Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
МАТЕМАТИКА
2008. Вып. 2
УДК 517.929
c
⃝Â. Ï. Ìàêñèìîâ, Ï. Ì. Ñèìîíîâ
ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ 1
Предлагается краткий обзор современного состояния теории функциональнодифференциальных уравнений, разработанной участниками Пермского семинара [1]. Приводятся примеры новых подходов к ряду классических задач. Изложение основных результатов следует неопубликованной обзорной статье, подготовленной Н. В. Азбелевым и авторами доклада в 2006 г.
Ключевые слова: функционально-дифференциальные уравнения, краевые задачи, вариационные задачи, асимптотическое поведение решений.
Введение
В монографии [2] предложена теория функционально-дифференциального уравнения
˙
x = Fx.
(1)
Оператор F
здесь действует из банахова пространства ACn абсолютно непрерывных функций x : [a, b] →Rn в пространство Ln суммируемых z : [a, b] →Rn. Обобщение состоит в замене специфического ¾локального¿ оператора Немыцкого (Nx)(t) = f(t, x(t)) на общий оператор
F : ACn →Ln. Теория уравнения (1) существенно опирается на изоморa
z(s)ds + α,
физм ACn = Ln × Rn, определяемый равенством x(t) =
Z t
z ∈Ln,
α ∈Rn. Оказалось, что при замене пространства Ln на произвольное банахово пространство B сохраняются основные утверждения
теории уравнения (1). Таким образом возникает дальнейшее обобщение
дифференциального уравнения. Уравнение в банаховом пространстве D,
изоморфном прямому произведению B×Rn, получило название абстрактного функционально-дифференциального уравнения(ФДУ). Наиболее подробно изучено уравнение Lx = f с линейным ограниченным оператором
1Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ïîääåðæêå ÐÔÔÈ (ãðàíòû 060100744, 070196060).