; 

8) λ(x + y) = λx + λy                        ∀x, y ∈ L,   λ ∈ R. 

Разность элементов x – y определяется соотношением 

x – y = x + (–y). 

§1. ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ  НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВ 

 

9

Определение. Линейное пространство L называется нормированным, если ка
ждому элементу x ∈ L поставлено в соответствие действительное число, назы
ваемое нормой элемента и обозначаемое ||x||, причем удовлетворены следующие 

условия (аксиомы нормы): 

1)  ||x|| ≥ 0;                        условие  ||x|| = 0  эквивалентно условию x = 0; 

2)  ||λx|| = |λ| ||x|| ,             λ ∈ R; 

3)  ||x + y||  ≤  ||x|| + ||y||      ∀ x, y ∈  L. 

Определение. Расстояние d(x, y) между элементами x и  y  линейного норми
рованного пространства определяется как норма разности этих элементов, т.е. 

d(x,y) = ||x – y||.                        

ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВ 

1. Множество действительных чисел R является линейным  нормированным 

пространством, где норма – это абсолютная величина числа, а расстояние 

d(x, y) = ||x – y||  = |x – y|   (x, y ∈ R). 

2. Нормированные пространства n-мерных векторов        

Упорядоченная совокупность n действительных чисел  x1, x2, ... , xn  называется 

n-мерным вектором  x ∈ Rn, а числа x1, x2, ... , xn –  его координатами.  

Суммой двух n-мерных векторов x и y называется n-мерный вектор x + y, коор
динаты 
которого 
равны 
суммам 
соответствующих 
координат 
xk + yk 

(k = 1, 2, ..., n) векторов x и y.  

Произведением n-мерного вектора  x  на число λ называется n-мерный вектор 

λx, координаты которого получаются умножением координат вектора x на чис
ло λ. 

Будем записывать вектор x в виде   

1

2

n

x

x

x

⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
= ⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠

x
.                           

ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 

 

10 

На векторах линейного пространства Rn можно, в частности, определить сле
дующие три нормы  (и соответственно три линейных нормированных про
странства):  

∞
x
= max{|x1|, |x2|, ... , |xn|}  (l∞-норма, или кубическая норма); 

1
x
= 

1
|
|

n

i
i

x

=∑
                        (l1-норма, или октаэдрическая норма); 

e
x
=
2

1

n

i
i

x

=∑
                        (l2-норма, или евклидова, или сферическая норма). 

Пример 1. Вычислить расстояние между векторами x и y  для каждой из трех 

введенных норм, если 

1
2

3

⎛
⎞
⎜
⎟
= ⎜
⎟
⎜
⎟
−
⎝
⎠

x
,        
1
1

1

⎛
⎞
⎜
⎟
= −
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠

y
. 

Решение. Найдем вектор разности 

0
3

4

⎛
⎞
⎜
⎟
−
= ⎜
⎟
⎜
⎟
−
⎝
⎠

x
y
. 

Согласно определению расстояния между векторами как нормы их разности, 
получим:   

d(x, y) ∞ = ||x – y||∞ = max {0, 3, 4} = 4; 

d(x, y)1  = ||x – y||1 = 0 + 3 + 4 = 7; 

d(x, y)e = ||x – y|| e =
2
2
2
0
3
4
+
+
= 5. 

Пример 2. На плоскости  R2 найти множества точек, удовлетворяющих усло
вию  ||x||  = 1. Решение получить в пространстве R2 для трех норм:  

а) l∞-нормы;  б)  l1-нормы;  в)  l2-нормы.  

Решение. По определению, сфера (в частности, окружность) – это множество 

точек, находящихся на заданном расстоянии от некоторой точки, называемой 

центром сферы. Условие ||x|| =1 определяет сферу единичного радиуса с цен
тром в начале координат. Геометрический образ сферы зависит от рассматри
ваемого линейного нормированного пространства. В данном примере получим 

§1. ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ  НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВ 

 

11

три различных геометрических образа формально определенной сферы 

(рис. 1-3). 

На плоскости Ox1x2 точке (x1x2) соответствует вектор
1

2

x

x
⎛
⎞
=
∈
⎜
⎟
⎝
⎠

2
x
R . 

а)  В пространстве R2  с l∞-нормой условие ||x||∞ = 1 эквивалентно соотношению 

max {|x1|, |x2|} = 1  или объединению двух множеств точек на плоско
сти Ox1x2:  {( x1, x2): |x1| =1, |x2| ≤ 1}  и {( x1, x2): |x1| ≤ 1, |x2| = 1}. Это множе
ство является границей  квадрата (рис. 1).  

б)  В пространстве R2 с l1-нормой равенство ||x||1 = |x1| + |x2| = 1 определяет мно
жество точек, образующих границу квадрата (рис. 2). Действительно, усло
вие  |x1| + |x2| = 1 эквивалентно  соотношениям 

1
2
1
2

1
2
1
2

1
2
1
2

1
2
1
2

1 при
0,
0;

1 при
0,
0;

1 при
0,
0;

1 при
0,
0,

x
x
x
x

x
x
x
x

x
x
x
x

x
x
x
x

+
=
≥
≥
⎧
⎪
−
=
≥
<
⎪⎨−
+
=
<
≥
⎪
⎪−
−
=
<
<
⎩

 

которые позволяют выполнить чертеж последовательно в каждой четверти 

плоскости Ox1x2. 

в)  По l2-норме условие  ||x||e =
2
2
1
2
1
x
x
+
=  определяет удаленные на единицу от 

начала координат точки, лежащие на окружности (рис. 3).  

Можно убедиться, что в пространстве R3 с l∞-, l1-, l2-нормами условие 

||x||∞ = ||x||1= ||x||e = 1 определяет множества точек, лежащих соответственно  на 

гранях куба, октаэдра и на поверхности сферы. Этим мотивируются названия 
введенных норм. 

 
x2

x1
–1 

1

O

–1

1 

Рис. 2

x2 

x1 
–1 

1 

O 

–1 

1 

Рис.  1 

x2 

x1
–1 

1 

O 

–1 

1 

Рис. 3