Построение неправильной предельно-периодической системы линейных дифференциальных уравнений

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
МАТЕМАТИКА
2008. Вып. 2
УДК 517.926
c
⃝Ò. Â. Ñåð¼ãèíà
ПОСТРОЕНИЕ НЕПРАВИЛЬНОЙ
ПРЕДЕЛЬНО-ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1
Получено рекуррентное выражение для матрицы коэффициентов неправильной
предельно-периодической системы.
Ключевые слова: линейная дифференциальная система, почти периодичность,
правильность.
Одним из важнейших вопросов в теории линейных систем с почти периодическими коэффициентами следует считать классическую проблему
Н. П. Еругина: все ли линейные дифференциальные системы с почти периодической матрицей коэффициентов являются правильными по Ляпунову? Эта проблема полностью решена В. М. Миллионщиковым в [1]: он
доказал существование неправильных систем с предельно-периодической
матрицей коэффициентов любого класса гладкости. А. В. Липницкий в работе [2], используя метод поворотов В. М. Миллионщикова, на основе идей
работы [1] осуществил конструктивное построение неправильной системы
с двумерной предельно-периодической матрицей коэффициентов любой
степени гладкости. Но в работе А. В. Липницкого элементы предельнопериодической матрицы коэффициентов системы A(t) не построены явно,
а выражены через угловое поведение некоторого решения этой системы.
В настоящей работе приведено рекуррентное выражение для матрицы коэффициентов неправильной предельно-периодической системы.
Зафиксируем семейство функций [1,2]
{ξ(·, T, u) : T ⩾1, u ∈R}
таких, что ξ(·, T, u) : R →R представляет собой T -периодическую функцию, принадлежащую классу C∞(R, R), удовлетворяющую условиям
0
ξ(t) dt = 1,
Z T
1Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå ÐÔÔÈ (ãðàíò 0601000258).