ОБ ЭФФЕКТИВНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ ЧИСЛЕННОГО ВЕЙВЛЕТ-ОСРЕДНЕНИЯ

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
МАТЕМАТИКА
2008. Вып. 2
УДК 539.372
c
⃝Ю. А. Сагдеева
ОБ ЭФФЕКТИВНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ ЧИСЛЕННОГО
ВЕЙВЛЕТ-ОСРЕДНЕНИЯ 1
Исследуются вычислительные особенности процедуры вейвлет-осреднения. Предложены способы повышения вычислительной эффективности.
Ключевые слова: осреднение, вейвлет-преобразование, вычисление осредненных
характеристик материалов.
1. Вейвлет-осреднение
Рассмотрим применение вейвлет-преобразования для осреднения решения
эллиптических дифференциальных уравнений в комбинации с методом конечных элементов (МКЭ). Методом конечных элементов исходное дифференциальное уравнение Lu = f заменялось аппроксимирующим его на
некоторой сетке дискретным уравнением Lhuh = fh , решение которого
сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений Au = b,
где матрица A имеет размер 2j × 2j , симметрична и положительно определена. Затем к системе применялось вейвлет-преобразование Хаара Wn :
µ K11
K12
K21
K22
¶ µ u1
u2
¶
=
µ b1
b2
¶
,
(1)
где введены следующие обозначения:
K11 = QjAQT
j , K12 = QjAP T
j , K21 = PjAQT
j , K22 = PjAP T
j ,
u1 = ud
j−1,
u2 = uc
j−1,
b1 = bd
j−1,
b2 = bc
j−1.
Вектор неизвестных разбивается на две составляющих компоненты  вектор осредненных неизвестных и вектор ¾деталей¿ (уточняющих компонент).
Исключая u1 из первого уравнения (1), получим Su2 = b, где S 
дополнение Шура: S = K22 −K21K−1
11 K12 , b = b2 −K21K−1
11 b1. Разрешив
Su2 = b , получаем искомое осредненное решение u2 . Применяя вейвлетпреобразование несколько раз, на каждом шаге имеем решение с разной
степенью осреднения.
1Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå ÐÔÔÈ (ãðàíò 07-01-96069-ð Óðàë).