О модификации одного динамического алгоритма, гарантирующего восстановление управления в динамической системе с вырожденной матрицей

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
МАТЕМАТИКА
2008. Вып. 2
УДК 517.935
c
⃝
Ñ. Ñ. Ðóáëåâà
О МОДИФИКАЦИИ ОДНОГО ДИНАМИЧЕСКОГО
АЛГОРИТМА, ГАРАНТИРУЮЩЕГО ВОССТАНОВЛЕНИЕ
УПРАВЛЕНИЯ В ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ
С ВЫРОЖДЕННОЙ МАТРИЦЕЙ
Рассматриваются свойства одного метода динамической регуляризации для задачи восстановления управления в динамической системе, нелинейной по времени и состоянию и линейной по управлению. Получена асимптотическая оценка
точности для случая, когда матрица коэффициентов при управлении имеет постоянный образ. Рассмотрена возможность получения гарантированных оценок
для случая, когда изменение образа матрицы коэффициентов не сопровождается
стремлением к нулю ее минимального ненулевого сингулярного числа.
Ключевые слова: динамическая регуляризация, асимптотический порядок точности.
Рассматривается задача восстановления неизвестного возмущения v(t),
действующего на динамическую систему
x′(t) = f1(t, x(t)) + f2(t, x(t))v(t),
x(t0) = x0,
t ∈[t0, T]
по неточной информации ξ(ti) о движении: ∥x(ti) −ξ(ti)∥⩽h ( ti  узлы
разбиения [t0, T], ti+1−ti = ∆). Здесь отображения f1 и f2 действуют из
[t0, T]×Rm в Rm и в пространство матриц m×q со спектральной нормой
соответственно; значения v(t) принадлежат выпуклому компакту Q ⊂Rq,
каждое значение x(t) является внутренней точкой компакта X ⊂Rm.
Для решения этой задачи будем придерживаться подхода, предложенного в Ю. С. Осиповым и А. В. Кряжимским [1], который при условии липшицевости f1(·), f2(·) позволяет формировать приближение управления в
виде кусочно-постоянной функции uh(·) в режиме реального времени за
счет управления вспомогательной системой моделью wh(·). Состояние модели в узлах разбиения определяется правилом
wh(ti+1) = wh(ti) +
¡
f1(ti, ξ(ti)) + f2(ti, ξ(ti))ui
¢
∆,
wh(t0) = ξ(t0),
где uh(t) = ui  проекция вектора
1
α(h)fT
2 (ti, ξ(ti))(wh(ti) −ξ(ti))