Численные методы решения уравнения теплопроводности с запаздыванием

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
МАТЕМАТИКА
2008. Вып. 2
УДК 519.633
c
⃝Â. Ã. Ïèìåíîâ
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
Для уравнения теплопроводности с эффектом запаздывания конструируются
численные методы решения. Рассмотрены метод прямых и неявная сеточная схема с кусочно-постоянной интерполяцией. Приведена теорема о сходимости последнего метода.
Ключевые слова: уравнения в частных производных, запаздывание, численные
методы, метод прямых, неявная схема.
Введение
В последнее время значительный интерес у исследователей вызывают
уравнения в частных производных с эффектами запаздываний по временной составляющей. Математические аспекты таких объектов изучались, в
частности, в монографии [1]. Гораздо меньше разработаны численные алгоритмы решения для подобных задач, можно отметить лишь работу [2],
где с позиции присущего автору подхода к численному решению задач с
запаздыванием как к непрерывному методу строится и исследуется аналог
неявного метода трапеций.
В данной работе описываются алгоритмы метода прямых, которые сводятся к решению функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ)
большой размерности. Для систем ФДУ численные методы хорошо разработаны, в частности, с позиции подхода [3], основанном на идее разделения
конечномерной и бесконечномерной фазовых составляющих и идее применения интерполяции с заданными свойствами дискретной предыстории модели. Однако при дискретизации по двум переменным возникают жесткие
задачи [4], которые при использовании явных методов дают ограничение
на временной шаг, частично проблема преодолевается применением специальных методов. В работе с позиции сеточных методов конструируется
неявная схема с простейшим видом интерполяции дискретной предыстории модели  кусочно-постоянной интерполяции и исследуется е¼ порядок
сходимости.
Ÿ 1. Постановка задачи и основные предположения
Рассмотрим уравнение теплопроводности вида
∂u
∂t = a2 ∂2u
∂x2 + f(x, t, u(x, t), ut(x, ·)),
(1.1)