О некоторых приложениях теории слоений в задачах управления

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
МАТЕМАТИКА
2008. Вып. 2
УДК 517.934
c
⃝À. ß. Íàðìàíîâ, À. Ñ. Øàðèïîâ
О НЕКОТОРЫХ ПРИЛОЖЕНИЯХ ТЕОРИИ СЛОЕНИЙ
В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ
Обсуждается возможность применения теории слоений в теории управления.
Ключевые слова: слоение, система управления, множество управляемости, функция Беллмана.
Рассматривается система управления
˙
x = f(x, u),
x ∈M,
u ∈U ⊂Rm,
(1)
где M  гладкое (класса C∞) связное многообразие размерности n с
некоторой римановой метрикой g,
U  компакт, для каждого элемента
u ∈U векторное поле f(·, u) является полем класса C∞, а отображение f : M × U →TM непрерывно, где TM  касательное расслоение
многообразия M .
Допустимыми управлениями считаются кусочно-постоянные функции
u : [0, T] →U, где 0 < T < ∞. Таким образом, траектории системы (1),
соответствующие допустимым управлениям, представляют собой кусочногладкие отображения x : [0, T] →M. Цель управления  приведение
системы в некоторое фиксированное (целевое) состояние η ∈M. Будем
говорить, что точка x0 ∈M управляема из точки η за время T > 0, если
существует такая траектория x : [0, T] →M системы (1), что x(0) = x0,
x(T) = η .
Обозначим через Gη(< T) множество точек M, которые управляемы
из точки η за время, меньшее T. Считаем, что η ∈Gη(< T) для каждого
T > 0. Множество всех точек M, управляемых из точки η, называется
множеством управляемости с целевой точкой η и обозначается через Gη.
Известно, что множество всех гладких (класса C∞) векторных полей
на M является алгеброй Ли, в которой произведением векторных полей
X и Y служит их скобка Ли [X, Y ]. Обозначим через D множество векторных полей {f(·, u) : u ∈U}, через A(D)  минимальную подалгебру
Ли, содержащую D.
Орбита L(x) множества D, содержащая точку x ∈M, определяется
как множество всех точек y из M вида
y = Xtl
l
³
Xtl−1
l−1
¡
. . .
¡
Xt1
l (x)
¢
. . .
¢´
,