ОБ ОДНОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ИГРЕ НЕСКОЛЬКИХ ЛИЦ В КЛАССЕ ПОЗИЦИОННЫХ СТРАТЕГИЙ

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
МАТЕМАТИКА
2008. Вып. 2
УДК 517.977
c
⃝С. В. Лутманов
ОБ ОДНОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ИГРЕ НЕСКОЛЬКИХ
ЛИЦ В КЛАССЕ ПОЗИЦИОННЫХ СТРАТЕГИЙ
Вводится новое понятие решения в дифференциальных играх со многими участниками.
Ключевые слова: дифференциальная игра, позиционные стратегии.
Рассматривается дифференциальная игра, описываемая системой вида
˙
x = A(t)x +
i=1
ui, ui ∈Pi,
k
X
где x ∈Rn, Pi  выпуклые компакты Rn, i ∈K = {1, . . . , k}. Момент T
окончания игры фиксирован, а функция платы i -го игрока имеет вид
Ii
£
U1, . . . Uk
¤
= ϕi(x(T)),
где функции ϕi являются достаточно гладкими. В качестве принципа рационального поведения игроков в игре предлагается принцип компромисса. Смысл его состоит в том, что для заданных значений компромиссных
оценок строится набор стратегий всех игроков, который обеспечивает результат игры для каждого игрока не ¾хуже¿ его верхней компромиссной
оценки, а любому ¾игроку-уклонисту¿ не позволяет получить значение
платы ¾лучше¿ его нижней компромиссной оценки.
Для игры в нормальной форме Γ =
n
K, {Ui}i∈K, {Ii}i∈K
o
введем понятие компромиссного набора стратегий всех игроков.
О п р е д е л е н и е 1. Пусть S∗= (S1∗, . . . , Sk∗),
S∗= (S∗
1, . . . , S∗
k),
Si∗⩽S∗
i , i ∈K. Ситуация W c = (Uc
1, . . . , Uc
k) называется компромиссной относительно векторов S∗, S∗, если для всех i ∈K выполняются
неравенства
Si∗⩽min
Ui Ii(Uc
1, . . . , Ui, . . . Uc
k) ⩽Ii(Uc
1, . . . , Uc
i , . . . Uc
k) ⩽S∗
i .
В предположении, что для любого вектора s ∈Rn и всех номеров i ∈K
выполнено неравенство
min
u1∈P1(s, u1) + · · · + min
ui∈Pi(s, ui) + · · · + min
uk∈Pk(s, uk) ⩽0,