Об одной задаче оптимального управления системой с последействием в условиях конфликта

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
МАТЕМАТИКА
2008. Вып. 2
УДК 517.934
c
⃝Н. Н. Красовский, А. Н. Котельникова
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
СИСТЕМОЙ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ
В УСЛОВИЯХ КОНФЛИКТА 1
Рассматривается задача об оптимальном управлении по быстродействию. Обсуждаются достаточные условия локальной оптимальности, связанные с необходимыми условиями принципа максимума Понтрягина [1] при условии полной
управляемости системы в вариациях. Задача обсуждается для системы, описываемой векторным дифференциальным уравнением, обыкновенным или с последействием. В случае конфликтного управления обсуждается задача оптимального управления по критерию минимакса-максимина времени выхода системы в
заданное состояние. Рассматривается модельный пример и обсуждается соответствующий вычислительный эксперимент.
Ключевые слова: оптимальное управление, локальная оптимальность по быстродействию, конфликтное управление, минимакс, максимин времени до встречи,
интегро-дифференциальное уравнение, обобщенное решение, предельная система
в вариациях, фундаментальная матрица системы в вариациях, полная управляемость, функционал Ляпунова.
В работе рассматриваются две системы, которые относятся к кругу
задач об управлении, когда движение x[t] описывается интегро-дифференциальным уравнением
˙
x[t] = H
³
t, x[t]; u[t], v[t]) +
Z t
t0
dϑG(t, ϑ; x[ϑ]
´
,
(1)
t0 ⩽t < ∞;
x = {x1, . . . , xn};
u = {u1, . . . , ur};
v = {v1, . . . , vr}.
Здесь u[t] и v[t]  реализации конфликтующих управлений, для которых
оговорены ограничения u ∈U, v ∈V, U и V  компакты; ˙
x[t]  правая
производная; x, u, v  векторы-столбцы.
Для рассматриваемых уравнений с последействием интерпретируются достаточные условия локальной оптимальности по быстродействию и
1Работа
выполнена
при
финансовой
поддержке
(грант
Президента
РФ
НШ
 8512.2006.1 и грант РФФИ  06-01-00436).