ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ КЛАССА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА ХАРАКТЕРИСТИК

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
МАТЕМАТИКА
2008. Вып. 2
УДК 517.977.5
c
⃝Е. А. Колпакова
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ КЛАССА
ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА ХАРАКТЕРИСТИК 1
Рассматривается нелинейная задача оптимального управления с функционалом типа Майера. Для определения класса функций, содержащих оптимальные
управления, применен метод характеристик уравнения Беллмана.
Ключевые слова: оптимальное управление, метод характеристик.
Рассматривается задача оптимального управления (ЗОУ) системой
˙
x = f(t, x) + g(u),
где t ∈[0, T], фазовый вектор x ∈Rn, управление u ∈Rm принимает
значения из компакта U. Требуется минимизировать функционал
I(t0, x0, u(·)) = h(x(T; t0, x0, u(·)))
на множестве ˜
U = {u(·) : [0, T] →U}  измеримых функций. Начальное
состояние (t0, x0) ∈[0, T] × Rn.
У с л о в и е 1. Функция f(t, x) непрерывна по совокупности аргументов и непрерывно дифференцируема по x. Функции g(u), h(x) непрерывны и ограничены.
У с л о в и е 2. Множество
arg min
g {⟨q, g⟩: g = g(u) : u ∈U} = {g0(q)}
одноэлементно.
Здесь символ ⟨·, ·⟩обозначает скалярное произведение.
Рассмотрим характеристическую систему
∂x
˙
x = f(t, x) + g0(q),
˙
q = −
³∂f
´T
q
с краевыми условиями
∂x1
, . . . , ∂h
∂xn
x(T) = ξ, q(T) = Dh(ξ) =
³ ∂h
´
(ξ) : ∀ξ ∈Rn.
1Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå ÐÔÔÈ (ãðàíò  05-01-00609) è ãðàíòà Ïðåçèäåíòà ÐÔ ïî ïîääåðæêå âåäóùèõ íàó÷íûõ øêîë ÍØ  8512.2006.1.