УПРАВЛЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИМИ ИНВАРИАНТАМИ СИСТЕМ С ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
МАТЕМАТИКА
2008. Вып. 2
УДК 517.926+517.977
c
⃝Ñ. Í. Ïîïîâà
УПРАВЛЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИМИ ИНВАРИАНТАМИ
СИСТЕМ С ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ 1
Для линейной равномерно вполне управляемой системы с почти периодическими
коэффициентами установлена глобальная управляемость полной совокупности
ляпуновских инвариантов.
Ключевые слова: линейная управляемая система, почти периодичность, асимптотические инварианты.
Рассмотрим линейную управляемую систему
˙
x = A(t)x + B(t)u,
x ∈Rn, u ∈Rm, t ∈R,
(1)
с почти периодическими по Бору коэффициентами A(·) и B(·). Пусть
управление u(·) в системе (1) формируется по принципу линейной обратной связи u = U(t)x, где U(·)  кусочно-непрерывная и ограниченная
на R матричная m × n -функция: U(·) ∈KCmn(R). Тогда получаем замкнутую систему вида
˙
x =
¡
A(t) + B(t)U(t)
¢
x,
x ∈Rn, t ∈R.
(2)
1Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå ÐÔÔÈ (ãðàíò 0601000258).
Система (2) при произвольной функции U(·) ∈KCmn(R) принадлежит
множеству Mn линейных однородных дифференциальных систем с кусочно непрерывными и ограниченными на R коэффициентами, поэтому
для нее определены всевозможные инварианты преобразований Ляпунова, то есть величины (свойства) линейных однородных систем, которые не
меняются под действием группы преобразований Ляпунова. Зафиксируем
какой-либо ляпуновский инвариант ι, то есть отображение ι : Mn →Xι,
где Xι  некоторое множество. Всякую систему ˙
x = F(t)x, x ∈Rn, t ∈R,
принадлежащую множеству Mn, будем отождествлять с ее матрицей коэффициентов F(·). Обозначим через ι(F) значение инварианта ι системы F(·) ∈Mn. Пусть ι(Mn)  множество значений инварианта ι, то
есть ι(Mn) .
= {b
ι ∈Xι| ∃F(·) ∈Mn : ι(F) = b
ι}.