ПОЛУЯВНЫЙ МЕТОД ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
МАТЕМАТИКА
2008. Вып. 2
УДК 519.622
c
⃝А. В. Лекомцев
ПОЛУЯВНЫЙ МЕТОД ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Рассматриваются системы, содержащие эффект запаздывания и дополнительные алгебраические связи. Конструируются полуявные численные методы типа
Розенброка. Приведена теорема о порядке глобальной погрешности.
Ключевые слова: функционально-дифференциально-алгебраические уравнения,
численные методы, метод Розенброка.
Рассмотрим систему функционально-дифференциально-алгебраических
уравнений
˙
y(t) = f(t, y(t), z(t), yt(·), zt(·)),
0 = g(t, y(t), z(t), yt(·), zt(·))
(1)
с начальными условиями
y(t0) = y0,
z(t0) = z0,
yt0(·) = {y0(s), −τ ⩽s < 0},
zt0(·) = {z0(s), −τ ⩽s < 0},
где t ∈[t0, t0 + θ] ⊂R, y ∈Rn, z ∈Rm.
Предположим, что существует единственное решение задачи (1) на
[t0, t0 + θ]. Кроме того, предположим, что матрица Якоби gz существует
и обратима в своей области определения.
S-этапным методом типа Розенброка с набором коэффициентов αi,
σi, αij, γij будем называть численную модель следующего вида:
ul+1 = ul +
i=1
σi · ki(utl(·), vtl(·)), vl+1 = vl +
i=1
σi · pi(utl(·), vtl(·)),
(2)
s
X
s
X
где отображения ki(utl(·), vtl(·)) и pi(utl(·), vtl(·)) определяются как последовательное решение следующих s систем относительно неизвестных
ki и pi :
ki = ∆· f(tl + αi∆, ri, wi, utl+αi∆(·), vtl+αi∆(·))+
+ ∆
j=1
γij∂tf,
i = 1, . . . , s,
(3)
j=1
γij(∂f
∂u · kj + ∂f
i
X
∂v · pj) + ∆2
i
X