О ПОЛОЖИТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИИ КОШИ ОДНОГО ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
МАТЕМАТИКА
2008. Вып. 2
УДК 517.929
c
⃝Т. Л. Сабатулина
О ПОЛОЖИТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИИ КОШИ ОДНОГО
ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
Получены
достаточные
условия
положительности
функции
Коши
одного
интегро-дифференциального уравнения. На их основе изучается асимптотическая устойчивость этого же уравнения.
Ключевые слова: функционально-дифференциальное уравнение, положительность функции Коши, асимптотическая устойчивость.
Рассмотрим уравнение
˙
x(t) = −
Z t
t−h(t)
k(t, s)x(s) ds,
x(t) = 0,
t < 0,
(1)
где функции k(·, s) и h(·) измеримы по Лебегу на R+, функция k(t, ·)
суммируема на каждом конечном отрезке. Дополнительно предположим,
что k(t, s) ⩾0 при всех {t, s} ∈R2
+ и h(t) ⩾0 при любом t ∈R+.
Для уравнения (1) ставится задача получения эффективных признаков (в терминах параметров исходной задачи) положительности функции
Коши. Обозначим ρ(t) =
Z t
t−h(t)
k(t, s) ds. С помощью леммы о дифференциальном неравенстве [1, c. 65] получается следующая
e, то функция Коши уравнеТеорема 1. Если vraisup
t
Z t
t−h(t)
ρ(s) ds ⩽1
ния (1) положительна.
Если подчинить k(t, s) более ж¼стким условиям, то оценку 1/e уда
ется
увеличить почти в два раза.
Теорема 2. Пусть
ω  суммируемая на любом конечном отрезке
s0(2 −s0) , где
функция, k(t, s) ⩽ω(t)ω(s) и vraisup
t
Z t
t−h(t)
ω(s) ds ⩽
p
s0  корень уравнения e−s = 1 −s/2. Тогда функция Коши уравнения (1)
положительна.
Следствие 1 [2]. Пусть vraisup
t,s
k(t, s) = k,
vraisup
t
h(t) = h и выполнено неравенство
kh2
⩽
s0(2 −s0),
где
s0  корень уравнения
e−s = 1 −s/2. Тогда функция Коши уравнения (1) положительна.