О свойствах весовых потенциалов для одного класса В-элиптических операторов

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
МАТЕМАТИКА
2008. Вып. 2
УДК 517.958
c
⃝À. Þ. Ñàçîíîâ, Þ. Ã. Ôîìè÷åâà
О СВОЙСТВАХ ВЕСОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ ДЛЯ ОДНОГО
КЛАССА B -ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ 1
Рассматриваются весовые потенциалы для эллиптического оператора второго порядка, содержащего по части переменных дифференциальный оператор Бесселя.
Приведена теорема существования потенциала двойного слоя и некоторые свойства потенциалов простого, двойного слоя и объемного.
Ключевые слова: потенциал, оператор Бесселя, эллиптический оператор, сингулярный оператор.
Пусть Ω+  область в Rn+m
+
, ограниченная гиперплоскостями yi = 0,
i = 1, m и произвольной поверхностью типа Ляпунова Γ+, образующей с
гиперплоскостями yi = 0 углы, равные π/2,
Rn+m
+
= {x = (x1, x2, . . . , xn, y1, y2, . . . , ym) ∈Rn+m : yi > 0, i = 1, m},
Γ0  замыкание оставшейся части границы области Ω+.
В области Ω+ рассматривается оператор
By′ =
∂xi∂xj
+
∂yi
∂yi
i,j=1
aij
∂2
i=1
biy−ki
i
∂
µ
yki
i
∂
¶
, aij = aji, ki > 0,
n
X
m
X
удовлетворяющий условию B -эллиптичности [1, с. 275278]: существует
δ > 0 такое, что для любого ненулевого α = (α1, . . . , αn+m) имеет место
i=1
biα2
n+i ⩾δ |α|2 , y′ = (y1, . . . , ym).
неравенство
n
P
i,j=1
aijαiαj +
m
P
Фундаментальное решение уравнения By′(·) = 0 определяется следующим образом: при x = 0
i=1
ki
2−n−m−
m
P
H(0, ξ) =
2
,
2
i
η2
i


i,j=1
A−1Aijξiξj +
i=1
b
−1
m
X

n
X

1Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå ÐÔÔÈ (ãðàíò 070100305).