РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
МАТЕМАТИКА
2008. Вып. 2
УДК 517.911
c
⃝Д. А. Короткий
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
ДЛЯ СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
Рассматривается задача нахождения оптимального управления для системы с
запаздыванием. С помощью принципа максимума задача сводится к системе
опережающе-запаздывающего типа. В некоторых случаях оптимальное управление может быть выражено через решение этой системы и эффективно вычислено.
Ключевые слова: система с запаздыванием, управление, принцип максимума, сопряженная система, система опережающе-запаздывающего типа.
Рассматривается следующая задача оптимального управления. Пусть
задана управляемая система с запаздыванием
˙
x(t) = f( t, x(t), x(t −τ), u(t) ),
t ∈[t0, ϑ],
x ∈Rn
с некоторой заданной функцией f и заданной предысторией x(t0 + s) =
ϕ(t0 + s), s ∈[−τ, 0]. Множество допустимых управлений U состоит из
функций, значения которых принадлежат некоторому множеству P ⊆Rm.
Требуется минимизировать интегральный функционал качества
t0
F ( t, x(t), u(t) ) dt →min : u ∈U.
J(u) =
Z ϑ
Для поставленной задачи справедливо необходимое условие оптимальности в форме принципа максимума [1]: если u0(·)  оптимальное управление, x0(·)  оптимальная траектория, то
H(t, x0(t), x0(t −τ), u0(t), ψ(t)) = max
v ∈P H(t, x0(t), x0(t −τ), v, ψ(t)),
H(t, x, y, u, ψ) = ψT f(t, x, y, u) −F(t, x, u),
˙
ψ(t) = G ( t, ψ(t), ψ(t + τ)),
t ∈[t0, ϑ],
ψ(t) = 0, t ⩾ϑ,
G = −ψT (t) fx(t, x0(t), x0(t −τ), u0(t)) + Fx(t, x0(t), u0(t))−
−ψT (t + τ) fy(t + τ, x0(t + τ), x0(t), u0(t + τ)).
Объединив сопряженную систему с исходной, получим систему с опережением и запаздыванием. В некоторых случаях оптимальное управление
можно выразить через решение этой системы. Приближенное решение системы [2, 3] даст некоторое приближение к оптимальному управлению.